專題22反比例函數(shù)的圖象【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)01反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，永遠(yuǎn)不會(huì)與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸.【點(diǎn)石成金】（1）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）在反比例函數(shù)(為常數(shù)，)中，由于，所以兩個(gè)分支都無限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到軸和軸．2、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應(yīng)以0為中心，在0的兩側(cè)取三對(duì)（或三對(duì)以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時(shí)，只需計(jì)算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對(duì)應(yīng)的相反數(shù)；（2）描點(diǎn)：描出一側(cè)的點(diǎn)后，另一側(cè)可根據(jù)中心對(duì)稱去描點(diǎn)；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點(diǎn)并延伸，連線時(shí)要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢(shì)，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交；（4）反比例函數(shù)圖象的分布是由的符號(hào)決定的：當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)．3、反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；【點(diǎn)石成金】反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號(hào)決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號(hào).知識(shí)點(diǎn)02反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過雙曲線()上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.【點(diǎn)石成金】只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點(diǎn)的位置如何變化，這一點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.【題型探究】1.在函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上有三點(diǎn)()，()，()，且，則的大小關(guān)系是（）．A．B．C．D．【答案】D；【解析】解：因?yàn)?，所以函?shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，且在第二、四象限內(nèi)，隨的增大而增大．因?yàn)?，所以．因?yàn)樵诘谒南笙?，而，在第二象限，所以．所以．【總結(jié)】已知反比例函數(shù)，當(dāng)＞0，＞0時(shí)，隨的增大而減小，需要強(qiáng)調(diào)的是＞0；當(dāng)＞0，＜0時(shí)，隨的增大而減小，需要強(qiáng)調(diào)的是＜0．這里不能說成當(dāng)＞0，隨的增大而減小．例如函數(shù)，當(dāng)＝－1時(shí)，＝－2，當(dāng)＝1時(shí)，＝2，自變量由－1到1，函數(shù)值由－2到2，增大了．所以，只能說：當(dāng)＞0時(shí)，在第一象限內(nèi)，隨的增大而減?。?.正比例函數(shù)y1=k1x的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣2，當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【點(diǎn)撥】由正、反比例函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．【答案】B．【解析】解：∵正比例和反比例均關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣2，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x＜﹣2或0＜x＜2時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，∴當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜2．【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問題、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，根據(jù)正、反比例的對(duì)稱性求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出不等式的解集．3.已知的圖象是雙曲線，且在第二、四象限，(1)求的值．(2)若點(diǎn)(－2，)、(－1，)、(1，)都在雙曲線上，試比較、、的大?。敬鸢浮拷猓?1)由已知條件可知：此函數(shù)為反比例函數(shù)，且，∴.(2)由(1)得此函數(shù)解析式為：．∵(－2，)、(－1，)在第二象限，－2＜－1，∴．而(1，)在第四象限，．∴4.如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于M(2，)，N(－1，－4)兩點(diǎn).(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；(2)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)值的的取值范圍．【點(diǎn)撥】(1)由點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－1，－4)，根據(jù)待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)的關(guān)系式．從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．再根據(jù)M、N的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)的關(guān)系式；(2)結(jié)合圖象位置和兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，可得到使反比例函數(shù)大于一次函數(shù)的值的的取值范圍．【解析】解：(1)設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為．由N(－1，－4)，得，∴＝4．∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為．∵點(diǎn)M(2，)在雙曲線上，∴．∴點(diǎn)M(2，2)．設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為，由M(2，2)、N(－1，－4)，得解得∴一次函數(shù)的關(guān)系式為．(2)由圖象可知，當(dāng)＜－1或0＜＜2時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式．也考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．5.已知點(diǎn)A(0，2)和點(diǎn)B(0，－2)，點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，如果△PAB的面積是6，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【點(diǎn)撥】由已知的點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可求得AB＝4，再由△PAB的面積是6，可知P點(diǎn)到軸的距離為3，因此可求P的橫坐標(biāo)為±3，由于點(diǎn)P在的圖象上，則由橫坐標(biāo)為±3可求其縱坐標(biāo)．