專題06數(shù)列（難點）一、單選題1．數(shù)列及其前n項和為滿足：，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式，利用累乘法可求得數(shù)列通項公式，再結(jié)合裂項求和即可求得的值.【解析】當時，，即所以累乘得：，又，所以所以則.故選：C.2．已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列，列出符合條件的不等式組，求出的取值范圍即可.【解析】數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則，解得，故的取值范圍是故選：D3．在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列（

）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】C【分析】根據(jù)題意求出，根據(jù)等差數(shù)列的各項符號得到數(shù)列的單調(diào)性，由此可求得結(jié)果.【解析】解：依題意可得公差，，所以當時，，當時，，因為，，，，，，又當時，，且，即，所以當時，數(shù)列單調(diào)遞增，所以數(shù)列無最大項，數(shù)列有最小項.故選：C4．在2022年北京冬殘奧會閉幕式上，出現(xiàn)了天干地支時辰鐘表盤.天干地支紀法源于中國，不僅用于紀時紀日，也可用于紀年.天干地支具體分為十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”.橙子輔導(dǎo)創(chuàng)立于1933年（癸酉），以此類推即將迎來的九十周年校慶的2023年為（

）A．壬寅 B．壬卯 C．癸寅 D．癸卯【答案】D【分析】由已知天干是以10，地支是以12為公差的等差數(shù)列，以1933年的天干和地支分別為首項，即可得到答案.【解析】天干是以10為構(gòu)成的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從1933年到2023年經(jīng)過90年，且1933年為癸酉，以1933年的天干和地支分別為首項，又，則2023年的天干是癸又，則2023年的地支是卯所以即將迎來的九十周年校慶的2023年為癸卯故選：D5．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足(為常數(shù)，．給出下列四個結(jié)論：①對給定的數(shù)列，設(shè)為其前n項和，則有最小值；②若數(shù)列是遞增數(shù)列，則；③若數(shù)列是周期數(shù)列，則最小正周期可能為2；④若數(shù)列是常數(shù)列，則其中，所有正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用數(shù)列的各項均為正數(shù)以及前項和表達式判斷①；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則有，進而根據(jù)已知條件化簡式子求出的取值情況判斷②；若數(shù)列是最小正周期為的數(shù)列，則有，對和取特殊值驗證判斷③；若數(shù)列是常數(shù)列，設(shè)，則，從函數(shù)的角度求的取值情況判斷④.【解析】對于①，在數(shù)列的各項均為正數(shù)的情況下，設(shè)為其前n項和，則，易知遞增，因此有最小值，①正確；對于②，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則成立，又，成立，即成立，則，②錯誤；對于③，若數(shù)列是最小正周期為的數(shù)列，則，即成立，當，時，上式成立，數(shù)列是最小正周期為的數(shù)列，③正確；對于④，若數(shù)列是常數(shù)列，設(shè)，則，令，則，，，④正確.綜上所述，所有正確結(jié)論的個數(shù)是個.故選：C.6．已知數(shù)列滿足，且，若不等式對于任意正整數(shù)成立，則的最小值為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】由原式可得數(shù)列是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，從而求得，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性，可得，，從而的最小值為14.【解析】由，可得，而，故數(shù)列是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以，即有，，因為，當時，，最小值為.當時，，若不等式對于任意正整數(shù)成立，則，，則的最小值為14.故選：C7．已知數(shù)列的首項是，前項和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由數(shù)列通項與前項和的關(guān)系得到數(shù)列的遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式，進一步求出數(shù)列的通項公式，從而可求數(shù)列通項公式，代入所求式子，分子、分母同除以構(gòu)造基本不等式即可求出的最大值，從而求出的范圍.【解析】由，則當時，得，兩式相減得，變形可得：，又，，所以，，∴數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，故，所以，所以，當且僅當時等號成立，故.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造等比數(shù)列求的通項公式，即可得通項公式，再由不等式恒成立，結(jié)合基本不等式求的最值，即可求參數(shù)范圍.8．已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（

