24.6-24.7平面向量的線性運算一、實數(shù)與向量相乘1.實數(shù)與向量相乘的意義：一般地，設(shè)為正整數(shù)，為向量，我們用表示個相加；用表示個相加.又當(dāng)為正整數(shù)時，表示與同向且長度為的向量.要點：設(shè)P為一個正數(shù)，P就是將的長度進行放縮，而方向保持不變；-P也就是將的長度進行放縮，但方向相反.2．向量數(shù)乘的定義 一般地，實數(shù)與向量的相乘所得的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）如果時，則：①的長度：；②的方向：當(dāng)時，與同方向；當(dāng)時，與反方向；（2）如果時，則：，的方向任意.實數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘.要點：（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個與已知向量平行（或共線）的向量；（2）實數(shù)與向量不能進行加減運算；（4）表示向量的數(shù)乘運算，書寫時應(yīng)把實數(shù)寫在向量前面且省略乘號，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；（5）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.3.實數(shù)與向量的相乘的運算律：設(shè)為實數(shù)，則：（1）（結(jié)合律）；（2）（向量的數(shù)乘對于實數(shù)加法的分配律）；（3）（向量的數(shù)乘對于向量加法的分配律）二、平行向量定理1.單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.要點：任意非零向量與它同方向的單位向量的關(guān)系：，.2.平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)，使.要點：（1）定理中，，的符號由與同向還是反向來確定.（2）定理中的“”不能去掉，因為若，必有，此時可以取任意實數(shù)，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量平行.（4）向量平行的性質(zhì)定理：若向量與非零向量平行，則存在一個實數(shù)，使.（5）A、B、C三點的共線若存在實數(shù)λ，使.三、向量的線性運算1．向量的線性運算定義：向量的加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算.要點：（1）如果沒有括號，那么運算的順序是先將實數(shù)與向量相乘，再進行向量的加減.（2）如果有括號，則先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．2．向量的分解：平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個不共線（或不平行）的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使得.要點：（1）同一平面內(nèi)兩個不共線（或不平行）向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.一組基底中，必不含有零向量．(2)一個平面向量用一組基底表示為形式，叫做向量的分解，當(dāng)相互垂直時，就稱為向量的正分解.(3)以平面內(nèi)任意兩個不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同．3．用向量方法解決平面幾何問題：（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．（2）用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.②通過向量運算，研究幾何元素的關(guān)系.③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.24.6實數(shù)與向量相乘一、單選題1．已知、為非零向量，下列判斷錯誤的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么或 D．如果為單位向量，且，那么【答案】C【分析】根據(jù)單位向量、平行向量以及模的定義進行判斷即可．【解析】解：A、如果，那么，故本選正確；B、如果，那么，故本選正確；C、如果，沒法判斷與之間的關(guān)系，故本選項錯誤D、如果為單位向量，且，那么，故本選正確；故選：C．【點睛】本題考查了平面向量，熟記單位向量、平行向量以及模的定義是解題的關(guān)鍵．2．已知為單位向量，向量與方向相反，且其模為的4倍；向量與方向相同，且其模為的2倍，則下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)得到，，從而得到．【解析】解：根據(jù)題意知，，，則，，則，觀察選項，只有選項B符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了平面向量的知識．此題比較簡單，注意掌握單位向量的知識．3．下列判斷正確的是（）A．如果||＝||，那么＝或＝﹣B．若k＝0，則|k|＝0C．0?＝0D．n表示n個相乘【答案】B【分析】根據(jù)向量的模，實數(shù)與向量的簡單計算，逐項分析判斷即可．【解析】A.如果||＝||，則兩個向量的模相等，并不能說明兩個向量共線，則＝或＝﹣不一定正確，故該選項不正確，不符合題意；B.若k＝0，則|k|＝0，故該選項正確，符合題意；C.0?＝，故該選項不正確，不符合題意；D.n表示n個相加，故該選項不正確，不符合題意；故選B【點睛】本題考查了向量的模，實數(shù)與向量的簡單計算，理解向量的意義是解題的關(guān)鍵．4．已知非零向量，，，下列條件中，不能判定的是（

）A．； B．；C．，； D．，．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的判定方法判斷即可．【解析】A.∵，不能判斷，故本選項，符合題意B.∵，∴，故本選項，不符合題意；C.∵，，∴，故本選項，不符合題意；D.∵，，∴，故本選項，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．下列命題正確的個數(shù)是（

