未知驅(qū)動探索，專注成就專業(yè)高等數(shù)學(xué)(同濟版)期末復(fù)習(xí)題(含答案)第一章：函數(shù)與極限題目1：計算極限求解下列極限：$$\\lim_{x\\to0}\\frac{e^{2x}-2e^x+1}{(1+x)^2}$$解答：根據(jù)定義，我們可以將極限轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。首先對分子進行因式分解：e利用泰勒展開，我們有：$$e^x-1\\approxx+\\frac{x^2}{2}+O(x^3)$$將其代入原式，得到：$$\\lim_{x\\to0}\\frac{e^{2x}-2e^x+1}{(1+x)^2}=\\lim_{x\\to0}\\frac{(x+\\frac{x^2}{2}+O(x^3))^2}{(1+x)^2}$$進一步化簡：$$=\\lim_{x\\to0}\\frac{x^2+O(x^3)}{1+2x+x^2}=\\lim_{x\\to0}\\frac{x^2+O(x^3)}{(1+x)^2}$$即求解：$$\\lim_{x\\to0}\\frac{x^2}{(1+x)^2}$$利用洛必達法則，我們有：$$\\lim_{x\\to0}\\frac{x^2}{(1+x)^2}=\\lim_{x\\to0}\\frac{2x}{2(1+x)}=\\lim_{x\\to0}\\frac{x}{1+x}=\\frac{0}{1}=0$$所以，原極限等于0。題目2：求導(dǎo)已知函數(shù)y=x2e解答：首先求一階導(dǎo)數(shù)：y然后求二階導(dǎo)數(shù)：y將x=1代入上式，得到y(tǒng)y所以y″第二章：導(dǎo)數(shù)與微分題目1：極值點已知函數(shù)f(解答：首先求導(dǎo)數(shù)：f然后求解導(dǎo)數(shù)為零的解：3利用求根公式，有：$$x=\\frac{-(-12)\\pm\\sqrt{(-12)^2-4\\cdot3\\cdot9}}{2\\cdot3}=\\frac{12\\pm\\sqrt{144-108}}{6}=\\frac{12\\pm\\sqrt{36}}{6}=\\frac{12\\pm6}{6}$$所以，x1進一步求解極值點：f將x1=3和x2=$$f''(3)=6\\cdot3-12=6$$$$f''(1)=6\\cdot1-12=-6$$當(dāng)f″(x)>0時，函數(shù)f(x)為凹函數(shù)；當(dāng)f″(x所以，函數(shù)f(x)的極值點為(3,題目2：微分近似計算已知函數(shù)$f(x)=\\sqrt{x}$，計算f(4.1解答：首先計算函數(shù)的微分：$$df=f'(x)\\cdotdx=\\frac{1}{2\\sqrt{x}}\\cdotdx$$然后計算f(4.1)的近似值，取$$f(4.1)\\approxf(4)+df=\\sqrt{4}+\\frac{1}{2\\sqrt{4}}\\cdot0.1=2+\\frac{1}{4}\\cdot0.1=2.025$$所以，f(4.1第三章：積分學(xué)題目1：定積分計算計算定積分：$$\\int_0^{\\pi}\\sinx\\dx$$解答：我們知道$\\int\\sinx\\dx=-\\cosx$，所以：$$\\int_0^{\\pi}\\sinx\\dx=[-\\cosx]_0^{\\pi}=[-\\cos\\pi-(-\\cos0)]=[-(-1)-(-1)]=[1-(-1)]=2$$所以，定積分$\\int_0^{\\pi}\\sinx\\dx$的值為2。題目2：曲線面積計算計算曲線y=x解答：首先求解曲線與x軸的交點，即令y=x利用求根公式，有：$$x=\\frac{-(-2)\\pm\\sqrt{(-2)^2-4\\cdot1\\cdot3}}{2\\cdot1}=\\frac{2\\pm\\sqrt{4-12}}{2}=\\frac{2\\pm\\sqrt{-8}}{2}=1\\pm\\sqrt{2}i$$由于y=x第四章：無窮級數(shù)題目1：收斂性判斷判斷級數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$的收斂性。解答：由于$\\frac{1}{n^2}$為正數(shù)，我們可以使用比較判別法。我們知道，級數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n}$是發(fā)散的。所以，我們嘗試比較級數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$和級數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n}$。由于$\\frac{1}{n^2}<\\frac{1}{n}$對所有正整數(shù)n都成立，所以根據(jù)比較判別法，級數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$收斂。題目2：級數(shù)求和計算級數(shù)$\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{1}{2^n}$的和。解答：我們知道，級數(shù)$\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{1}{2^n}$是一個幾何級數(shù)，其通項為$a_n=\\frac{1}{2^n}$，首項為$a_0=\\frac{1}{2^0}=1$，公比為$r=\\frac{a_{n+1}}{a_n}=\\frac{\\frac{1}{2^{n+1}}}{\\frac{1}{2^n}}=\\frac{1}{2}$。根據(jù)幾何級數(shù)的求和公式，我們有：$$S=\\frac{a_0}{1-r}=\\frac{1}{1-\\f