陜西省西安市電子科技大學(xué)附中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線過雙曲線：的右焦點(diǎn)，在第一、第四象限交雙曲線兩條漸近線分別于P，Q兩點(diǎn)，若∠OPQ＝90°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則OPQ內(nèi)切圓的半徑為（）A. B.C.1 D.2．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，．若雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得與雙曲線的一條漸近線垂直并相交于點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線方程為，過點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，則符合題意的直線的條數(shù)共有（）A.4條 B.3條C.2條 D.1條5．某中學(xué)高一年級有200名學(xué)生，高二年級有260名學(xué)生，高三年級有340名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生完成作業(yè)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本，則高二年級抽取的人數(shù)為（）A.10 B.13C.17 D.266．如圖，、分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，則橢圓方程為（）A. B.C. D.7．函數(shù)在區(qū)間上平均變化率等于（）A. B.C. D.8．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率是（）A B.C. D.9．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問卷調(diào)查,將840人按1,2,…,840隨機(jī)編號,則抽取的42人中,編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為A.11 B.12C.13 D.1411．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)N．下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則平分C.若，則 D.若，延長AO交直線于點(diǎn)D，則D，B，N三點(diǎn)共線12．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則實(shí)數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)恰有兩個極值點(diǎn)，則k的取值范圍是______14．函數(shù)在處的切線方程為_________15．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線上的兩點(diǎn)，且滿足，則______；若OM垂直AB于點(diǎn)M，且為定值，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為__________.16．已知命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；命題：方程表示雙曲線.若為真，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）球形物體天然萌，某食品廠沿襲老字號傳統(tǒng)，獨(dú)家制造并使用球形玻璃瓶用于售賣酸梅湯，其中瓶子的制造成本c（分）與瓶子的半徑r（cm）的平方成正比，且當(dāng)cm時，制造成本c為3.2π分，已知每出售1mL的酸梅湯，可獲得0.2分，且制作的瓶子的最大半徑為6cm（1）寫出每瓶酸梅湯的利潤y與r的關(guān)系式（提示：）；（2）瓶子半徑多大時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大為多少？（結(jié)果用含π的式子表示）18．（12分）圓與軸的交點(diǎn)分別為，且與直線，都相切（1）求圓的方程；（2）圓上是否存在點(diǎn)滿足？若存在，求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，，求面積的最大值20．（12分）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）用向量方法證明：已知直線l，a和平面，，，，求證：.21．（12分）在中，已知，，，，分別為邊，的中點(diǎn)，于點(diǎn).（1）求直線方程；（2）求直線的方程.22．（10分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3處取得極值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]內(nèi)的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)漸近線的對稱性，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正切的二倍角公式、直角三角形內(nèi)切圓半徑公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，雙曲線的漸近線方程為：，因此，因?yàn)椤螼PQ＝90°，所以三角形是直角三角形，，而，解得：，由雙曲線漸近線的對稱性可知：，于是有，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，設(shè)OPQ內(nèi)切圓的半徑為，于是有：，即，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷其單調(diào)性，從而可解不等式.【詳解】設(shè)，則，故為上的增函數(shù)，而可化為即，故即，所以不等式的解集為，故選：A.3、B【解析】利用漸近線方程和直線解出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再由得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程得到a、b、c的齊次式可解.【詳解】如圖，因?yàn)榕c漸近線垂直所以的斜率為，方程為解的Q的坐標(biāo)為設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為則，因?yàn)?，所以，得點(diǎn)P坐標(biāo)為，代入得：所以，即所以漸近線方程為故選：B.4、A【解析】利用雙曲線漸近線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.①直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)；②過點(diǎn)平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)；③設(shè)過的切線方程為與雙曲線聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線的條數(shù)為1.綜上可得，直線的條數(shù)為4.故選：A,.5、B【解析】計(jì)算出抽樣比可得答案.【詳解】該校高中學(xué)生共有名，所以高二年級抽取的人數(shù)名.故選：B.6、A【解析】設(shè)橢圓方程為，設(shè)該橢圓的焦距為，則，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可得出，可得出，，結(jié)合已知條件求得的值，可得出、的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】設(shè)橢圓方程為，設(shè)該橢圓的焦距為，則，由圖可知，點(diǎn)第一象限，將代入橢圓方程得，得，所以，點(diǎn)，易知點(diǎn)、，，，因?yàn)?