）①設(shè)是一個實數(shù)，是向量，那么與相乘的積是一個向量；②如果，，那么的模是；③如果，或，那么；④如果，的方向與的方向相反．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)實數(shù)與向量的乘積結(jié)合向量的定義，逐項分析判斷即可求解．【解析】解：①設(shè)是一個實數(shù)，是向量，那么與相乘的積是一個向量，故①正確；②如果，，那么的模是，故②正確；③如果，或，那么，故③錯誤；④如果，的方向與的方向相反，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查了實數(shù)與向量的乘積，熟練掌握平面向量的定義是解題關(guān)鍵．6．已知非零向量、，且有，下列說法中，不正確的是()A．| B．C．與方向相同 D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐項分析判斷即可求解．【解析】解：∵非零向量、，且有，∴，，，與方向相反，故A，B，D正確，C錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了向量的相關(guān)概念，掌握向量的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．7．已知，均為單位向量，那么下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，即可得答案點評【解析】解：∵沒有指明，的方向，∴A、B選項不正確，不符合題意；∵，均為單位向量，∴，故C選項不正確，不符合題意；∴，故D選項不正確，不符合題意；故選：D【點睛】本題考查向量數(shù)量的運算，涉及向量的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．下列命題中，錯誤的是（

）A．如果或，那么B．如果、為實數(shù)，那么C．如果（為實數(shù)），那么D．如果，那么或【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可．【解析】解：A、如果或，那么，故本選項正確，不符合題意；B、如果、為實數(shù)，那么，故本選項正確，不符合題意；C、如果（為實數(shù)），那么，故本選項錯誤，符合題意；D、如果，那么或，故本選項正確，不符合題意；故選：C【點睛】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的性質(zhì)，屬于中考常考題型．9．已知一個單位向量，設(shè)、是非零向量，下列等式中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可．【解析】解：A、與的模相等，方向不一定相同，故本選項不符合題意．B、，計算正確，故本選項符合題意．C、和的模相等，方向不一定相同，故本選項不符合題意．D、和的模相等，方向不一定相同，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．10．如果點、分別在的邊上，,，那么等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，，進而可得，即可求解．【解析】解：如圖，，故選：D【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及平面向量知識點，掌握相似三角形的面積之比等于對應(yīng)邊比的平方是解題關(guān)鍵．二、填空題11．向量與－2的方向．【答案】相反【分析】根據(jù)負(fù)號代表方向相反解答．【解析】與－2符號相反，因此放小相反，故答案為：相反．【點睛】本題考查向量的意義，要理解符號的含義．12．已知向量與方向相反，長度為6，則【答案】－6【分析】根據(jù)平面向量的方向性即可得出結(jié)論．【解析】∵向量與方向相反，長度為6，∴，故填：6．【點睛】本題考查向量的方向性和表示方法，較為簡單．13．單位向量有個，不同單位向量是指它們的不同．【答案】無數(shù)方向【分析】根據(jù)單位向量定義解答即可.【解析】單位向量是單位為1的向量，所以單位向量有無數(shù)個，不同的單位向量是指它們的方向不同.【點睛】本題考查單位向量的定義，明確定義是解題的關(guān)鍵.14．長度為的倍，且與是平行向量的向量是．【答案】或/或【分析】根據(jù)向量的方向相同或相反，即可求解．【解析】解：長度為的倍，且與是平行向量的向量是或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了平面向量，注意要分類討論：平行向量的方向有相同方向和相反方向兩種情況．15．是非零向量，設(shè)．（1）當(dāng)與同向時，有；（2）當(dāng)與反向時，有；（3）當(dāng)時，有．【答案】【分析】根據(jù)向量的定義及實數(shù)與向量相乘的意義進行解答即可.【解析】（1）∵，且與同向，∴；（2）∵，且與反向，∴；（3）∵，∴又∵，為非零向量，∴k=0.【點睛】本題考查了向量的表示，明確向量由方向和大小共同確定，掌握實數(shù)與向量相乘的意義是解題關(guān)鍵..16．如圖，正方形的對角線、交于點，圖中與相等的向量（除了）是．

【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及平面向量的定義分析即可求解．【解析】解：∵正方形的對角線、交于點，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量的定義以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．17．如圖，分別是的邊延長線上的點，，，如果，那么向量（用向量表示）．【答案】【分析】由，可得且相似比為1：2，故DE：BC=1：2，又因為和方向相同，故．【解析】∵∴，∴又∵故和相似比為1：2則DE：BC=1：2故故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)和向量．兩角分別相等的兩個三角形相似．?dāng)?shù)乘向量：實數(shù)和向量的乘積是一個向量，記作，且的長．18．如圖，在梯形中，，，對角線與交于點O，設(shè)，，那么．（結(jié)果用、表示）