【解析】解：如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過P作PC⊥軸于點(diǎn)C．∵A(0，2)、B(0，－2)，∴AB＝4．又∵且，∴，∴，∴．又∵在曲線上，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴P的坐標(biāo)為或．【總結(jié)】通過三角形面積建立關(guān)于的方程求解，同時(shí)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離等于相應(yīng)坐標(biāo)的絕對(duì)值．6.如圖所示，已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(3，2)．（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）M()是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中0＜＜3，過點(diǎn)M作直線MB∥軸，交軸于點(diǎn)B；過點(diǎn)A作直線AC∥軸交軸于點(diǎn)C，交直線MB于點(diǎn)D．當(dāng)四邊形OADM的面積為6時(shí)，請(qǐng)判斷線段BM與DM的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】解：（1）將A(3，2)分別代入，中，得，3＝2．∴＝6，．∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，正比例函數(shù)的表達(dá)式為．（2）觀察圖象，在第一象限內(nèi)，當(dāng)0＜＜3時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值．（3）BM＝DM．理由：∵，∴，即OC·OB＝12．∵OC＝3，∴OB＝4，即＝4．∴．∴，．∴MB＝MD．【隨堂演練】1．已知是反比例函數(shù)圖象上三點(diǎn)，若，，則下列關(guān)系式不正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，則點(diǎn)、在第三象限，點(diǎn)在第一象限，然后根據(jù)各象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：，反比例函數(shù)圖象在一，三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，，，點(diǎn)、在第三象限，點(diǎn)在第一象限，．，關(guān)系式不正確的是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由反比例函數(shù)所在的象限可得到關(guān)于k的不等式，可求得答案【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴k1＜0，解得k＜1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握在（k≠0）中，當(dāng)k＞0時(shí)，圖象在第一、三象限，當(dāng)k＜0時(shí)，圖象在第二、四象限是解題的關(guān)鍵．3．若點(diǎn)A（x1，1）、B（x2，－2）、C（x3，3）在反比例函數(shù)（k是常數(shù)）的圖象上，則x1、x2、x3的大小關(guān)系是（）A．x1＞x3＞x2 B．x1＞x2＞x3 C．x3＞x1＞x2 D．x3＞x2＞x1【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，直接判斷x1，x2，x3的大小關(guān)系即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)(k是常數(shù))，，∴在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x增大而減小，∵點(diǎn)A（x1，1）、B（x2，－2）、C（x3，3）在反比例函數(shù)（k是常數(shù)）的圖像上，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．4．已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把（1，?3）代入中求出k得到反比例函數(shù)解析式為，再計(jì)算出自變量為?1對(duì)應(yīng)的反比例函數(shù)值，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】解：把（1，?3）代入得k＝1×（?3）＝?3，∴反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，在每個(gè)象限，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝?1時(shí)，＝3；所以當(dāng)x＜?1時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍為0＜y＜3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．5．若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)（是常數(shù)）的圖象上，，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得出反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，即可解答．【詳解】解：∵x1＞0＞x2，y1＜0＜y2，∴該反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，又∵0＞x2＞x3，∴y2＞y3＞0．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記反比例函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確進(jìn)行判斷．6．若點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將點(diǎn)分別代入反比例函數(shù)，求得x1，x2，x3的值后，再來比較一下它們的大?。驹斀狻拷猓骸唿c(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，∴，即x1＝6，，即x2＝6；，即x3＝3，∵6＜3＜6，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．所有反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該函數(shù)的解析式．7．己知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，然后再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)解答即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)∴函數(shù)圖象的兩支分別位于一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的減小而增大∵∴又∵點(diǎn)在第一象限∴∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是反比例函數(shù)的增減性，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．8．下列說法正確的是（）A．函數(shù)的圖象是過原點(diǎn)的射線 B．直線經(jīng)過第一?二?三象限C．函數(shù)，y隨x增大而增大 D．函數(shù)，y隨x增大而減小【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】A、函數(shù)的圖象是過原點(diǎn)的直線，則此項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符題意；B、直線經(jīng)過第一?二?四象限，則此項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符題意；C、函數(shù)，隨增大而增大，則此項(xiàng)說法正確，符合題意；D、函數(shù)，隨增大而增大，則此項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．位于第一象限的點(diǎn)E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，點(diǎn)F在x軸的正半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若EO=EF，EOF的面積等于2，則（）A．