，則，得，可得，則，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為為，則，，因此，橢圓的方程為.故選：A.7、C【解析】根據(jù)平均變化率的定義算出答案即可.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于故選：C8、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因?yàn)椋?，即所以，由雙曲線的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B9、D【解析】用向量分別表示,利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可得，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查用向量的夾角公式求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人∴從編號1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接著從編號481～720共240人中抽取240/20=12人考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣11、D【解析】根據(jù)求出焦點(diǎn)為、點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出可判斷AC；時可得，．由可判斷B；求出點(diǎn)坐標(biāo)可判斷D.【詳解】如圖，若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項(xiàng)A錯誤；時，因?yàn)?，所以．又，，所以不平分，選項(xiàng)B不正確；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)椋?，直線的方程為，所以，所以，選項(xiàng)C錯誤；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)椋?，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長交直線于點(diǎn)D，所以則，所以D，B，N三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D正確；故選：D.12、D【解析】由拋物線準(zhǔn)線與圓相切，結(jié)合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準(zhǔn)線方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故當(dāng)時，有或，所以或，得或6故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)得有兩個極值點(diǎn)等價于函數(shù)有一個不等于1的零點(diǎn)，分離參數(shù)得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并作出的圖象，根據(jù)圖象即可得出k的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解得或，若函?shù)有2個極值點(diǎn)，則函數(shù)與圖象在上恰有1個橫坐標(biāo)不為1的交點(diǎn)，而，令，令或，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，如圖所示，由圖可得.故答案為：14、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，即切線方程為.故答案為：.15、①.-24②.【解析】由拋物線的方程及數(shù)量積的運(yùn)算可求出，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出，由圓的定義求出圓心即可.【詳解】由，即解得或（舍去）.設(shè)直線AB的方程為.由，消去x并整理得,.又，，直線AB恒過定點(diǎn)N(6,0),OM垂直AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M在以O(shè)N為直徑圓上.|MQ|為定值，點(diǎn)Q為該圓的圓心，又即Q(3,0).故答案為：；16、【解析】既然為真，那么就是為真，即p是假，并且q是真，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義即可解出。【詳解】∵為真，∴p為假，q為真；考慮p為真的情況：解得……①；由于p為假，∴或；由于q為真，∴，即……②；由①和②得：；故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）當(dāng)時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π【解析】（1）直接由條件寫出關(guān)系式即可；（2）直接求導(dǎo)確定單調(diào)性后，求出最大值即可.【小問1詳解】設(shè)瓶子的制造成本c與瓶子的半徑r的平方成正比的比例系數(shù)等于k，則瓶子的制造成本，由題意，當(dāng)時，∴，即瓶子的制造成本∴每瓶酸梅湯的利潤是，∴每瓶酸梅湯的利潤關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式為：，【小問2詳解】由（1）知，則，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π.18、（1）（2）存在，或【解析】（1）由題意，設(shè)圓心，由圓與兩直線相切，可得圓心到兩直線的距離都等于圓的半徑，進(jìn)而可求，然后求出半徑即可得答案；（2）假設(shè)圓上存在點(diǎn)滿足，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，再聯(lián)立圓的方程即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)閳A與軸的交點(diǎn)分別為，，所以圓心在弦的垂直平分線上，設(shè)圓心，又圓與直線，都相切，所以，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】解：假設(shè)圓上存在點(diǎn)滿足，則，即①，又，即②，聯(lián)立①②可得或，所以存在點(diǎn)或滿足.19、（1）（2）【解析】（1）由三角恒等變換公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解（2）由余弦定理與面積公式，結(jié)合基本不等式求解【小問1詳解】由己知可得，由，解得：，故的單調(diào)遞減區(qū)間是【小問2詳解】，，故，得，由余弦定理得：，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，面積最大值為20、（1）的單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）說明直線方向向量與平行的法向量垂直后可得【詳解】（1）解：定義域?yàn)镽，，，解得，.當(dāng)或時，，當(dāng)時，.所以的單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為.（2）證明：在直線a上取非零向量，因?yàn)?，所以是直線l的方向向量，設(shè)是平面的一個法向量，因?yàn)?，所?又，所以.21、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出點(diǎn)D，E坐標(biāo)，再求出直線DE方程作答.(2)求出直線AH的斜率，再借助直線的點(diǎn)斜式方程求解作答.【小問1詳解】在中，，，，則邊中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，直線DE斜率，于是得，即，所以直線的方程是：.【小問2詳解】依題意，，則直線BC的斜率為，又，因此，直線的斜率為，所以直線的方程為：，即.22、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)