武漢市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專題一、中考幾何壓軸題1．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）解決問(wèn)題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．2．某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：類比探究：（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為直徑，向外側(cè)作半圓，則面積之間的關(guān)系式為_____________；推廣驗(yàn)證：（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側(cè)作，，滿足，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在五邊形中，，點(diǎn)在上，，求五邊形的面積．3．點(diǎn)E是矩形ABCD邊AB延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DF，交CG于點(diǎn)H．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想線段DH與HF的數(shù)量關(guān)系是；（2）探究：如圖2，若AB＝nAD，CF＝nCE，則（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展：在（2）的基礎(chǔ)上，若射線FC過(guò)AD的三等分點(diǎn)，AD＝3，AB＝4，則直接寫出線段EF的長(zhǎng)．4．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)展示：（問(wèn)題）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則______，______．（操作）將圖①中拋物線沿方向平移長(zhǎng)度的距離得到拋物線，在軸左側(cè)的部分與在軸右側(cè)的部分組成的新圖象記為，如圖②．請(qǐng)直接寫出圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（探究）在圖②中，過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸，與圖象交于，兩點(diǎn)，如圖③．求出圖象在直線上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)隨的增大而增大時(shí)的取值范圍．（應(yīng)用）是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直線BD，CE交于點(diǎn)F，直線BD，AC交于點(diǎn)G．則線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）類比探究如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直線BD，CE交于點(diǎn)F，AC與BD相交于點(diǎn)G．若AB＝kAC，試判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系以及直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3.0），點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MP，連接NP，OP．請(qǐng)直接寫出線段OP長(zhǎng)度的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．6．綜合與實(shí)踐動(dòng)手操作利用旋轉(zhuǎn)開展教學(xué)活動(dòng)，探究圖形變換中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖1，將等腰直角三角形的邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，，，連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．思考探索（1）在圖1中：①求證：；②的面積為______；③______．拓展延伸（2）如圖2，若為任意直角三角形，．、、分別用、、表示．請(qǐng)用、、表示：①的面積：______；②的長(zhǎng)：______；（3）如圖3，在中，，，，，，連接．①的面積為______；②點(diǎn)是邊的高上的一點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，有最小值______．7．如圖：兩個(gè)菱形與菱形的邊在同一條直線上，邊長(zhǎng)分別為a和b，點(diǎn)C在上，點(diǎn)M為的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：如圖①，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是______________．（2）拓展探究：如圖②，，將圖①中的菱形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②位置，其他條件不變，連接，①猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．②求出線段與所成的最小夾角．（3）解決問(wèn)題：如圖③，若將題目中的菱形改為矩形，且，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系．8．（教材呈現(xiàn)）下面是華師版八年級(jí)下冊(cè)教材第89頁(yè)的部分內(nèi)容．如圖，G，H是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG=CH，E，F(xiàn)分別是邊AB和CD的中點(diǎn)求證：四邊形EHFG是平行四邊形證明：連接EF交AC于點(diǎn)O∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AB∥CD又∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)∴AE=CF又∵AB∥CD∴∠EAO=∠FCO又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF請(qǐng)補(bǔ)全上述問(wèn)題的證明過(guò)程．（探究）如圖①，在△ABC中，E，O分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，D、F分別是線段AO、CO的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF，將△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△DGF，若四邊形DEFG的面積為8，則△ABC的面積為．（拓展）如圖②，GH是正方形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)．若正方形ABCD的面積為16，則四邊形EHFG的面積為．9．已知：如圖1所示將一塊等腰三角板BMN放置與正方形ABCD的重合，連接AN、CM，E是AN的中點(diǎn)，連接BE．