4 B．2 C．1 D．－2【答案】B【分析】如圖（見解析），設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一、三角形的面積公式可得，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，的面積等于2，，解得，將點(diǎn)代入得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合、等腰三角形的三線合一，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．10．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E．若四邊形ODBE的面積為6，則k的值為（）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】從反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)、、入手，分別找出、、的面積與的關(guān)系，列出等式求出值．【詳解】解：由題意得：、、位于反比例函數(shù)圖象上，則，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，則，又為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，則矩形ABCO，由于函數(shù)圖象在第一象限，，則，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|．本知識(shí)點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注．11．如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)，分別在軸，軸正半軸上，動(dòng)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，軸，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，的面積將會(huì)（）

A．越來越小 B．越來越大C．不變 D．先變大后變小【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)，作可得，根據(jù)可得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，的面積將會(huì)不變，始終等于，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，熟練掌握在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．12．已知反比例函數(shù)的解析式為y＝，且圖象位于第一、三象限，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)≠1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜1【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象特點(diǎn)即可得答案．【詳解】∵反比例函數(shù)的解析式為，且圖象位于第一、三象限，∴，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．13．已知點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在直線上，則的值為______．【答案】3【分析】將點(diǎn)代入反比例函數(shù)中得到，將點(diǎn)代入中得到，最后對(duì)通分再整體代入求值即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，∵點(diǎn)在直線上，∴，即∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)及一次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可得到等式，然后再代入求值．14．如圖，一條直線經(jīng)過原點(diǎn)O，且與反比例函數(shù)y＝（k＞0）交于點(diǎn)A、C，過點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，連接BC，若△ABC的面積為2，則k的值為___．【答案】2【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象特征，可知A、C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則O為線段AC的中點(diǎn)，故△BOC的面積等于△AOB的面積，都等于1，然后由反比例函數(shù)y＝(k＞0)的比例系數(shù)k的幾何意義，可知△AOB的面積等于|k|，從而求出k的值．【詳解】解：∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，∴A、C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA=OC，∴△BOC的面積=△AOB的面積=2÷2=1，又∵A是反比例函數(shù)y＝(k＞0)圖象上的點(diǎn)，且AB⊥y軸于點(diǎn)B，∴△AOB的面積=|k|，∴|k|=1，∴|k|=2∵k＞0，∴k=2．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及到反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系，即S=|k|．15．已知：反比例函數(shù)y＝（m﹣3）xm﹣2的圖象是雙曲線．（1）求m的值；（2）若點(diǎn)（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在雙曲線上，試比較y1，y2，y3的大小關(guān)系．【答案】（1）m＝1；（2）y3＜y1＜y2．【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)的定義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，可得若反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，必有，解可得m值；(2)由(1)可得，反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得y1，y2，y3的值，比較可得答案．【詳解】(1)根據(jù)題意，得若反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，必有，解得：；(2)由(1)可得，反比例函數(shù)的解析式為，根據(jù)題意，易得y1＝1，y2＝2，y3＝﹣2，比較可得y3＜y1＜y2．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確掌握計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．16．已知在函數(shù)中，隨的增大而增大，，（1）化簡(jiǎn)；（2）點(diǎn)在函數(shù)圖象上，且縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的積為，求的值．【答案】（1）3k2；（2）1【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，得k＜0，進(jìn)而即可化簡(jiǎn)A；（2）先求出k的值，再代入求值，即可．【詳解】解：∵函數(shù)中，隨的增大而增大，∴k＜0，∴=3k2；（2）∵點(diǎn)在函數(shù)圖象上，且縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的積為，∴k=2，∴A=3k2=3(2)2=1．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是解題的關(guān)鍵．17．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，連接OA，若△OAB的面積為2，求該反比例函數(shù)的解析式．【答案】【分析】根據(jù)過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，即S＝|k|及反比例函數(shù)圖象位置求出k值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△OAB的面積為2，∴OB·AB＝2，即OB·AB＝4．