5.2Routh(勞斯)穩(wěn)定判據(jù)定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其全部特征根均具有負(fù)實(shí)部。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也就是要解出系統(tǒng)特征方程的根，看這些根是否均具有負(fù)實(shí)部。問題提出但在實(shí)際工作系統(tǒng)中，特征方程式的階次往往較高，當(dāng)階次高于4時(shí)，根的求解就較困難。為避開對(duì)特征方程的直接求解，討論特征根的分布，看其是否全部具有負(fù)實(shí)部，以此來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1精選可編輯pptRouth判據(jù)是基于方程式根和系數(shù)的關(guān)系建立的。通過對(duì)系統(tǒng)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部根具有負(fù)實(shí)部的條件，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定判據(jù)又稱代數(shù)判據(jù)。2精選可編輯ppt一、系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)特征方程為：將式<5.2.1)中各項(xiàng)同除以Qn并分解因式，得(5.2.1)3精選可編輯ppt從式(5.2.4)可知，要使全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，就必須滿足以下兩個(gè)條件，即系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。(1)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都不等于零。因?yàn)槿粲幸幌禂?shù)為零，則必出現(xiàn)實(shí)部為零的特征根或?qū)嵅坑姓胸?fù)的特征根，才能滿足式（5.2-4)中各式，此時(shí)系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。(2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)都相同按習(xí)慣，一般取ai為正值，因此，上述兩個(gè)條件可歸結(jié)為系統(tǒng)穩(wěn)定的一個(gè)必要條件，即an>0，an-1>0，…，a1>0，a0>0(5.2.5)(5.2.4)4精選可編輯ppt必要條件定理：對(duì)特征方程系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：特征方程各項(xiàng)系數(shù)為正，且不缺項(xiàng)。5精選可編輯ppt二、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1.Routh表將式(5.2.1)所示的系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)按下列形式排列成Routh表：第n＋1行(S0行）僅有一項(xiàng)，并等于特征方程常數(shù)項(xiàng)a06精選可編輯pptRouth表Routh表一共有n+1行，n為特征方程的階次。Routh表第一、二行是特征方程的系數(shù)，第一行為an、an-2、an-4、…，第二行為an-1、an-3、an-5、…。第三行以后，需要逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算。缺項(xiàng)的位置，按零計(jì)算。7精選可編輯ppt8精選可編輯ppt2.Routh穩(wěn)定判據(jù)

Routh判據(jù)Routh表中第一列各元符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件Routh表中第一列各元的符號(hào)均為正，且值不為零。特征方程具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)等于Routh表第一列中系數(shù)改變符號(hào)的次數(shù)。9精選可編輯ppt例1系統(tǒng)的特征方程為：D(s)＝s4+s3-19s2+11s+30＝0因其系數(shù)符號(hào)不同，因此，不滿足穩(wěn)定的必要條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定。應(yīng)用Routh表確知其具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。列Routh表如下第一列各元符號(hào)改變次數(shù)為2，從而，不但可知系統(tǒng)不穩(wěn)定，而且可知系統(tǒng)有兩個(gè)具有正實(shí)部的特征根。10精選可編輯ppt對(duì)于階次較低的系統(tǒng)（如二階和三階系統(tǒng)），Routh穩(wěn)定判據(jù)可以化為如下的簡單形式。(1)二階系統(tǒng)(n=2)穩(wěn)定的充要條件為：a2>0，a1>0，a0>0（5.2.6）(2)三階系統(tǒng)(n=3)穩(wěn)定的充要條件為：a3＞0，a2＞0，a1＞0，a0＞0，a1a2-a0a3＞0(5.2.7)式（5.2.7）中，由a1a2-a0a3＞0可看出，在a3,a2和a0均為正的情況下，若a1為負(fù)，則不能滿足上式，因此必須a1＞0,其實(shí)，這就是a3,a2,a1,a0均應(yīng)大于零。式(5.2.7)中，充要條件之一a1a2-a0a3＞0可改寫為a1a2＞a0a3它表示中間二項(xiàng)系數(shù)之積應(yīng)大于前后兩項(xiàng)系數(shù)之積。因此，對(duì)于三階系統(tǒng)，只要校驗(yàn)其特征方程的系數(shù)，若不滿足上述條件，就可立即判斷為不穩(wěn)定；若滿足上述條件，且各項(xiàng)系數(shù)均為正，則為穩(wěn)定。11精選可編輯ppt例控制系統(tǒng)特征方程如下，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。12精選可編輯ppts4282s3230s20