（觀察猜想）（1）CM與BE的數(shù)量關(guān)系是________；CM與BE的位置關(guān)系是________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板BMN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段CM與BE的關(guān)系是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．10．如圖，在中，，，，為底邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊向左上方作等腰直角，連接．觀察猜想：（1）當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，直接寫出，的數(shù)量關(guān)系：_______．類比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展延伸：（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．11．綜合與實(shí)踐——探究特殊三角形中的相關(guān)問(wèn)題問(wèn)題情境：某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，將兩塊完全相同的且含角的直角三角板和按如圖1所示位置放置，且的較短直角邊為2，現(xiàn)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）初步探究：勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，是等腰三角形；（2）深入探究：敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如果連接，，那么所在的直線是線段的垂直平分線．請(qǐng)幫他們證明；（3）再探究：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，求與重疊的面積；（4）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；若不能，說(shuō)明理由．12．折紙是一種許多人熟悉的活動(dòng)．近些年，經(jīng)過(guò)許多人的努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法，下面探討其中的一種折法：（綜合與實(shí)踐）操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片ABCD展開，得到折痕MN；操作二：如圖2，將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊，得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D′；操作三：如圖3，將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開，折痕MD′與邊AB交于點(diǎn)P；（問(wèn)題解決）請(qǐng)?jiān)趫D3中解決下列問(wèn)題：（1）求證：BP＝D′P；（2）AP：BP＝；（拓展探究）（3）在圖3的基礎(chǔ)上，將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開，折痕CD′與邊AB交于點(diǎn)Q．再將正方形紙片ABCD過(guò)點(diǎn)D′折疊，使點(diǎn)A落在AD邊上，點(diǎn)B落在BC邊上，然后再將正方形紙片ABCD展開，折痕EF與邊AD交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，如圖4．試探究：點(diǎn)Q與點(diǎn)E分別是邊AB，AD的幾等分點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．13．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到ED，ED交直線AB于點(diǎn)O，連接BE．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，α＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，猜想：①AF與BE的數(shù)量關(guān)系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如圖2，0°＜α＜90°，點(diǎn)D在邊BC上，請(qǐng)判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠ABE的度數(shù)，并給予證明．（3）解決問(wèn)題如圖3，90°＜α＜180°，點(diǎn)D在射線BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)．14．如圖（1），已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）證明與推斷：求證：四邊形是正方形；推斷：的值為__；（2）探究與證明：將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展與運(yùn)用：若，正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則．15．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與同為等邊三角形，連接則與的數(shù)量關(guān)系為________；直線與所夾的銳角為_________；類比探究：（2）與同為等腰直角三角形，其他條件同（1），請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展延伸：（3）中，為的中位線，將繞點(diǎn)逆時(shí)針自由旋轉(zhuǎn)，已知，在自由旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．16．（1）問(wèn)題情境：如圖1，已知等腰直角中，，，是上的一點(diǎn)，且，過(guò)作于，取中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_______（請(qǐng)直接寫出答案）小明采用如下的做法：延長(zhǎng)到，使，連接，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是的中位線……請(qǐng)你根據(jù)小明的思路完成上面填空；（2）遷移應(yīng)用：將圖1中的繞點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，試探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)．17．問(wèn)題呈現(xiàn)：已知等邊三角形邊的中點(diǎn)為點(diǎn)，，的兩邊分別交直線，于點(diǎn)，，現(xiàn)要探究線段，與等邊三角形的邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系．（1）特例研究：如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在線段，上，且，時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段，與的數(shù)量關(guān)系：________；（2）問(wèn)題解決：如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在線段上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)通過(guò)證明探究出線段，與等邊三角形的邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在射線上時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)和此時(shí)的面積．