學案5兩角和與差的正弦、余弦和正切公式考點1考點2填填知學情課內(nèi)考點突破規(guī)律探究考綱解讀考向預(yù)測考點3返回目錄

考綱解讀兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式.(2)會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式.(3)會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.考向預(yù)測在選擇題、填空題以及解答題中出現(xiàn)最多的題型就是三角求值問題.解答這類題目需要重視應(yīng)用三角公式對三角式進行變換，需要有熟練的恒等變形能力，故求值題仍將是今后命題的重點內(nèi)容.返回目錄

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1.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))cos(α+β)=

(C(α+β))sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β))sin(α+β)=

(S(α+β))tan(α-β)=(T(α-β))tan(α+β)=(T(α+β))cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ前面4個公式對任意的α,β都成立,而后面兩個公式成立的條件是α≠kπ+,β≠kπ+,k∈Z,且α+β≠kπ+(T(α+β)需滿足),α-β≠kπ+(T(α-β)需滿足)k∈Z時成立,否則是不成立的.當tanα,tanβ或tan(α±β)的值不存在時,不能使用公式T(α±β)處理有關(guān)問題,應(yīng)改用誘導公式或其它方法求解.2.要辨證地看待和角與差角,根據(jù)需要,可以進行適當?shù)淖儞Q:α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(α+β)-(β-α)等.返回目錄

3.二倍角公式sin2α=

;cos2α=

=

=

;tan2α=

.4.在準確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上,要靈活運用公式解決問題:如公式的正用、逆用和變形應(yīng)用等.如T(α±β)可變形為:tanα±tanβ=

,tanαtanβ=

=

.

2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α返回目錄

5.函數(shù)f(α)=acosα+bsinα(a,b為常數(shù)),可以化為f(α)=

或f(α)=

,其中可由a,b的值唯一確定.返回目錄

【分析】注意角之間的關(guān)系,切化弦,從題設(shè)代數(shù)式聯(lián)系與三角函數(shù)公式結(jié)構(gòu)的差異,尋找解題思路,同時將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或通過約分消掉.考點1三角函數(shù)的化簡求值求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.返回目錄

【解析】原式=〔2sin50°+sin10°×(1+)〕·sin80°=(2sin50°+sin10°×)·sin80°=(2sin50°+2sin10°×)·cos10°=(2sin50°+)·cos10°=·2cos10°=2sin60°=2×=.返回目錄

對于給角求值問題,往往所給角都是非特殊角,解決這類問題的基本思路有:(1)化為特殊角的三角函數(shù)值;(2)化為正、負相消的項，消去求值；(3)化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值.返回目錄

求下列各式的值:（1）;（2）返回目錄

(1)原式返回目錄

（2）原式返回目錄

已知tanα=-,cosβ=,α,β∈(0,π).(1)求tan(α+β)的值；（2）求函數(shù)f(x)=sin(x-α)+cos(x+β）的最大值.考點2三角函數(shù)的給值求值問題

【分析】(1)先求出tanβ的值,再求tan(α+β)的值.(2)求出α,β的正、余弦，再展開化簡.返回目錄

【解析】(1)由cosβ=,β=(0,π),得sinβ=,tanβ=2,所以tan(α+β)==1.(2)因為tanα=-,α∈(0,π),所以sinα=,cosα=-,f(x)=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx.所以f(x)的最大值為.返回目錄

對于給值求值問題,即由給出的某些角的三角函數(shù)的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,關(guān)鍵在于“變角”，使“所求角”變?yōu)椤耙阎恰?，若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分類討論.應(yīng)注意公式的靈活運用,掌握其結(jié)構(gòu)特征,還要會拆角、拼角等技巧.返回目錄

已知α為第二象限角,sinα=,β為第一象限角,cosβ=,求tan(2α-β)的值.

【解析】解法一:,∵α為第二象限角,sinα=,∴cosα=,∴tanα=.∴tan2α=.∵β為第一象限角,cosβ=,∴sinβ=,∴tanβ=,∴tan(2α-β)=.返回目錄

解法二：∵α為第二象限角，sinα=,∴cosα=.∵β為第一象限，cosβ=,∴sinβ=.故sin2α=2sinαcosα=,cos2α=1-2sin2α=,sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=-,cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=-,∴tan(2α-β)=.返回目錄

若sinα=,sinβ=,且α,β為銳角,求α+β的值.【分析】欲求α+β,先求α+β的一個三角函數(shù)值,再由α,β的范圍確定出α+β的值.考點3給值求角問題【解析】∵α,β為銳角,且sinα=,sinβ=,∴cosα=,cosβ=.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=.又α,β均為銳角,∴0<α+β<π,∴α+β=.返回目錄

(1)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時,可遵照下列原則:①已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是(0，)，選正、余弦皆可；若角的范圍是（0，π），選余弦較好；若角的范圍是()，選正弦較好.(2)解這類問題的一般步驟為:①求角的某一個三角函數(shù)值;②確定角的范圍;③根據(jù)角的范圍寫出所求的角.返回目錄

已知0<α<,0<β<,且3sinβ=sin(2α+β),4tan=1-tan2,求α+β的值.返回目錄

由4tan=1-tan2,得由3sin［(α+β)-α］=sin［(α+β)+α］,得tan(α+β)=2tanα,∴tan(α+β)=1.又∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<,∴α+β=.返回目錄

1.巧用公式變形:和差角公式變形:tanx±tany=tan(x±y)·(1tanx·tany);倍角公式變形:降冪公式cos2α=,sin2α=;配方變形：1±sinα=（sin±cos）2,1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2.2.利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間、周期.y=asinα+bcosα=sin(α+φ)其中tanφ=有：≥|y|.返回目錄

3.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角為：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求（或所證明）問題的整體形式中的差異，再選擇適當?shù)娜?/p>