）A．若為等比數(shù)列，則B．若為遞增的等差數(shù)列，則C．若為等比數(shù)列，則D．若為遞增的等差數(shù)列，則【答案】B【分析】若為等比數(shù)列，可得，進而可得可判斷AC；若為遞增的等差數(shù)列，利用累乘法可得，再利用裂項相消法可得，利用累加法可得，進而可得，可判斷BD.【解析】因為，∴，即，若為等比數(shù)列，則的公比為，∴，由，可得，∴，故AC錯誤；若為遞增的等差數(shù)列，，公差，由則，∴，∴，即，∴，∴，又，∴，又則，∴當時，不等式恒成立，故，故B正確，D錯誤.故選：B.二、多選題9．對于數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒和數(shù)列”．下列關(guān)于“倒和數(shù)列”描述正確的有（

）A．若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列B．若，則數(shù)列是周期數(shù)列C．若，則其“倒和數(shù)列”有最大值D．若，則其“倒和數(shù)列”有最小值【答案】BC【分析】對A：利用函數(shù)單調(diào)性和舉反例判斷；對B：根據(jù)題意整理可得，進而分析判斷；對C：分類討論的符號，并結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析判斷；對D：根據(jù)數(shù)列單調(diào)性分析判斷.【解析】對A：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在整個定義域內(nèi)不單調(diào)，故無法判斷數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列，例如，則，可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，A錯誤；對B：∵，則，又∵，即，則，即，∴，則數(shù)列是以周期為2的周期數(shù)列，B正確；對C：∵，則數(shù)列為遞減數(shù)列，即，令，則，∴當時，則；當時，則.由B可得，若時，則，則，即，∴，故其“倒和數(shù)列”有最大值，C正確；對D：∵，則數(shù)列為遞增數(shù)列，可得，∴，則，即，故數(shù)列為遞減數(shù)列，無最小值，D錯誤.故選：BC.10．數(shù)列滿足，，是的前項和，以下正確的是（

）A．是數(shù)列的最小項B．是等差數(shù)列C．D．對于兩個正整數(shù)，，的最小值為【答案】ABD【分析】由題知數(shù)列為等差數(shù)列，進而得，再根據(jù)通項公式，依次研究各選項即可.【解析】解：因為，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為2，又，，所以，，所以，，又，所以，當時，取得最小值，故A正確；，故C不正確；所以，，是常數(shù)，所以是等差數(shù)列，故B正確；對于兩個正整數(shù)，，，由，所以的最小值為，故D正確.故選：ABD.11．在平面四邊形ABCD中，的面積是面積的2倍，又數(shù)列滿足，恒有，設(shè)的前n項和為，則（

）A．為等比數(shù)列 B．為等差數(shù)列C．為遞增數(shù)列 D．【答案】BD【分析】連交于，根據(jù)面積關(guān)系推出，根據(jù)平面向量知識推出，結(jié)合，推出，即，求出，，根據(jù)等比數(shù)列的定義可判斷A；根據(jù)等差數(shù)列的定義可判斷B，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可判斷C；利用錯位相減法求出，可判斷D.【解析】如圖，連交于，則，即，所以，所以，所以，設(shè)，因為，所以，，所以，所以，即，又，所以，所以是首項為2，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，因為不是常數(shù)，所以不為等比數(shù)列，故A不正確；因為，所以為等差數(shù)列，故B正確；因為，所以為遞減數(shù)列，故C不正確；因為，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：BD12．已知數(shù)列滿足：，，下列說法正確的是（