18．如圖1所示，邊長(zhǎng)為4的正方形與邊長(zhǎng)為的正方形的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)在對(duì)角線上．（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）如圖1所示，與的數(shù)量關(guān)系為________；（類比探究）如圖2所示，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)上述結(jié)論是否還成立？如成立寫出推理過(guò)程，如不成立，說(shuō)明理由；（拓展延伸）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且在正方形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，有點(diǎn)、、在一條直線上，直接寫出此時(shí)線段的長(zhǎng)度為________19．石家莊某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，在相距150個(gè)單位長(zhǎng)度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)，興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．（觀察）①觀察圖1，若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．（發(fā)現(xiàn)）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段OP，不包括點(diǎn)O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象．（拓展）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度，若這兩個(gè)機(jī)器人在第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過(guò)60個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是．（直接寫出結(jié)果）20．（1）問(wèn)題探究：如圖1，△ABC，△ADE均為等邊三角形，連接BD、CE，試探究線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）類比延伸如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，連接BD，CE，試確定BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）拓展遷移如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝BC，CD＝4，若將線段DA繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DA′，連接BA′，求線段BA′的長(zhǎng)．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一解析：（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．顯然，點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn)，由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，接下來(lái)需對(duì)兩個(gè)位置分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）①如圖1．∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案為：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如圖2．∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）點(diǎn)A到BP的距離為或．理由如下：∵PD=1，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上．∵∠BPD=90°，∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上，∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AH⊥BP，∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD，∴=2AH+1，∴AH=．②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖3②．同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．而通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用（2）中的結(jié)論解決問(wèn)題是解決第（3）的關(guān)鍵．2．（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見解析，（3）【分析】（1）分別寫出三個(gè)半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個(gè)三角形相似，再計(jì)算出三個(gè)三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）解析：（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見解析，（3）【分析】（1）分別寫出三個(gè)半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個(gè)三角形相似，再計(jì)算出三個(gè)三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）先添加輔助線，在第二問(wèn)的思路下，先證明三個(gè)三角形相似，得出三個(gè)三角形的面積關(guān)系，再利用30°、45°的直角三角形計(jì)算出相應(yīng)的邊，計(jì)算出五邊形的面積即可．【詳解】解：（1）設(shè)AB=b,AC=a,BC=c.則有：所以在Rt△ABC中，有a2+b2=c2，且故答案為：S1+S2=S3（2）∵∴設(shè)AB、AC、BC邊上的高分別為h1，h2，h3∴，設(shè)AB=b,AC=a,BC=c則∴又在Rt△ABC中，有a2+b2=c2∴故依然成立（3）連接PD、BD，作AF⊥BP，EM⊥PD∵∠ABP=30°，∠BAP=105°∴∠APB=45°在Rt△ABF中，AF=AB=,BF=3,在Rt△AFP中,AF=PF=,則AP=，∵∠A=∠E,∴△ABP∽△EDP∴∠EPD=45°∠EDP=30°∴∠BPD=90°又PE=∴PM=EM=1,MD=則PD=1+∴=所以五邊形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、與勾股定理有關(guān)的圖形問(wèn)題、相似三角形．是中考的?？贾R(shí)．3．