第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點(diǎn)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)五、內(nèi)容小結(jié)1一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量22.連續(xù)的定義3顯然這兩個(gè)定義是等價(jià)的.討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí),通常用定義1.4例1解5例2證由定義1知,63.單側(cè)連續(xù)定義(定義2)定理7例3解

f(x)在x=0處右連續(xù)但不左連續(xù),84.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間的定義(定義3)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,9連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算定理例如,1.基本初等函數(shù)的連續(xù)性102、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理

嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,即反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).11定理定理推論112例如,例4解13二、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★14定理

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★均在其定義域內(nèi)連續(xù).定理

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.注:定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.15注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義,即在定義域內(nèi)不連續(xù).在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義,所以函數(shù)在0點(diǎn)處不連續(xù),但注意2.初等函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)求極限的方法:代入法.16例5例4解解17三、函數(shù)的間斷點(diǎn)181.跳躍間斷點(diǎn)例6解192.可去間斷點(diǎn)例720解注意可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).21如例7中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn),它們的特點(diǎn)是:223.第二類(lèi)間斷點(diǎn)例8解23例9解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).24狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類(lèi)間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★★25在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值|f(x)|

在R內(nèi)處處連續(xù).★判斷下列間斷點(diǎn)類(lèi)型:26例10解27第一類(lèi)間斷點(diǎn)oyx跳躍型無(wú)窮型振蕩型第二類(lèi)間斷點(diǎn)oyxoyx可去型oyx間斷點(diǎn)的分類(lèi)小結(jié):281.有界性與最大值最小值定理定義:例如,四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)29定理(最值定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.30定理(有界性定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證312.介值定理與根的存在定理幾何解釋:32定義:幾何解釋如下:即方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根。33例11證由根的存在定理,34例12證由根的存在定理,351.函數(shù)的連續(xù)性部分內(nèi)容小結(jié)：（1）函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須同時(shí)滿(mǎn)足的三個(gè)條件;（3）間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別;（2）區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的定義;第一類(lèi)間斷點(diǎn):跳躍型,可去型.第二類(lèi)間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)五、內(nèi)容小結(jié)362.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算部分內(nèi)容小結(jié):(1)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.(3)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.(4)初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;定義區(qū)間內(nèi)求極限的又一種方法.定理3;定理4及推論1(2)反函數(shù)的連續(xù)性.373.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)部分內(nèi)容小結(jié)：四個(gè)結(jié)論：最值定理;有界性定理;介值定理;根的存在定理.注意閉區(qū)間、連續(xù)函數(shù)兩條件要求同時(shí)滿(mǎn)足。這兩條件不都滿(mǎn)足時(shí),上述定理不一定成立．解題思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用根的存在定理;38