s100s02

00

Routh表為故系統(tǒng)穩(wěn)定。13精選可編輯ppt例3s41820s35160s24.8200s1–4.8300

s02000第一列符號(hào)改變兩次，說明有兩個(gè)根在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。14精選可編輯ppt例2解：由圖5.2.1可分別求得系統(tǒng)的開環(huán)及閉環(huán)傳遞函數(shù)，即開環(huán)閉環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程代入已知參數(shù)設(shè)有系統(tǒng)的方框圖如圖5.2.1所示。已知ξ=0.2及ωn=86.6,試確定K取何值時(shí)，系統(tǒng)方能穩(wěn)定。15精選可編輯ppt列Routh表由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，有(1)7500K>0,亦即K>0,顯然，這就是由必要條件所得的結(jié)果。(2）(34.6X7500-7500K)/34.6>0，亦即K<34.6故能使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)K的取值范圍為0<K<34.616精選可編輯ppt例3設(shè)某系統(tǒng)的特征方程試確定待定參數(shù)λ及μ，以便使系統(tǒng)穩(wěn)定。解根據(jù)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)，列出Routh表：17精選可編輯ppt根據(jù)Routh表，由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，有所以，使系統(tǒng)穩(wěn)定的叔產(chǎn)的取值范圍為

λ＞0及μ＞118精選可編輯ppt三、Routh判據(jù)的特殊情況(1)如果在Routh表中任意一行的第一個(gè)元為零，而其后各元均不為零或部分地不為零，則在計(jì)算下一行第一個(gè)元時(shí)，該元必將趨于無窮大。于是，Routh表的計(jì)算將無法進(jìn)行。為了克服這一困難，可以用一個(gè)很小的正數(shù)。來代替第一列等于零的元，然后計(jì)算Routh表的其余各元。19精選可編輯pptRouth表第一列出現(xiàn)零元素，用很小的正數(shù)代替，繼續(xù)進(jìn)行。例s5121s4241s300s210s100s0100系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列元素兩次變號(hào)，有兩個(gè)正根在右半平面。20精選可編輯ppt例4設(shè)系統(tǒng)的特征方程為D(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解根據(jù)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)，列出Routh表：21精選可編輯ppt由于第一列各元符號(hào)不完全一致，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列各元符號(hào)改變次數(shù)為2，因此有兩個(gè)具有正實(shí)部的根。其實(shí)，從特征方程各項(xiàng)系數(shù)不全為正，即可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。若ε上下各元符號(hào)不變，且第一列元符號(hào)均為正，則有共扼虛根，此時(shí)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，而非漸近穩(wěn)定。22精選可編輯ppt(2)如果當(dāng)Routh表的任意一行中的所有元均為零時(shí)，系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個(gè)符號(hào)相異、絕對(duì)值相同的實(shí)根；或存在一對(duì)共扼純虛根；或上述兩種類型的根同時(shí)存在；或存在實(shí)部符號(hào)相異、虛部數(shù)值相同的兩對(duì)共扼復(fù)數(shù)根。利用該行的上一行的元構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并用這個(gè)多項(xiàng)式方程的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成Routh表的下一行。Routh表中其余各元的計(jì)算繼續(xù)進(jìn)行下去。這些數(shù)值相同、符號(hào)相異的成對(duì)的特征根，可通過解由輔助多項(xiàng)式構(gòu)成的輔助方程得到，即2p階的輔助多項(xiàng)式有這樣的p對(duì)特征根。23精選可編輯ppt某一行全為零，用上一行對(duì)應(yīng)系數(shù)構(gòu)成輔助方程，對(duì)s求導(dǎo)，將得到的新方程系數(shù)取代原零行，繼續(xù)進(jìn)行。例3s61694s51540s41540s3s22.5400s13.6000s040000000

41000輔助方程某行全為零，說明存在對(duì)稱于原點(diǎn)的根。求導(dǎo)24精選可編輯ppt輔助多項(xiàng)式還可用于求得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根。階數(shù)為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱根的個(gè)數(shù)。s1,2=±j,s3,4=±2j因式分解得另兩個(gè)根為3，特征方程在虛軸上有重根。s5121s4121s3δδ0s2110s1δ00s0100虛根為重根，系統(tǒng)響應(yīng)具有tsin(ωt+ψ)形式，不穩(wěn)定。首列元素沒變號(hào)，但與s2、s4