(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由見解析；(3)或．【分析】(1)證明，得，則，則證，得出即可；(2)證，則，由矩形的性質(zhì)得出，證，即可得出；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得，則解析：(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由見解析；(3)或．【分析】(1)證明，得，則，則證，得出即可；(2)證，則，由矩形的性質(zhì)得出，證，即可得出；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得，則，分兩種情況，根據(jù)勾股定理和平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：(1)，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，，∴四邊形ABCD是正方形，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，，在和中，，∴，∴，故答案為，(2)仍然成立，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，，，∴∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形ABCD是矩形，，∴，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，(3)如圖所示，延長(zhǎng)FC交AD于R，∵四邊形ABCD是矩形，∴，，，，∵，，∴，∴，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，∵，∴，，在中，由勾股定理得：，∵，，∴，∴，由勾股定理得：EF＝；②當(dāng)時(shí)，同理可得：，，，，由勾股定理得：，綜上所說(shuō)，若射線FC過(guò)AD的三等分點(diǎn)，，，則線段EF的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．【問(wèn)題】，1；【操作】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；【探究】或；【應(yīng)用】點(diǎn)的坐標(biāo)為：或【分析】問(wèn)題:即可求解；操作：拋物線G1沿BC方向平移BC長(zhǎng)度的距離得到拋物線G2，相當(dāng)于拋物線向左平移3個(gè)單位，向上平解析：【問(wèn)題】，1；【操作】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；【探究】或；【應(yīng)用】點(diǎn)的坐標(biāo)為：或【分析】問(wèn)題:即可求解；操作：拋物線G1沿BC方向平移BC長(zhǎng)度的距離得到拋物線G2，相當(dāng)于拋物線向左平移3個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，即可求解；探究：將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，求出G1、G2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；應(yīng)用：證明∠EPN=∠MDP，利用tan∠EPN=tan∠MDP，即可求解．【詳解】解：?jiǎn)栴}：，解得：，，故答案為：，1；操作：拋物線沿方向平移長(zhǎng)度的距離得到拋物線，相當(dāng)于拋物線向左平移3個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，：，：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；探究：點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴，∵，，∴拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為，∴或時(shí)，函數(shù)隨的增大而增大；應(yīng)用：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交過(guò)點(diǎn)與軸的垂線于點(diǎn)，交過(guò)點(diǎn)與軸的垂直的直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，，，，∵，，∴，∴，即，即，解得：，故點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及解直角三角形、圖形的平移等，具有一定的綜合性，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出圖形進(jìn)行解答．5．（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE解析：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，結(jié)合∠AGB＝∠FGC，即可得到結(jié)論；（2）先證明ABCADE，從而得，結(jié)合∠BAD=∠CAE，可得BADCAE，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，(3，3)，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∵∠BAD＝∠BAC?∠DAC，∠CAE＝∠DAE?∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AGB＝∠FGC，∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE，故答案是：BD＝CE，BD⊥CE；（2）∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴ABCADE，∴，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BADCAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB＝∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β，∴AB=kAC，直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)為：180°-α-β；（3）由題意得：MN=MP，∠NMP=90°，把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），∴(3，3)∵OPM，∴，即線段OP長(zhǎng)度最小時(shí)，的長(zhǎng)度最小，∴當(dāng)⊥y軸時(shí)，的長(zhǎng)度最小，此時(shí)(0，3)，∴N(0，3)，OP的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造相似三角形或全等三角形，是解題的關(guān)鍵．6．