第一節(jié)矩陣的基本概念一矩陣的引入三幾種特殊矩陣四矩陣與線性變換五小結(jié)二矩陣的概念1、某班級(jí)同學(xué)早餐情況這個(gè)數(shù)表反映了學(xué)生的早餐情況.姓名饅頭包子雞蛋稀飯周同學(xué)1211張同學(xué)0000陳同學(xué)0221為了方便，常用下面的數(shù)表表示一、矩陣的引入2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四城市之間的航線圖其中√表示有航班.

為了便于計(jì)算,把表中的√改成１,空白地方填上０,就得到一個(gè)數(shù)表:北京杭州廣州上海這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.為了方便，常用下面的數(shù)表表示廣州杭州北京上海發(fā)站廣州杭州北京上海到站3、線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究.二、矩陣的定義定義）排成的行列的矩形數(shù)表，稱(chēng)為數(shù)域由數(shù)域中的個(gè)數(shù)（記作：元素行標(biāo)列標(biāo)稱(chēng)為矩陣的元.中的一個(gè)矩陣.F或或元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱(chēng)為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱(chēng)為復(fù)矩陣.注：１、只有一行的矩陣稱(chēng)為行矩陣,只有一列的矩陣稱(chēng)為列矩陣.２、３、行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱(chēng)為ｎ階方陣,４、若，且，稱(chēng)兩矩陣同型.５、稱(chēng)為方陣的行列式.若，且，稱(chēng)兩矩陣相等.６、例如實(shí)矩陣矩陣（行矩陣）矩陣（１階方陣）矩陣（列矩陣）復(fù)矩陣３階方陣兩矩陣同型兩矩陣相等三、幾種特殊的矩陣１、零矩陣個(gè)元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣.注意

不同的零矩陣未必相等的.記作或.２、對(duì)角矩陣主對(duì)角線以外的所有元素全為零的方陣稱(chēng)為對(duì)角陣.不全為0記作３、單位矩陣主對(duì)角線上的所有元素全為1的對(duì)角陣稱(chēng)為單位陣.全為1記作4、數(shù)量矩陣記作主對(duì)角線上的所有元素全為的對(duì)角陣稱(chēng)為數(shù)量陣.全為5、三角矩陣形如形如的矩陣稱(chēng)為上三角矩陣.的矩陣稱(chēng)為下三角矩陣.上三角矩陣與下三角矩陣統(tǒng)稱(chēng)為三角陣.記作6、負(fù)矩陣稱(chēng)滿足下列兩個(gè)條件的矩陣為行階梯形矩陣：1）若有零行（元素全為零的行），位于底部；若，則稱(chēng)為的負(fù)矩陣.記作7、行階梯形矩陣2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.如稱(chēng)滿足下列三個(gè)條件的矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣：1）行階梯形矩陣8、行最簡(jiǎn)形矩陣2）各非零行的首非零元均為1.3）首非零元所在列其它元素均為０.如稱(chēng)滿足下列兩個(gè)條件的矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形：1）左上角為單位陣；９、標(biāo)準(zhǔn)形２）其它元素均為０.如之間的關(guān)系式一個(gè)線性變換.四、矩陣與線性變換的關(guān)系個(gè)變量與個(gè)變量表示一個(gè)從變量到變量其中為常數(shù).線性變換的系數(shù)構(gòu)成的矩陣稱(chēng)為系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.若線性變換為稱(chēng)之為恒等變換.對(duì)應(yīng)單位陣.線性變換對(duì)應(yīng)線性變換對(duì)應(yīng)這是一個(gè)以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換.(1)矩陣的概念五、小結(jié)(2)特殊矩陣方陣行矩陣與列矩陣；單位矩陣；對(duì)角矩陣；零矩陣.矩陣與行列式的有何區(qū)別?思考題

矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算可求得其值，而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.另外行列式與矩陣的記號(hào)也是不同的.解答第二節(jié)矩陣的運(yùn)算一加法三乘法四矩陣的冪九小結(jié)二數(shù)乘六方陣的行列式五矩陣的轉(zhuǎn)置七伴隨矩陣八共軛矩陣課前復(fù)習(xí)1、矩陣的定義形數(shù)表，稱(chēng)為數(shù)域Ｆ中的一個(gè)ｍ×ｎ矩陣.由數(shù)域Ｆ中的ｍ×ｎ個(gè)數(shù)排成的ｍ行ｎ列的矩記作：注：實(shí)矩陣，復(fù)矩陣，行矩陣，列矩陣，方陣，方陣的行列式，兩矩陣同型，兩矩陣相等.2、幾種特殊的矩陣1）零矩陣ｍ×ｎ個(gè)元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣.2）對(duì)角矩陣主對(duì)角線以外的所有元素全為零的方陣稱(chēng)為對(duì)角陣.3）單位矩陣主對(duì)角線上的所有元素全為１的對(duì)角陣稱(chēng)為單位陣.4）數(shù)量矩陣主對(duì)角線上的所有元素全為λ的對(duì)角陣稱(chēng)為數(shù)量陣.5）三角矩陣上三角矩陣與下三角矩陣統(tǒng)稱(chēng)為三角陣.6）負(fù)矩陣稱(chēng)滿足下列兩個(gè)條件的矩陣為階梯形矩陣：1）若有零行（元素全為零的行），位于底部；7）階梯形矩陣2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.稱(chēng)滿足下列三個(gè)條件的矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣：1）行階梯形矩陣8）行最簡(jiǎn)形矩陣2）各非零行的首非零元均為１.3）首非零元所在列其它元素均為０.稱(chēng)滿足下列兩個(gè)條件的矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形：1）左上角為單位陣；9）標(biāo)準(zhǔn)形２）其它元素均為０.一、矩陣的加法1、定義注意:只有同型矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算.若規(guī)定2、運(yùn)算規(guī)律（設(shè)ＡＢＣＯ均是同型矩陣）（1）

（交換律）（2）

（結(jié)合律）（3）（4）（5）（減法）二、數(shù)乘矩陣1、定義若規(guī)定2、運(yùn)算規(guī)律（設(shè)均是矩陣，）（1）（2）（3）（4）（6）1）數(shù)乘矩陣是數(shù)λ去乘Ａ中的每一個(gè)元素.注意:（5）2）若，則矩陣的加法與數(shù)乘矩陣合稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)算.三、矩陣的乘法1、引例設(shè)甲、乙兩家公司生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種型如果生產(chǎn)這三種型號(hào)的計(jì)算機(jī)每臺(tái)的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ甲乙ⅠⅡⅢ那么這兩家公司的月利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為多少?號(hào)的計(jì)算機(jī)，月產(chǎn)量（單位：臺(tái)）為元／臺(tái))為

甲公司每月的利潤(rùn)為29.1萬(wàn)元，乙公司的利潤(rùn)為由例題可知矩陣Ａ、Ｂ、Ｃ的元素之間有下列關(guān)系34.1萬(wàn)元.依題意2、定義若規(guī)定其中注：1）條件左矩陣Ａ的列數(shù)等于右矩陣Ｂ的行數(shù)2）方法等于左矩陣的第行與右矩陣的第列對(duì)應(yīng)元素左行右列法——矩陣乘積的元素乘積的和.3）結(jié)果左行右列——左矩陣Ａ的行數(shù)為乘積Ｃ的行數(shù)，右矩陣Ｂ的列數(shù)為乘積Ｃ的列數(shù).特別：與矩陣的乘積與矩陣的乘積為為一階方陣，即一個(gè)數(shù)一個(gè)ｓ階方陣?yán)?設(shè)解3、矩陣相乘的三大特征1、無(wú)交換律2、無(wú)消去律3、若4、運(yùn)算規(guī)律（假定所有運(yùn)算合法，是矩陣，）（2）（3）（4）（5）注不盡相同，亦不盡相同.(1)定義對(duì)于矩陣，若，稱(chēng)與可交換.例2設(shè)，求的所有可交換矩陣.解設(shè)，于是即建立方程組得所以四、方陣的冪1、定義規(guī)定若注：1、一般矩陣的冪無(wú)意義，除了方陣.2、只能是正整數(shù).（1）（2）2、運(yùn)算規(guī)律（設(shè)均是階方陣，）（4）（3）（5）注：（1）（2）（7）例3設(shè)，計(jì)算解下用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想當(dāng)時(shí)，等式顯然成立.當(dāng)時(shí)，等式成立，即等式成立.所以猜想正確.要證時(shí)成立，此時(shí)有解例4設(shè)，計(jì)算.易見(jiàn)把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例五、矩陣的轉(zhuǎn)置1、定義2、運(yùn)算規(guī)律（假定所有運(yùn)算合法，是矩陣，）（1）（2）（4）（3）特別例5已知解所以而且顯然對(duì)稱(chēng)矩陣的特點(diǎn)是：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等.如3、對(duì)稱(chēng)矩陣定義設(shè)為階方陣，若，即，那么稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣.