∴｜k︱＝4．∴k＝±4．∵y＝過一、三象限，∴k＞0，∴k＝4．∴反比例函數(shù)解析式為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．18．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)．（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）求的面積；（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．【答案】（1）；（2）；（3）＜＜或＞【分析】（1）由過利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式，再求的坐標(biāo)，再利用的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可得到答案；（2）連接利用一次函數(shù)的解析式求解的坐標(biāo)，再利用即可得到答案；（3）由反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，則反比例函數(shù)圖像在的相同的取值范圍內(nèi)，其圖像在一次函數(shù)的圖像上方，結(jié)合圖像可得答案．【詳解】解：（1）過反比例函數(shù)為：把代入把代入得：所以一次函數(shù)為：．（2）如圖，連接記與軸交于，令則（3）由反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值可得，反比例函數(shù)圖像在的相同的取值范圍內(nèi)，其圖像在一次函數(shù)的圖像上方，所以此時(shí)：＜＜或＞【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，坐標(biāo)系內(nèi)圖形的面積的計(jì)算，利用函數(shù)圖像解不等式，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【高分突破】1．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式，根據(jù)條件可判斷出、的大小關(guān)系．【詳解】解：∵點(diǎn)，）是反比例函數(shù)的圖像上的兩點(diǎn)，∴，∵，∴，即，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握?qǐng)D像上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）某反比例函數(shù)圖象上四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)點(diǎn)求出反比例函數(shù)的解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得．【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入得：，則反比例函數(shù)的解析式為，所以這個(gè)函數(shù)的圖象位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，隨的增大而增大，又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，，即，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，∴圖象在一三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)(k是常數(shù)，)的圖象是雙曲線，當(dāng)，反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)，反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．4．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，∴雙曲線在二，四象限，在每一象限，隨的增大而增大；∵，∴，∴；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．5．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）已知都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。摺辔挥诘谌笙蓿唷摺唷摺帱c(diǎn)位于第一象限，∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．6．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得反比例函數(shù)的圖象在一三象限，進(jìn)而可得，解不等式即可求解．【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，有，∴反比例函數(shù)的圖象在一三象限，∴解得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)題意得出反比例函數(shù)的圖象在一三象限是解題的關(guān)鍵．7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作軸于點(diǎn)M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】證明四邊形是矩形，根據(jù)反比例函數(shù)的值的幾何意義，即可解答．【詳解】解：軸于點(diǎn)M，軸于直N，，四邊形是矩形，四邊形的面積為2，，反比例函數(shù)在第一、三象限，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，反比例函數(shù)的值的幾何意義，熟知在一個(gè)反比例函數(shù)圖像上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線段，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為是解題的關(guān)鍵．8．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為與關(guān)于直線對(duì)稱，反比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)B作軸，根據(jù)題意得出，再由特殊角的三角函數(shù)及等腰三角形的判定和性質(zhì)得出，，利用各角之間的關(guān)系，確定，B，O三點(diǎn)共線，結(jié)合圖形確定，然后代入反比例函數(shù)解析式即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作軸，∵，∴，∴，，∴，，∴，，∵與關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，∴，B，O三點(diǎn)共線，∴，∵，∴，∴，∴，將其代入得：，故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)及反比例函數(shù)的確定，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．9．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)的圖象與過點(diǎn)的直線相交于、兩點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)．如果，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，可得，進(jìn)而求得直線的解析式為，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，解方程即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)∴∴設(shè)直線的解析式為，∴，解得：,∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，∴，設(shè)，∵，解得：或，∴的坐標(biāo)為或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例數(shù)交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，過的圖象上點(diǎn)A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點(diǎn)，以，為鄰邊的矩形被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)