（1）①見解析；②；③；（2）①；②；（3）①24；②，【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，然后利用AAS，即可得到結(jié)論成立；②求出，即可求出面積；③求出，即可求出答案；（2）①過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線解析：（1）①見解析；②；③；（2）①；②；（3）①24；②，【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，然后利用AAS，即可得到結(jié)論成立；②求出，即可求出面積；③求出，即可求出答案；（2）①過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由（1）可知，求出的長(zhǎng)度，即可求出答案；②求出CH的長(zhǎng)度，利用勾股定理，即可求出答案；（3）①過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，然后證明，求出，CH的長(zhǎng)度，即可求出面積；②點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，則BD=CD，設(shè)與AE的交點(diǎn)為點(diǎn)D，使得有最小值為，為線段的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理求出，再利用平行線分線段成比例求出DE的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：（1）如圖：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則，，∵，∴，∴，∴（AAS）；②∵，∴，∴的面積為；故答案為：．③在直角三角形中，∵，，∴；故答案為：．（2）①過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由（1）可知，，∴，，∴的面積為：故答案為：；②∵，由勾股定理，則；故答案為：；（3）①過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖與（1）同理，可證，∵，∴，∴，∵，，，，∴；∴，∴，∴，，∴，∴的面積為：；故答案為：18．②由題意，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，則BD=CD，設(shè)與AE的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則此時(shí)有最小值，如圖：此時(shí)的最小值為線段的長(zhǎng)度，∵；∵AE∥，∴，即，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最小值．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線，從而進(jìn)行解題．7．（1）；（2）①，理由見解析；②線段與所成的最小夾角為60；（3）．【分析】（1）根據(jù)已知求得AE=a+b，CG=b-a，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求得CM=，通過(guò)計(jì)算即可求解；（2）①延長(zhǎng)BM解析：（1）；（2）①，理由見解析；②線段與所成的最小夾角為60；（3）．【分析】（1）根據(jù)已知求得AE=a+b，CG=b-a，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求得CM=，通過(guò)計(jì)算即可求解；（2）①延長(zhǎng)BM到H，使MH=BM，連接GH，利用SAS證明△CMB△GMH和△ABE△HGB，即可得到結(jié)論；②延長(zhǎng)MB交AE于N，證明∠GBE=∠BNE=60，即可求解；（3）延長(zhǎng)BM到H，使MH=BM，連接GH，同理證明△CMB△GMH，再證明△ABE△HGB，即可求解．【詳解】（1），理由如下：∵菱形ABCD與菱形

BEFG的邊長(zhǎng)分別為a和b，∴AE=AB+BE=a+b，CG=BG-BC=b-a，∵點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，∴CM=CG=，∴，∴；（2）①，理由如下：延長(zhǎng)BM到H，使MH=BM，連接GH，如圖：∵點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，∴CM=MG，∵∠CMB=∠GMH，∴△CMB△GMH(SAS)，∴∠BCM=∠HGM，BC=HG，∴BC∥GH，∴∠BGH+∠CBG=180，∵菱形ABCD與菱形

BEFG中，∠ABC=120°，∠GBE=60°，∴∠ABE+∠CBG=180，∴∠ABE=∠BGH，∵AB=BC=HG，BE=BG，∴△ABE△HGB(SAS)，∴AE=HB；②線段與所成的最小夾角為60，理由如下：∵△ABE△HGB，∴∠AEB=∠BHG，延長(zhǎng)MB交AE于N，則∠MBE=∠BNE+∠AEB，即∠HBG+∠GBE=∠BNE+∠AEB，∴∠GBE=∠BNE=60，∴線段與所成的最小夾角為60；（3），理由如下：延長(zhǎng)BM到H，使MH=BM，連接GH，如圖：同理可得：△CMB△GMH(SAS)，∴∠BCM=∠HGM，BC=HG，∴BC∥GH，∴∠BGH+∠CBG=180，∵矩形ABCD與矩形

BEFG中，∠ABC=∠GBE=90°，∴∠ABE+∠CBG=180，∴∠ABE=∠BGH，∵，∴，∴△ABE△HGB，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．8．教材呈現(xiàn)：見解析；探究：16；拓展：4【分析】教材呈現(xiàn)：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；探究：先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等底同高可得，從而可解析：教材呈現(xiàn)：見解析；探究：16；拓展：4【分析】教材呈現(xiàn)：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；探究：先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等底同高可得，從而可得，然后根據(jù)三角形中位線定理即可得；拓展：先根據(jù)正方形的性質(zhì)和面積可得，從而可得，再根據(jù)等腰直角三角形和勾股定理可得，然后利用三角形的面積公式可得，最后利用平行四邊形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：教材呈現(xiàn)：補(bǔ)充完整證明過(guò)程如下：∴OE＝OF，OA＝OC，又∵AG＝CH，∴OA－AG＝OC－CH，即OG＝OH，∴四邊形EHFG是平行四邊形；探究：如圖，連接OE，BO，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CO的中點(diǎn)，，由等底同高得：，，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴S△BEO=S△AEO=4，∴S△ABO=S△BEO+S△AEO=8，，故答案為：16；拓展：如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)O，四邊形ABCD是面積為16的正方形，，在Rt△ABC中，由勾股定理得，∵AC為正方形的對(duì)角線，∴∠EAO=45°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，，∵，∴，∴AO=EO，在Rt△AEO中由勾股定理的AO2+EO2=AE2，即2OE2=4解得，，，，由教材呈現(xiàn)可知，四邊形EHFG是平行四邊形，則四邊形EHFG的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中線性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是拓展，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．9．