兩個(gè)同階的對(duì)稱(chēng)矩陣的和還是對(duì)稱(chēng)矩陣,對(duì)稱(chēng)矩陣的數(shù)乘也是對(duì)稱(chēng)矩陣.但兩個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣的乘積不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣.特別定義設(shè)為階方陣，若，即，那么稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣.反對(duì)稱(chēng)矩陣的主要特點(diǎn)是:主對(duì)角線上的元素為0,其余的元素關(guān)于主對(duì)角線互為相反數(shù).如

兩個(gè)同階的反對(duì)稱(chēng)矩陣的和還是反對(duì)稱(chēng)矩陣,反對(duì)稱(chēng)矩陣的數(shù)乘也是反對(duì)稱(chēng)矩陣.但兩個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣的乘積不一定是反對(duì)稱(chēng)矩陣.特別4、反對(duì)稱(chēng)矩陣證明例6設(shè)列矩陣，滿足為階單位矩陣，且，證明是對(duì)稱(chēng)矩陣，且.是對(duì)稱(chēng)矩陣.又

證明任一階方陣都可表示成對(duì)稱(chēng)陣與反對(duì)稱(chēng)陣之和.證明所以C為對(duì)稱(chēng)矩陣.所以B為反對(duì)稱(chēng)矩陣.命題得證.例7設(shè)則設(shè)則六、方陣的行列式注意方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念.1、定義由ｎ階方陣Ａ的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變）叫做方陣Ａ的行列式.記作2、運(yùn)算規(guī)律（假定所有運(yùn)算合法，ＡＢ是矩陣，λ∈Ｒ）（1）（2）（4）（3）注例8已知解所以易見(jiàn)1、定義行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式按照的位置所構(gòu)成矩陣的轉(zhuǎn)置.七、伴隨矩陣稱(chēng)為矩陣的伴隨矩陣.2、運(yùn)算規(guī)律（假定所有運(yùn)算合法，是矩陣，）（1）（2）或