）A．，成等差數(shù)列 B．C． D．，一定不成等比數(shù)列【答案】BCD【分析】根據(jù)題意得，再結(jié)合數(shù)列單調(diào)性與得，可判斷B選項；由遞推關(guān)系式易得，進而可判斷A選項；根據(jù)數(shù)列單調(diào)性得，進而可得判斷C；利用反證法先假設(shè)，成等比數(shù)列，推出之間的公比為，結(jié)合可以得到成等比數(shù)列，與矛盾，故假設(shè)不成立，可判斷D【解析】解：因為，所以，且，所以①，所以②所以，②-①整理得：因為，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，故B選項正確；對于A選項，若，成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，由遞推關(guān)系得，顯然不滿足等差數(shù)列，故A選項錯誤；對于C選項，因為，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，所以，因為，所以，所以，從第2項起，數(shù)列介于以為首項，公比分別為和為公比的等比數(shù)列對應(yīng)項之間，所以，故C選項正確；對于D選項，假設(shè)，成等比數(shù)列，設(shè)之間的公比為，由可得即，因為，所以，解得，因為為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，由可得，即整理得，所以成等比數(shù)列，所以以此類推能得到成等比數(shù)列，與矛盾，故假設(shè)不成立，故D正確；故選：BCD【點睛】本題關(guān)鍵點在于通過數(shù)列的遞推關(guān)系式以及等差數(shù)列、等比數(shù)列研究數(shù)列的性質(zhì)，D選項中反證法的應(yīng)用是本題的重難點，注意掌握加以應(yīng)用.三、填空題13．已知等差數(shù)列滿足（，），則_____．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件即可求得結(jié)果.【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，故，解得；令，則，故解得.故答案為：.14．數(shù)列滿足，若，數(shù)列的前n項和為，則使不等式成立的n的最小值為_______________．【答案】10【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，探求數(shù)列的性質(zhì)并求出通項，再利用裂項相消法求解作答.【解析】依題意，，由得，即數(shù)列為等差數(shù)列，公差d，有，解得，從而，即，所以，此時，解得，所以n的最小值為10．故答案為：10【點睛】思路點睛：裂項法求和核心是裂項，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的．15．已知等比數(shù)列的公比為q，且，能使不等式成立最大正整數(shù)_______________．【答案】【分析】根據(jù)已知求得的表達式，由此求得的取值范圍，根據(jù)成立列不等式，化簡求得的取值范圍，從而求得最大正整數(shù).【解析】由已知，結(jié)合知，解得，由于是等比數(shù)列，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.要使成立則，即，將代入整理得：又，可知，故最大正整數(shù).故答案為：16．已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則使得成立的n的最小值為________．【答案】27【分析】方法一：先根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式確定滿足條件的項數(shù)的取值范圍，再列不等式求滿足條件的項數(shù)的最小值.【解析】［方法一］：【通性通法】【最優(yōu)解】設(shè)，則由得，化簡得，，解得：，即．所以只需研究是否有滿足條件的解，此時，，為等差數(shù)列項數(shù)，且.由即，解得，所以得滿足條件的最小值為.故答案為：.［方法二］：列舉法＋二分法與相比，B元素間隔大．因此利用列舉法從中元素構(gòu)成看，分別加了幾個B中元素進行考慮．1個：；2個：；3個：；4個：；5個：；6個：．發(fā)現(xiàn)當時，發(fā)生變號，以下用二分法查找：，所以所求n應(yīng)在22~29之間．，所以所求n應(yīng)在25~29之間．，，不符合條件；，，符合條件．因為，而，故答案為：.【整體點評】方法一：先由求和公式尋找不等式成立的充分條件，即當?shù)陧椀闹荡笥诘扔跁r，不等式成立，再尋找第項的值在與之間時是否也可以有滿足題意的解，從而解出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)兩個集合的特征，一一列舉集合中的元素，并研究集合中元素的和與的變化規(guī)律，從而找出可能滿足不等式的解，再由二分法驗證解出，該法計算較為麻煩．四、解答題17．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，，，且有最大值．(1)求數(shù)列的通項公式及的最大值；(2)求【答案】(1)，前n項和最大值108；(2)，【分析】（1）由有最大值得，結(jié)合等差中項性質(zhì)可解出、，即可進一步解出基本量，，即可由公式法列出通項公式，的最大值為前面所有非負項的和；（2）由數(shù)列的符號，分別求、時的即可，其中當時.