（1）；；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）【觀察猜想】根據(jù)正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可證明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根據(jù)E是A解析：（1）；；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）【觀察猜想】根據(jù)正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可證明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根據(jù)E是AN的中點(diǎn)，即可證明CM=2BE，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠ABE=∠BCM，∠ABE+∠BMC=90°即可證明CM⊥BE．（2）【探究證明】延長(zhǎng)BE至F使EF=BE，連接AF，先證明△AEF≌△NEB，再證明△FAB≌MBC，得到CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，得到∠ABF+∠FBC=90°，進(jìn)而求得∠BCM+∠EBC=90°，即可證明EB⊥CM；（3）[拓展延伸]由a=45°得到∠ABE=15°，由前面可得∠BMC=30°，過(guò)C作CG⊥MB于G，設(shè)CG為m，則BC=m，MG=m，所以MB=BN=m-m，最后求得的值．【詳解】解:【觀察猜想】(1)CM=2BE；CM⊥BE；如圖1所示圖1∵正方形ABCD，∴AB=CB，∵等腰三角形BMN，∴BM=BN，∴Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，∴∠BAN=∠BCM，又∵E是AN的中點(diǎn)，∴BE=AE=NE=AN，∴CM=2BE，∵BE=AE，∴∠BAN=∠ABE，∴∠ABE=∠BCM，∴∠ABE+∠BMC=∠BCM+∠BMC=90°∴∠BPM=90°∴CM⊥BE．【探究證明】(2)CM=2BE，CM⊥BE仍然成立．如圖2所示，延長(zhǎng)BE至F使EF=BE，連接AF，∵AE=EN，∠AEF=∠NEB，EF=BE，∴△AEF≌△NEB∴AF=BN，∠F=∠EBN，∴AF//BN，AF=BM，∴∠FAB+∠ABN=180°，∵∠MBN=∠ABC=90°，∴∠NBC+∠ABN=90°，∴∠NBA+∠FAD=90°，∴∠CBN=∠FAD∴∠FAB=∠MBC，∵AB=BC，∴△FAB≌MBC，∴CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，∵∠ABF+∠FBC=90°∴∠BCM+∠EBC=90°，∴EB⊥CM；[拓展延伸](3)由a=45°得∠MBA=∠ABN=45°，∵∠NBE=2∠ABE，∴∠ABE=15°，由前面可得∠MCB=∠ABE=15°，∠MBC=135°，∴∠BMC=180°-15°-135°=30°，如圖3所示，過(guò)C作CG⊥MB于G，圖3設(shè)CG為m則BC=m，MG=m，所以MB=BN=m-m，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用以上性質(zhì)解決問(wèn)題．10．（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點(diǎn)，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)解析：（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點(diǎn)，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖（1）中，，都是等腰直角三角形，，，，，故答案為：．（2）如圖（2）中，結(jié)論成立．理由：取的中點(diǎn)，連接，．，，，，，，，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，，，在中，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同法可得，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．11．（1）15o或60o；（2）見解析；（3）；（4）能，30o或60o【分析】（1）分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)當(dāng)利用三角形的內(nèi)角和定理與旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)從而可得答案；（2）先證明，得到證明，再證明，解析：（1）15o或60o；（2）見解析；（3）；（4）能，30o或60o【分析】（1）分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)當(dāng)利用三角形的內(nèi)角和定理與旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)從而可得答案；（2）先證明，得到證明，再證明，得到結(jié)合從而可得結(jié)論；（3）先求解的面積，再證明，結(jié)合，從而可得重疊部分的面積；（4）當(dāng)∠CNP=90°時(shí)，依據(jù)對(duì)頂角相等可求得∠ANF=90°，然后依據(jù)∠F=60°可求得∠FAN的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的定義可求得∠α的度數(shù)；當(dāng)∠CPN=90°時(shí)．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度數(shù)，然后依據(jù)對(duì)頂角相等可得到∠ANF的度數(shù)，然后由∠F=60°，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠FAN的度數(shù)，于是可得到∠α的度數(shù)．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)＞綜上：當(dāng)或，是等腰三角形；故答案為：或．（2）由題可知，，，，．由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴．，∴．又∵，，∴．∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上．∵，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，∴所在的直線是的垂直平分線．（3）如答圖，∵，，∴，∴是直角三角形，∵，∴，，∴．∵，，∴．∵．∴，∵由（2）可知．∴．∵．∴．（4）如圖所示：當(dāng)∠CNP=90°時(shí)．∵∠CNP=90°，∴∠ANF=90°．又∵∠AFN=60°，∴∠FAN=180°-60°-90°=30°．∴∠α=30°．如圖所示：當(dāng)∠CPN=90°時(shí)．∵∠C=30°，∠CPN=90°，∴∠CNP=60°．∴∠ANF=60°．又∵∠F=60°，∴∠FAN=60°．∴∠α=60°．綜上所述，∠α=30°或60°．