同理可得性質(zhì)證明所以00八、共軛矩陣1、定義當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí)，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記，稱(chēng)為的共軛矩陣.2、運(yùn)算規(guī)律（假定所有運(yùn)算合法，是矩陣，）（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）九、小結(jié)矩陣運(yùn)算數(shù)乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣方陣的冪線性運(yùn)算對(duì)稱(chēng)矩陣反對(duì)稱(chēng)矩陣加法一背景二逆矩陣的概念與性質(zhì)三應(yīng)用四小結(jié)第三節(jié)逆矩陣課前復(fù)習(xí)矩陣運(yùn)算加法數(shù)乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣矩陣的冪線性運(yùn)算對(duì)稱(chēng)矩陣反對(duì)稱(chēng)矩陣乘法運(yùn)算中的１，在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)α≠０時(shí)，則稱(chēng)為的倒數(shù)，個(gè)矩陣，在矩陣的運(yùn)算中，一、背景1、數(shù)2、矩陣則矩陣Ａ稱(chēng)為的可逆矩陣，（或稱(chēng)為的逆）；有單位陣Ｅ相當(dāng)于數(shù)的那么，對(duì)于矩陣Ａ，如果存在一有稱(chēng)為的逆陣.3、線性變換它的系數(shù)矩陣是一個(gè)ｎ階矩陣，若記則上述線性變換可表示為按Cramer法則，若，則由上述線性變換可解出在按第列展開(kāi)得即則可用線性表示為若令易知這個(gè)表達(dá)式是唯一的.這是從到的線性變換，稱(chēng)為原線性變換的逆變換.若把此逆變換的系數(shù)記作，則此逆變換也可以記作為恒等變換所對(duì)應(yīng)的矩陣，故因此于是有由此，可得可見(jiàn)又例使得的逆矩陣記作二、逆矩陣的概念和性質(zhì)1、定義對(duì)于階方陣，如果有一個(gè)階方陣，則稱(chēng)方陣是可逆的，是的逆矩陣.并把方陣稱(chēng)為的逆矩陣.若設(shè)和是逆矩陣，則有所以的逆矩陣是唯一的,即說(shuō)明若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.證明于是例1設(shè),求的逆矩陣.解設(shè)則證明，使得兩邊求行列式，有定理1若矩陣可逆，則若矩陣可逆，則即有定理2矩陣可逆的充要條件是，且其中為矩陣的伴隨矩陣.證明因?yàn)榫仃嚺c其伴隨矩陣有，故有又因?yàn)樗?，按逆矩陣的定義，即有例2解當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為奇異矩陣；證明推論若或，則當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為非奇異矩陣.2、奇異矩陣與非奇異矩陣易知于是只證時(shí)，3、運(yùn)算規(guī)律（設(shè)均是階可逆方陣）1）若且證明由推論，即有2）若且且3）若，且同階，推廣證明4）若且5）若6）若證明且證明而因?yàn)樗詾檎麛?shù)）（其中7）其它的一些公式8）一些規(guī)定四、應(yīng)用例3求下列矩陣的逆，其中解1）依對(duì)角矩陣的性質(zhì)知：依矩陣的逆的定義，必有易知：解2）即計(jì)算其中例4的行列式.解例5求解設(shè)且滿足有而設(shè)求例6其中為矩陣的伴隨矩陣.解例7解矩陣方程解設(shè)例8證明證明例9所以可逆.由，得例10可逆，并求它們的逆矩陣.由設(shè)方陣滿足方程，證明證明所以可逆.逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì).逆矩陣的計(jì)算方法逆矩陣存在五、小結(jié)定義法初等變換法（后面介紹）一矩陣的分塊二分塊矩陣的運(yùn)算法則五小結(jié)六思考第四節(jié)矩陣的分塊法三應(yīng)用四兩種特殊的分塊法課前復(fù)習(xí)使得的逆矩陣記作定義對(duì)于ｎ階矩陣Ａ，如果有一個(gè)ｎ階矩陣Ｂ，則稱(chēng)矩陣Ａ是可逆的，并把矩陣Ｂ稱(chēng)為Ａ的逆矩陣.說(shuō)明若Ａ是可逆矩陣，則Ａ的逆矩陣是唯一的.定理1若矩陣Ａ可逆，則定理2矩陣Ａ可逆的充要條件是，且其中為矩陣Ａ的伴隨矩陣.當(dāng)時(shí)，Ａ稱(chēng)為奇異矩陣；當(dāng)時(shí)，Ａ稱(chēng)為非奇異矩陣.運(yùn)算規(guī)律（設(shè)ＡＢ均是ｎ階方陣）1）若且2）若且3）若，且同階，推廣4）若且5）若6）若且且（其中ｋλμ為整數(shù)）7）其它的一些公式8）一些規(guī)定一、矩陣的分塊對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱(chēng)為子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣.例即注：分塊時(shí)首先滿足，再考慮對(duì)角或三角矩陣，然后考慮以及其它的特殊矩陣.按行分塊或按列分塊是兩種特殊的分塊形式.二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則1、矩陣的加法設(shè)與為同型矩陣，采用相同的分塊法，有其中與為同型矩陣，則分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)律與普通矩陣規(guī)律運(yùn)算相類(lèi)似.2、數(shù)乘則3、乘法設(shè)，分塊成其中的列數(shù)分別等于的行數(shù).其中4、轉(zhuǎn)置則那么分塊矩陣的轉(zhuǎn)置為先大轉(zhuǎn)置，而后小轉(zhuǎn)置.都是方陣.5、分塊對(duì)角矩陣