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差是d，首項是，由有最大值得，則數(shù)列是遞減數(shù)列，因為，，解得、或、舍去，則，，解得，，所以，令得，則當時，；當時，，所以；（2）由（1）可得，當時，…，當時，……，綜上可得，，18．已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足：，的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由條件證明數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式求的通項，由此可求數(shù)列的通項公式；(2)由(1)通過放縮證明，由此證明，利用基本不等式結(jié)合放縮證明，由此證明.【解析】（1）因為，所以，即，又，所以，所以數(shù)列為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，故，所以數(shù)列的通項公式為；（2）因為當時，，所以，所以，又當，且時，，所以當，當，且時，，所以，所以對于任意的，，綜上所述，對于任意的，.19．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，為其前n項和，，，，成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)條件，結(jié)合等比數(shù)列基本量，列等式求，即可求數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1），再利用裂項相消法求數(shù)列的和，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即證明不等式.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意知，即，因為，，所以，所以，所以．（2）證明：由（1）得，所以，所以，所以．顯然單調(diào)遞增，所以，因為，所以，所以．20．已知數(shù)列中，，，.設(shè).(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項的和為，求.(3)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）由，變形為，根據(jù)，代入即可證明結(jié)論.（2）由（1）可得，利用時，，可得，利用求和公式即可得出數(shù)列的前項的和為.（3），利用裂項求和與數(shù)列的單調(diào)性即可得出結(jié)論.【解析】（1），，，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為1，公比為2.（2）由（1）可得，時，，時也成立.，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為1，公比為2.數(shù)列的前項的和為.（3），數(shù)列的前項和，.21．已知集合（是整數(shù)集，m是大于3的正整數(shù)）．若含有m項的數(shù)列滿足：任意的，都有，且當時有，當時有或，則稱該數(shù)列為P數(shù)列．(1)寫出所有滿足m=5且的P數(shù)列；(2)若數(shù)列為P數(shù)列，證明：不可能是等差數(shù)列；(3)已知含有100項的P數(shù)列滿足是公差為等差數(shù)列，求d所有可能的值．【答案】(1)P數(shù)列為：和(2)證明見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)P數(shù)列的定義，可直接寫出答案；（2）假設(shè)是等差數(shù)列，公差為d，分和兩種情況，可得到與題意不符的結(jié)論，從而證明結(jié)論成立；（3）由題意，，分類討論，說明當時，不符題意，同理可說明和時，推導(dǎo)出與題意不符的結(jié)論，繼而說明，符合題意，從而求得答案．【解析】（1）由題意可得滿足且的P數(shù)列為：和（2）假設(shè)是等差數(shù)列，公差為d，當時，由題意，或3，此時，所以不是等差數(shù)列中的項，與題意不符，所以不可能是等差數(shù)列；當時，由題意，或，此時，所以不是等差數(shù)列中的項，與題意不符，所以不可能是等差數(shù)列綜上所述，不可能是等差數(shù)列；（3）由題意，當時，因為，所以，與題意不符；當時，記，當時，，所以，所以，所以，與題意不符；當時，，又由題意，，其中，且，所以，所以，所以，與不符；當時，取，此時的數(shù)列滿足題意，綜上所述，．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了關(guān)于數(shù)表新定義的問題，涉及到歸納推理的思想方法，對學(xué)生的思維能力要求較高，綜合性強，能很好地考查學(xué)生的綜合素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是要理解新定義，根據(jù)其定義解決問題.22．1.設(shè)數(shù)列中前兩項、給定，若對于每個正整數(shù)，均存在正整數(shù)使得，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列為、的等比數(shù)列，當時，試問與是否相等