【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的全等的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定，解直角三角形，重疊部分的面積的計(jì)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性解析：（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）設(shè)BP＝x，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理列出方程，解方程即可；（3）如圖2，連接QM，證明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接PC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠MD′C＝∠D＝90°，∴∠CD′P＝∠B＝90°，在Rt△CD′P和Rt△CBP中，，∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），∴BP＝D′P；（2）解：設(shè)正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1．則AM＝DM＝D′M＝．設(shè)BP＝x，則MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，在Rt△AMP中，根據(jù)勾股定理得AM2+AP2＝MP2．∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，解得x＝，∴BP＝，AP＝，∴AP：BP＝2：1，故答案為：2：1．（3）解：點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)．理由：如圖2，連接QM．∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，∴∠QD′M＝∠A＝90°．在Rt△AQM和Rt△D′QM中，，∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），∴AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，則QP＝AP﹣AQ＝﹣y．在Rt△QPD′中，根據(jù)勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．∵D′P＝BP＝，∴y2+（）2＝（﹣y）2，解得y＝．∴AQ：AB＝1：4，即點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，∵EF∥AB，∴，即，解得AE＝．∴點(diǎn)E為AD的五等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．13．（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由見解析；（3）BE的長(zhǎng)為2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得：∠ABC＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝解析：（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由見解析；（3）BE的長(zhǎng)為2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得：∠ABC＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝∠C＝90°，進(jìn)而可得由等角對(duì)等邊可得DF＝DB，由旋轉(zhuǎn)可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，繼而可知△ADF≌△EDB，繼而即可知AF＝BE；②由全等三角形的性質(zhì)可知∠DAF＝∠E，繼而由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等邊對(duì)等角可得∠ABC＝∠CAB，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊可得DB＝DF，再根據(jù)全等三角形的判定方法證得△ADF≌△EDB，進(jìn)而可得求證AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；（3）分兩種情況考慮：①如圖（3）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，②如圖（4）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，由平行線分線段成比例定理可得、，代入數(shù)據(jù)求解即可；【詳解】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1中，設(shè)AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案為：①AF＝BE，②90°．（2）拓展探究：結(jié)論：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解決問(wèn)題①如圖（3）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②如圖（4）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵AC∥DF，∴，∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，故BE的長(zhǎng)為2或4．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角的性質(zhì)和等角對(duì)等邊的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線分線段成比例定理，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．14．（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2解析：（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證即可得；（3）由（2）證出就可得到，再根據(jù)三點(diǎn)在同一直線上分在CD左邊和右邊兩種不同的情況求出AG的長(zhǎng)度，即可求出BE的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，四邊形是矩形，四邊形是正方形；解：由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴故答案為：．（2）如下圖所示連接由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知在和中，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）解：當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，，當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEA=∠ABC=90°，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形解析：（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可推出，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出，故得出直線與所夾的銳角為45°，與（1）結(jié)論不符．（3）此問(wèn)需要分兩種情況討論，一種情況是當(dāng)在直線上，該種情況需要先證明，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出；另一種情況是，當(dāng)在直線下，先證明，從而證明四邊形為矩形，最后求出．