設(shè)Ａ為ｎ階方陣，若Ａ的分塊矩陣只有在主對(duì)角線上有非零子塊（這些非零子塊必須為方陣），其余子塊全為零，那么方陣Ａ就稱(chēng)為分塊對(duì)角陣.即如都是分塊對(duì)角陣.分塊對(duì)角矩陣具有下述性質(zhì):1）2）3）若則有若，則有5）若則均為可逆方陣.4）若則6、設(shè)則例1

設(shè)三、應(yīng)用求解分塊則又于是例2

設(shè)求解-1例3

設(shè)求其中解例4

設(shè)為階方陣，分別為的伴隨矩陣，分塊陣，則（）分析例5設(shè)求解令其中所以而所以可求.稱(chēng)為矩陣的個(gè)行向量.矩陣有個(gè)行，稱(chēng)為矩陣的個(gè)列向量.矩陣有個(gè)列，四、兩種特殊的分塊法--按行分塊與按列分塊.行記作，則矩陣便記為若第列記作若第，則矩陣便記為對(duì)于線性方程組若記其中稱(chēng)為系數(shù)矩陣，稱(chēng)為增廣矩陣.稱(chēng)為未知數(shù)向量，稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)向量，按分塊矩陣的記法，可記利用矩陣的乘法，此方程組可記作如果把系數(shù)矩陣按行分成塊，則線性方程組可記作這就相當(dāng)于把每個(gè)方程記作如果把系數(shù)矩陣按列分成塊，則與相乘的相應(yīng)的應(yīng)分為塊，從而可記作即對(duì)于矩陣與矩陣的乘積矩陣，若把按行分成塊，把按列分成塊，其中便有另外：以對(duì)角矩陣左乘矩陣時(shí)，把按行分塊，有另外：以對(duì)角矩陣右乘矩陣時(shí)，把按列分塊，有

在矩陣?yán)碚摰难芯恐?矩陣的分塊是一種最基本,最重要的計(jì)算技巧與方法.(1)加法(2)數(shù)乘(3)乘法分塊矩陣之間的運(yùn)算分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類(lèi)似：同型矩陣，采同相同的分塊法；數(shù)乘矩陣，需乘的每一個(gè)子塊；若與相乘，需的列的劃分與的行的劃分相一致.五、小結(jié)(4)轉(zhuǎn)置(5)分塊對(duì)角陣的行列式與逆陣(6)兩種特殊的分塊法：按行分塊與按列分塊.六、思考題證一消元法二矩陣的初等變換五小結(jié)六思考第五節(jié)矩陣的初等變換與秩三矩陣的秩四應(yīng)用舉例課前復(fù)習(xí)1、矩陣的逆2、分塊對(duì)角矩陣1）2）3）若4）若則則3、線性方程組的幾種形式4、與的乘法引例求解線性方程組一、消元法解線性方程組④①②③解④①②③①②③④①②③③①①④②③④①②③③②②④②④①②③③③④即其中ｃ為任意常數(shù).總結(jié)1、上述解方程組的方法稱(chēng)為高斯消元法．2、始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程的ｋ倍加到另一個(gè)方程．3、這三種變換均可逆.4、方程組的變換可以看成矩陣的變換.1、定義下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換.（1）互換兩行：（2）數(shù)乘某行：（3）倍加某行：二、矩陣的初等變換（ElementaryTransformation）定義矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換．同理，把換成可定義矩陣的初等列變換.ERTECTET初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類(lèi)型相同．逆變換逆變換逆變換定義經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣，如果矩陣就稱(chēng)矩陣，記作等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系就稱(chēng)為等價(jià)．（1）反身性：（2）對(duì)稱(chēng)性：（3）傳遞性：利用初等行變換可把矩陣化為行階梯形矩陣.利用初等行變換，也可把矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣.定理利用初等行變換，再利用初等列變換最后可把矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.三、矩陣的秩1、子陣與階子式將矩陣的某些行和列劃去（可以只劃去某些行或列），剩下的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的新矩陣叫做矩陣的子矩陣.中，任取行列在矩陣位于這些行與列交叉處的個(gè)元素，依照它們?cè)谥械奈恢么涡虿蛔兌玫碾A行列式，稱(chēng)為矩陣的一個(gè)定義定義階子式.矩陣共有個(gè)階子式.最低階為階，最高階為階.如：矩陣取第1行、第3行和第1列、第4列交叉處的元素，二階子式是組成的的最高階子式是3階，共有4個(gè)3階子式.易見(jiàn)而在這個(gè)矩陣中,都是矩陣的子矩陣.2、矩陣的秩定義（1）（2）則稱(chēng)為矩陣的最高階非零子式.記為或.（1）性質(zhì)：（2）（3）（4）階方陣，（5）其中（6）最高階非零子式的階數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩，定義階方陣，為滿秩陣.，則稱(chēng)定義，則稱(chēng)為行滿秩陣；，則稱(chēng)為列滿秩陣；結(jié)論矩陣的秩最高階非零子式的階數(shù)行階梯形矩陣非零行的行數(shù)行最簡(jiǎn)形矩陣非零行的行數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中單位矩陣的階數(shù)，則稱(chēng)為降秩陣.定義所有與等價(jià)的矩陣的集合稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi).注：（１）所有矩陣可以劃分為一個(gè)等價(jià)類(lèi).（３）化為行階梯形矩陣或行最簡(jiǎn)形矩陣，僅能用初等行變換，而化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣時(shí)，初等行變換和初等列變換均可使用.（４）任一矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣與標(biāo)準(zhǔn)形矩陣唯一.（５）標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是等價(jià)類(lèi)中最簡(jiǎn)單的矩陣.（２）同型同秩矩陣等價(jià).例１解計(jì)算A的3階子式，