【答案】【分析】由，即可證得，又由，即可求得和，再運用向量的和差即可求得．【解析】解：∵，，∴，∴，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查向量的和差、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及明確向量是有方向的是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．計算：

；；

．【答案】【分析】（1）根據(jù)實數(shù)與向量相乘的運算定律計算即可；（2）根據(jù)實數(shù)與向量相乘的運算定律計算即可；（3）根據(jù)實數(shù)與向量相乘的運算定律計算即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）．【點睛】此題主要考查實數(shù)與向量相乘的運算定律，以及去括號法則，掌握運算定律是解決問題的關(guān)鍵．20．若向量、、滿足，求向量．（結(jié)果用、表示）．【答案】【分析】數(shù)乘向量滿足結(jié)合律、分配律，計算求出即可．【解析】解：【點睛】本題考查了平面向量的計算，熟練掌握平面向量的計算法則是解決本題的關(guān)鍵.21．如圖，已知平行四邊形ABCD，=，=．（1）=；（用，的式子表示）（2）=；（用，的式子表示）（3）若AC⊥BD，||=4，||=6，則|+|=．【答案】（1）﹣+；（2）+；（3）2．【分析】（1）（2）根據(jù)平面向量的加法法則計算即可解決問題；（3）利用勾股定理計算即可；【解析】解：（1）=﹣+；（2）==+；（3）∵AC⊥BD，||=4，||=6，∴|+|=．故答案為（1）﹣+；（2）+；（3）2．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)．平面向量的加法法則等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形加法法則，屬于中考?？碱}型．22．用向量方法證明“三角形中位線定理”，已知在中，、E分別是、的中點，求證：DE∥BC，且．【答案】見解析【分析】根據(jù)向量減法的三角形法則可知，再由D、E分別是AB、AC的中點可知，，，從而得到，即可證明結(jié)論.【解析】證明：∵D、E分別是AB、AC的中點∴，，∵，∴，∴DE∥BC，且．【點睛】本題考查向量的減法及運用向量證平行，掌握向量減法的三角形法則及實數(shù)與向量乘積的意義是解題的關(guān)鍵.24.7向量的線性運算一、單選題1．點是線段的中點，則等于（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的加法計算法則解答．【解析】解：點是線段的中點，．．．故選：D．【點睛】本題主要考查了平面向量的知識，注意：平面向量是有方向的．2．已知點是線段的中點，那么下列結(jié)論中，正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，因為點M是線段AB的中點，所以根據(jù)線段中點的定義解答．【解析】解：A、，故本選項錯誤；B、，故本選項正確；C、，故本選項錯誤；D、，，故本選項錯誤．【點睛】本題考查了線段的中點定義，注意向量的方向及運算法則．3．如圖，梯形中，為對角線與的交點，那么下列結(jié)論正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的定義與運算法則即可判斷各選項．【解析】解：∵梯形中，，∴，故A不符合題意；，故B符合題意；，故C不符合題意；，故D不符合題意；故選B【點睛】本題考查的是向量的線性運算，熟記運算法則是解本題的關(guān)鍵．4．下列等式中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性計算，逐一進行判斷即可．【解析】解：A.，原式錯誤；B.，正確；C.，正確；D.，正確；故選：A．【點睛】本題考查向量的線性計算．熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．5．矩形的對角線與相交于點，如果，，那么（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，再根據(jù)即可得到結(jié)果．【解析】解：如圖所示：∵∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了平面向量，矩形的性質(zhì)，本題側(cè)重考查知識點的理解能力．6．如圖，已知，為三角形ABC的中線，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，則，則．【解析】解：∵為的中線，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的運算是解題的關(guān)鍵．7．下列向量的運算結(jié)果為零向量的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)向量加法運算規(guī)律，逐項檢驗，即可求得答案.對A，；對B，；對C，；對D，.綜上所述，只有C符合題意故選：C.本題解題關(guān)鍵是掌握向量加法運算規(guī)律，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．已知在中，點D、E分別是的中點，設(shè)，，那么向量用向量、表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，利用三角形法則求解即可求得，又由在中，D、E分別是邊的中點，可得是的中位線，然后利用三角形中位線的性質(zhì)求解即可求得答案．【解析】解：∵，，∴，∵在中，D、E分別是邊的中點，∴．故選：C．【點睛】此題考查了平面向量的知識以及三角形中位線的性質(zhì)．注意掌握三角形法則的應(yīng)用．9．如圖，平行四邊形中，E是邊的中點，聯(lián)結(jié)，設(shè)，那么下列向量中，可表示為的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC；然后利用三角形法則解答即可．【解析】解：在平行四邊形中，，．∵，∴．∵E是邊的中點，，∴．∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了平面向量和平行四邊形的性質(zhì)，注意平面向量既有大小又有方向．10．已知D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，且=a，=b，=c，則下列各式，其中正確的等式的個數(shù)為（

