3.6確定圓的條件學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．下列說法：①三點(diǎn)確定一個圓；②三角形有且只有一個外接圓；③三角形的外心是各邊垂直平分線的交點(diǎn)；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤等腰三角形的外心一定在這個三角形內(nèi)，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外接圓及外心的性質(zhì)分析判斷即可求解．【詳解】解：②③正確；不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓，所以①錯誤；三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，所以④錯誤；當(dāng)?shù)妊切问氢g角三角形時，它的外心在這個三角形外；當(dāng)?shù)妊切问侵苯侨切螘r，它的外心在這個三角形的斜邊上，所以⑤錯誤，∴正確的有②③，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓及外心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外接圓及外心的性質(zhì)有關(guān)知識點(diǎn)．2．（2021·廣西梧州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（0，﹣5），若在x軸正半軸上有一點(diǎn)C，使∠ACB＝30°，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是（）A．34 B．12 C．6+3 D．6【答案】A【分析】如圖，作的外接圓連接過作軸于作軸于則四邊形是矩形，再證明是等邊三角形，再分別求解即可得到答案.【詳解】解：如圖，作的外接圓連接過作軸于作軸于則四邊形是矩形，是等邊三角形，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，三角形的外接圓的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理分應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識解題是解題的關(guān)鍵.3．（2020—2021浙江杭州九年級期末）如圖，圓O的半徑為R，正內(nèi)接于圓O，將按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，它的兩邊與AB相交于點(diǎn)D、E，則以下說法正確的個數(shù)是（）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，則，于是可得到；在△中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，，再利用“”可證明△△，則，所以；根據(jù)對頂角相等可得到；在△中利用勾股定理可得到，而，則，把代入得到．【詳解】解：連接，，，，如圖，是正角三角形，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到△，△為等邊三角形，，而點(diǎn)為△的內(nèi)心，，又，，△是等腰直角三角形，，，，所以①正確；，而，，，，，，，，，在△和△中，，△△，，，所以②錯誤；，所以③正確；在△中，，，，而，，，所以④錯誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)；會運(yùn)用勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行幾何運(yùn)算．4．（2021·湖北鄂州·中考真題）如圖，中，，，．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L度最小時，的面積是（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，又長度一定，則點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以中點(diǎn)O為圓心，長為半徑的圓弧，所以當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的長，并得到點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)，由線段長度即可得到是等邊三角形，利用特殊三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：取中點(diǎn)O，并以O(shè)為圓心，長為半徑畫圓由題意知：當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時，BP最短點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)在中，是等邊三角形在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考察動點(diǎn)的線段最值問題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問題，屬于動態(tài)幾何綜合題型，中檔難度．解題的關(guān)鍵是找到動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，即隱形圓．5．（2021·安徽合肥·中考二模）如圖，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，點(diǎn)E在AB上，=，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P，使得∠BPE=60°，則線段PD的最小值為（）A．4 B．2 C．2-2 D．