【詳解】解：（1）；60°解答如下：如圖１，與為等邊三角形，，在與中，，故答案為：；直線與所夾的銳角為60°．（2）不成立理由如下：與為等腰直角三角形，，，，即：，在與中，故（1）中的結(jié)論不成立；（3）的長(zhǎng)度為2或4；①點(diǎn)在直線上方時(shí)如圖4，，，②點(diǎn)在直線下方時(shí)，如圖5，∥根據(jù)題意，易證四邊形為矩形，，故答案為綜上可得的長(zhǎng)度為2或4【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的三邊關(guān)系、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定及性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，從而證明三角形全等是解答該小問(wèn)的關(guān)鍵．（2）根據(jù)等腰直角三角形的三邊關(guān)系，證明兩個(gè)三角形相似是解答第二問(wèn)的關(guān)鍵，重點(diǎn)掌握相似三角形的判定方法．（3）解答本題時(shí)，首先要認(rèn)識(shí)到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中滿足題意的兩種情況，其次證明過(guò)程可參考上面的證明過(guò)程，最后如何判定四邊形為矩形也是解答最后一題第二種情況的關(guān)鍵．16．（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，過(guò)作于，在中，利用勾股定理求得EH的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，利用解析：（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，過(guò)作于，在中，利用勾股定理求得EH的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理即可求解；（3）分點(diǎn)D在線段AC上和在AC延長(zhǎng)線上兩種情況討論，仿照（1）的方法即可求解．【詳解】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，過(guò)作于，∵，，∴四邊形BDEG是矩形，∵等腰直角三角形，，∴∠C=∠A=45，∵，∴等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵在中，，∴；（2）當(dāng)時(shí)，分成兩種情況：如圖在上方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，∵∠BAC=45，∴是等腰直角三角形，且B為AH的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；如圖，在下方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，同理是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過(guò)作于，∠ACB+∠DCE=90，∠ABC=90，∴四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=2+6=8，∴EH=，∴；當(dāng)點(diǎn)D在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過(guò)作于，同理四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=6-2=4，∴EH=，∴；【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．17．（1）；（2）不成立，理由見解析；；（3），．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得每一個(gè)內(nèi)角都是，則可知△BDE與△CDF是含角的直角三角形，根據(jù)角所對(duì)直角邊是斜邊的一半即可得到結(jié)果；（2）解析：（1）；（2）不成立，理由見解析；；（3），．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得每一個(gè)內(nèi)角都是，則可知△BDE與△CDF是含角的直角三角形，根據(jù)角所對(duì)直角邊是斜邊的一半即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意可證得，得到，，進(jìn)而求出，得到，在中，，，即．（3）過(guò)點(diǎn)作，可求得，根據(jù)頂角為的等腰三角形面積的算法可求出的面積，【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴，又∵，，∴，∴,,∴．（2）不成立．理由如下：如圖1，分別過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，易證得，則，．∵，，∴．∵，∴，則，∴，∴，即．在中，，∴，即．（3），．解法提示：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，可求得．同（2）可證，可求得．在中可求出，根據(jù)頂角為的等腰三角形面積的算法可求出的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確理解三角形全等判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】；【類比探究】上述結(jié)論還成立，理由見解析；【拓展延伸】或．【分析】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即解析：【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】；【類比探究】上述結(jié)論還成立，理由見解析；【拓展延伸】或．【分析】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即可的結(jié)論；拓展延伸：分兩種情況，連接CE交GF于H，由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=4，AC=AB=4，GF=CE=CF，GH=HF=HE=HC，得出CF=BC=2，GF=CE=2，HF=HE=HC=，由勾股定理求出AH==，即可得出答案．【詳解】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：AE=BF，理由如下：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，CE=CF，，∴，∴，∴AE=BF；故答案為：AE=BF；類比探究：上述結(jié)論還成立，理由如下：連接，如圖2所示：∵，∴，在和中，CE=CF，CA=CB，∴，∴，∴，∴AE=BF；拓展延伸：分兩種情況：①如圖3所示：連接交于，∵四邊形和四邊形是正方形，∴，AC=AB=4，GF=CE=CF，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，GF=CE=2，GH=HF=HE=HC=，∴∴AG=AH+HG=；②如圖4所示：連接交于，同①得：GH=HF=HE=HC=，∴，∴AG=AH-HG=；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．19．【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，