用定義求矩陣的秩并非易事，后面我們將用初等變換法去求矩陣的秩.四、應(yīng)用舉例解例２并求的一個(gè)最高階非零子式.設(shè)，求矩陣的秩，把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣：求的一個(gè)最高階非零子式知的一個(gè)最高階非零子式為３階，的階子式共有個(gè)，考察的行階梯形矩陣記則在中找一個(gè)三階非零子式根據(jù)初等行變換對(duì)應(yīng)到A中可以找到一個(gè)三階非零子式易驗(yàn)證

Ａ的一個(gè)最高階非零子式.例３設(shè)其中求解分析：直接將化為階梯形矩陣即可，故例4

將下列矩陣?yán)贸醯茸儞Q化為行階梯形,再化為行最簡(jiǎn)形,最后化為標(biāo)準(zhǔn)形.并求其秩.

注意：化矩陣為行階梯形或行最簡(jiǎn)形時(shí)僅能用初等行變換.化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，初等行變換和初等列變換均可以使用.依次為行階梯形和行最簡(jiǎn)形矩陣。最后得到的矩陣是的標(biāo)準(zhǔn)形，依次為秩顯然為３.２、子陣與階子式３、秩的定義及性質(zhì)五、小結(jié)１、矩陣的初等變換（Elementarytransformation）初等行(列)變換（1）（2）則稱(chēng)為矩陣的最高階非零子式.記為或.最高階非零子式的階數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩，４、經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣，如果矩陣就稱(chēng)矩陣，記作５、矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)利用初等行變換可把矩陣化為行階梯形矩陣.利用初等行變換，也可把矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣.６、利用初等行變換，再利用初等列變換最后可把矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.７、矩陣的秩最高階非零子式的階數(shù)行階梯形矩陣非零行的行數(shù)行最簡(jiǎn)形矩陣非零行的行數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中單位矩陣的階數(shù)一初等矩陣三小結(jié)第六節(jié)初等矩陣二應(yīng)用舉例２、子式與階子式３、秩的定義及性質(zhì)課前復(fù)習(xí)１、矩陣的初等變換（Elementarytransformation）初等行(列)變換（1）（2）則稱(chēng)為矩陣的最高階非零子式.記為或.最高階非零子式的階數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩，４、經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣，如果矩陣就稱(chēng)矩陣，記作５、矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)利用初等行變換可把矩陣化為行階梯形矩陣.利用初等行變換，也可把矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣.６、利用初等行變換，再利用初等列變換最后可把矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.７、矩陣的秩最高階非零子式的階數(shù)行階梯形矩陣非零行的行數(shù)行最簡(jiǎn)形矩陣非零行的行數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中單位矩陣的階數(shù)相應(yīng)的，三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.一、初等矩陣的概念定義１、對(duì)調(diào)就稱(chēng)為初等矩陣.