2-4【答案】C【分析】以BE為邊在矩形內(nèi)作等邊三角形BEF，再作等邊三角形BEF的外接⊙O，則點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動，連接OD，交⊙O于點(diǎn)M，則當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時，PD最短，然后過點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)C，作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OB，先求出OH和BH的長，則DG=AD-AG=AD-OH=5-1=4，OG=AB-BH=，在Rt△DOG中，利用勾股定理即可求得OD的長，進(jìn)而可求出PD的最小值．【詳解】解：∵AB=，=，∴，，如圖，以BE為邊在矩形內(nèi)作等邊三角形BEF，再作等邊三角形BEF的外接⊙O，則點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動，連接OD，交⊙O于點(diǎn)M，則當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時，PD最短，過點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)C，作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OB，∵△BEF為等邊三角形，⊙O為其外接圓，∴OH垂直平分BE，∴∠OBH=30°，，∴OH=，，∴DG=AD-AG=AD-OH=5-1=4，OG=AB-BH=，在Rt△DOG中，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及圓的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是作等邊三角形BEF及其外接⊙O．二、填空題6．（2021·江西·新余市中考模擬預(yù)測）已知，，，，則的最大值為__．【答案】【分析】作△ABC的外接圓⊙O，取優(yōu)弧BC中點(diǎn)為D，由，可確定點(diǎn)A在上運(yùn)動，由AC是弦，當(dāng)為直徑時，最大，當(dāng)AC最大時，可得，在Rt△ABC中，即可求解【詳解】解：作△ABC的外接圓⊙O，取優(yōu)弧BC中點(diǎn)為D，∵∴∠B所對的?。尽螩所對的弧，∴點(diǎn)A在上運(yùn)動∵AC是弦，當(dāng)為直徑時，最大，∴當(dāng)AC最大時，在Rt△ABC中，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓，弧與圓周角關(guān)系，直徑是圓中最大弦，直徑所對圓周角性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，題的難度較大，通過引輔助圓畫出準(zhǔn)確圖形，利用銳角三角函數(shù)求解是關(guān)鍵．7．（2021—2022福建省福州九年級期中）已知的三邊a，b，c滿足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，則的外接圓半徑的長為___．【答案】2.5【分析】先根據(jù)|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30變形可得，再根據(jù)絕對值和完全平方公式的非負(fù)性即可求得、、的值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理可得為直角三角形，由此可得外接圓半徑的長為斜邊的一半．【詳解】解：∵|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，，，又∵，，，，解得：，，，∴，∴為直角三角形，且斜邊長為5，∴的外接圓的半徑＝5×＝2.5，故答案為：2.5．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得，，．8．（2021·山東張店·中考二模）如圖，是的外接圓，、分別是、的中點(diǎn)，連接、，分別交于點(diǎn)、，若，，，則的面積為________．

【答案】24【分析】解：連接AF，AE，由題意得出AF＝BF，AE＝EC，可證得∠AEF＝90°，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案．【詳解】解：連接AF，AE，

∵是的外接圓，、分別是、的中點(diǎn)，∴OM⊥AB，ON⊥AC，∴AF＝BF，AE＝EC，∵BF＝5，EC＝4，∴AF＝5，AE＝4，∵EF＝3，∴EF2＋AE2＝AF2，∴∠AEF＝90°，∵BC＝BF＋EF＋EC＝5＋3＋4＝12，∴S△ABC＝×BC×AE＝×12×4＝24．故答案是：24．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，三角形的面積．9．（2020·山東·日照市中考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），點(diǎn)P在以D（4，4）為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動，且始終滿足∠BPC=90°，則a的最大值是______．【答案】6【分析】首先證明AB=AC=a，根據(jù)條件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到點(diǎn)A的最大距離即可解決問題．【詳解】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，∴AB=AC，∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a，如圖延長AD交⊙D于P′，此時AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD=5，∴AP′=5+1=6，∴a的最大值為6．故答案為6．【點(diǎn)睛】圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最大值為點(diǎn)到圓心的距離加半徑，最小值為點(diǎn)到圓心的距離減去半徑．10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為、、，點(diǎn)E是的外接圓上一點(diǎn)，BE交線段AC于點(diǎn)D，若，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】連接CE，過E作EF⊥AC于F，根據(jù)已知條件得到OA=OB=2，OC=4，得到△OBA是等腰直角三角形，得到∠BAC=45°，根據(jù)圓周角定理得到∠BEC=∠BAC=45°，推出△BCE是等腰直角三角形，求得BC=CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到E（2，﹣4），待定系數(shù)法得到直線BE的解析式為y=﹣3x+2，于是得到結(jié)論．