）①=c－b

②=a+b

③=－a+b

④++=0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形利用平面向量加減運算的幾何意義進行解答即可．【解析】如圖所示：D、E、F分別是的邊BC、CA、AB的中點，且，，，故①錯誤；，故②正確；，故③正確；，故④正確．故選C．【點睛】本題主要考查向量的線性運算，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，然后結(jié)合已知條件及向量的線性運算解答即可．二、填空題11．．【答案】0【分析】根據(jù)即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，故答案為：0【點睛】此題考查了向量，熟練掌握互為相反向量的和為0是解題的關(guān)鍵．12．已知平行四邊形中，若，，則．（用和表示）【答案】【分析】根據(jù)題意，作出圖形，由向量減法運算的三角形法則即可得到答案．【解析】解：如圖所示：

根據(jù)向量減法運算的三角形法則可得，故答案為：．【點睛】本題考查向量的加法運算，熟練掌握向量運算法則是解決問題的關(guān)鍵．13．如圖，已知在中，點D是邊AC上一點，且．設(shè)，，那么向量．（用的形式表示，其中x、y為實數(shù)）【答案】【分析】先求解，，再根據(jù)可得答案．【解析】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是平面向量的線性運算，熟練的掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．14．如圖，在平行四邊形中，為對角線，E是邊的中點，連接．如果設(shè)，，那么（含的式子表示）．【答案】【分析】由，可得，由E是邊的中點，可得，從而可得答案．【解析】解：∵，∴，∵E是邊的中點，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是向量的加減法運算，理解運算法則是解本題的關(guān)鍵．15．已知點為的重心，，，那么．（用、表示）【答案】【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)得到，再利用重心的性質(zhì)即可解答．【解析】解：如圖所示，∵點是的中點，∴，∵點為的重心，∴，∵，，∴，故答案為．【點睛】本題考查了中線的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，重心的定義，掌握重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，已知、分別是的邊、上的點，且，聯(lián)結(jié)，如果，，當(dāng)時，那么．（用含、的式子表示）【答案】【分析】利用平行線分線段成比例定理，向量的計算解答即可．【解析】∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，向量的計算，熟練掌握定理，向量的計算是解題的關(guān)鍵．17．如圖，梯形中，，、分別是、上的點，且，，若，，則向量可用、表示為．【答案】【分析】過點A作交EF于點G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根據(jù)向量的三角形法則求出BH，即可得解．【解析】解：如圖，過點A作交EF于點G，交BC于H四邊形ADFG、GFCH、ADCH均為平行四邊形，若，則故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量、梯形、平行四邊形與相似三角形相結(jié)合，關(guān)鍵在于作平行線表示出BH，熟記向量的平行四邊形法則和三角形法則是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知四邊形中，點、、分別是對角線、和邊的中點．如果設(shè)，，那么向量（用向量、表示）．【答案】【分析】先證明分別是的中位線，從而得到，，則．【解析】解：∵點、、分別是對角線、和邊的中點，∴分別是的中位線，∴，∵，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，向量的運算，證明分別是的中位線是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，已知、、，求作：

(1)；(2)【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平面向量的運算法則，三角形法則表示出來即可；（2）根據(jù)平面向量的運算法則，三角形法則表示出來即可．【解析】（1）解：表示如下：

（2）表示如下：

【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，熟練掌平面向量的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．20．如圖，已知兩個不平行的向量、先化簡，再求作：．不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量【答案】，見解析【分析】去括號合并同類向量，再利用三角形法則畫出圖形即可．【解析】解：．如圖，即為所求．【點睛】本題考查平面向量，三角形法則，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的加減混合運算，屬于中考?？碱}型．21．已知四邊形是平行四邊形，點在上．(1)填空：________；________；(2)求作：．【答案】(1)，(2)見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得，利用三角形法則求解即可．（2）利用三角形法則求解即可．（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝OB，AC//OB，∴，∴，，故答案為：，；（2）解：連接AB．∵，∴即為所求．【點睛】本題考查向量的運算，熟練運用三角形法則是解題的關(guān)鍵．22．如圖，點在平行四邊形的對角線的延長線上．(1)______；______．(2)求作：（不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）．【答案】(1)，(2)見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，三角形法則求解即可；（2）延長到，使得，連接，即為所求．（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，，，∴，，故答案為：，；（2）如圖，延長到，使得，連接，即為所求．證明：連接AT，如圖，在平行四邊形中有，，即有，∵DT=C