記作２、數(shù)乘記作３、倍加記作基本事實(shí)(左行右列)相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于二、基本結(jié)論１、初等矩陣均可逆２、為初等矩陣３、４、有限個(gè)初等矩陣５、為可逆陣三、初等矩陣的應(yīng)用又因此類(lèi)似的因此又因此因此又例１設(shè)求證證:例2解例3解一由例2得解二用初等變換解矩陣方程：,求，使例4用初等變換解矩陣方程：例5,求，使例6已知矩陣的伴隨矩陣,且，求.解例7,求，使解第二章小結(jié)與練習(xí)一、矩陣的定義定義）排成的行列的矩形數(shù)表，稱(chēng)為數(shù)域由數(shù)域中的個(gè)數(shù)（記作：中的一個(gè)矩陣.F注：實(shí)矩陣、復(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、ｎ階方陣、方陣的行列式、兩矩陣同型、兩矩陣相等.二、幾種特殊的矩陣1）零矩陣個(gè)元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣.2）對(duì)角矩陣主對(duì)角線以外的所有元素全為零的方陣稱(chēng)為對(duì)角陣.3）單位矩陣主對(duì)角線上的所有元素全為1的對(duì)角陣稱(chēng)為單位陣.4）數(shù)量矩陣主對(duì)角線上的所有元素全為的對(duì)角陣稱(chēng)為數(shù)量陣.5）三角矩陣上三角矩陣與下三角矩陣統(tǒng)稱(chēng)為三角陣.6）負(fù)矩陣7）對(duì)合矩陣設(shè)Ａ為ｎ階方陣，如果，則稱(chēng)矩陣為對(duì)合矩陣.8）正交矩陣設(shè)Ａ為ｎ階方陣，如果，則稱(chēng)矩陣為正交矩陣.9）冪等矩陣設(shè)Ａ為ｎ階方陣，如果，則稱(chēng)矩陣為冪等矩陣.稱(chēng)滿足下列兩個(gè)條件的矩陣為階梯形矩陣：1）若有零行（元素全為零的行），位于底部；10）階梯形矩陣2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.稱(chēng)滿足下列三個(gè)條件的矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣：1）行階梯形矩陣11）行最簡(jiǎn)形矩陣2）各非零行的首非零元均為1.3）首非零元所在列其它元素均為０.稱(chēng)滿足下列兩個(gè)條件的矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形：1）左上角為單位陣；12）標(biāo)準(zhǔn)形２）其它元素均為０.三、矩陣與線性變換的關(guān)系之間的關(guān)系式個(gè)變量與個(gè)變量一個(gè)線性變換.表示一個(gè)從變量到變量其中為常數(shù).線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.四、矩陣的運(yùn)算1、加法注意:只有同型矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算.若規(guī)定2、數(shù)乘若規(guī)定3、乘法若規(guī)定其中4、冪規(guī)定若注：1、一般矩陣的冪無(wú)意義，除了方陣.2、ｋ只能是正整數(shù).

把矩陣Ａ的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做Ａ的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.5、轉(zhuǎn)置設(shè)Ａ為ｎ階方陣，若，即，那么Ａ稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣.設(shè)Ａ為ｎ階方陣，若，即，那么Ａ稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣.行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成矩陣的轉(zhuǎn)置.７、伴隨矩陣記作８、共軛矩陣當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí)，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記，稱(chēng)為的共軛矩陣.6、方陣的行列式行列式（各元素的位置不變）叫做方陣Ａ的行