【詳解】連接CE，過E作EF⊥AC于F．∵點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，∴△OBA是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠BEC=∠BAC=45°．∵∠DBC=45°，∴∠BCE=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BC=CE．∵∠CBO+∠BCO=∠BOC+∠ECF=90°，∴∠OBC=∠FCE．在△OBC與△FCE中，∵，∴△OBC≌△FCE（AAS），∴CF=OB=2，EF=OC=4，∴OF=2，∴E（2，﹣4），設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，∴，∴，∴直線BE的解析式為y=﹣3x+2，當(dāng)y=0時，x，∴D（，0）．故答案為：（，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2020·四川成都·中考二模）如圖：已知銳角∠AOC，依次按照以下順序操作畫圖：（1）在射線OA上取一點(diǎn)B，以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑作，交射線OC于點(diǎn)D，連接BD；（2）分別以點(diǎn)B，D為圓心，BD長為半徑作弧，交于點(diǎn)M，N；（3）連接ON，MN．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形可知下列結(jié)論：①OC平分∠AON；②MN∥BD；③MN＝3BD；④若∠AOC＝30°，則MN＝ON．其中正確結(jié)論的序號是_____．【答案】①②④【分析】①正確．根據(jù)可以推出結(jié)論．②正確．連接DM，證明∠BDM＝∠DMN即可．③錯誤．首先證明BD＝BM＝DN，再根據(jù)BM+BD+DN＞MN，可得MN＜3BD，即可判斷．④正確．證明△MON是等腰直角三角形即可判斷．【詳解】解：由作圖可知：，∴∠AOC＝∠DON，即OC平分∠AON，故①正確．連接DM，∵，∴∠BDM＝∠DMN，∴BD∥MN，故②正確，∵，∴BM＝BD＝DN，∵BM+BD+DN＞MN，∴MN＜3BD，故③錯誤，若∠AOC＝30°，則∠MON＝90°，∴△MON是等腰直角三角形，∴MN＝ON，故④正確．故答案為①②④．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，弧，圓心角，弦之間的關(guān)系，平行線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．三、解答題12．（2021·江蘇秦淮·中考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．分別延長BA、AB、CA、AC至點(diǎn)D、E、F、G，使得AD＝AF＝BC，BE＝8，CG＝6．（1）經(jīng)過D、E、G三點(diǎn)作⊙O；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）求證：點(diǎn)F在⊙O上；（3）⊙O的半徑長為．【答案】（1）見解析；（2）證明見解析，（3）．【分析】（1）連接EG，DG，分別作DG、EG的中垂線確定圓心，從而作△DEG的外接圓即為所求；（2）證法一：連接GE、GD、FD、OD、OE、OF、OG．LM是EG的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理證明；證法二：利用反證法進(jìn)行推理證明；證法三：作AQ、BQ分別平分∠BAC、∠ABC，交點(diǎn)為Q．過點(diǎn)Q分別作QL⊥AC，QM⊥AB，QN⊥BC，垂足分別為L、M、N．連接QC、QD、QE、QF、QG，根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)和正方形的性質(zhì)和判定以及勾股定理進(jìn)行推理計算求解；（3）連接OD，OG，結(jié)合圓周角定理和等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形推理計算求解．【詳解】解：（1）連接EG，DG，分別作DG、EG的中垂線確定圓心，從而作△DEG的外接圓⊙O即為所求．（2）證法一：如圖①，連接GE、GD、FD、OD、OE、OF、OG．LM是EG的垂直平分線，∵AD＝AF，AB＝CG，AC＝BE，∴AB＋BE＝CG＋AC，即AG＝AE．∵LM是EG的垂直平分線，∴點(diǎn)A在LM上．∴∠EAP＝∠GAP．∴∠FAM＝∠DAM．∴LM是FD的垂直平分線．∵點(diǎn)O在LM上，∴OF＝OD．∴點(diǎn)F在⊙O上．證法二：若點(diǎn)F不在⊙O上，則點(diǎn)F在⊙O外或⊙O內(nèi)．如圖②，若點(diǎn)F在⊙O外，則設(shè)AF與⊙O交于點(diǎn)M，連接MD．∵AD＝AF，AB＝CG，AC＝BE，∠EAG＝∠FAD＝90°，∴∠F＝∠FDA＝45°，AB＋BE＝CG＋AC．∴AG＝AE．∴∠E＝∠G＝45°．∴∠F＝∠E．∵＝，∴∠DMG＝∠E＝45°．∴∠DMG＝∠F．又在△DFM中，∠DMG＞∠F，與∠DMG＝∠F矛盾，因此點(diǎn)F在⊙O外不成立．同理，點(diǎn)F在⊙O內(nèi)不成立．∴點(diǎn)F在⊙O上．證法三：如圖③，作AQ、BQ分別平分∠BAC、∠ABC，交點(diǎn)為Q．過點(diǎn)Q分別作QL⊥AC，QM⊥AB，QN⊥BC，垂足分別為L、M、N．連接QC、QD、QE、QF、QG．∵AQ、BQ分別平分∠BAC、∠ABC，∴QL＝QM＝QN．∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，S△ABC＝×6×8＝24．∵S△ABC＝S△ABQ＋S△BCQ＋S△ACQ＝·(AB＋BC＋AC)·QL＝24．∴QL＝QM＝QN＝2．∵∠BAC＝∠QMA＝∠QLA＝90°，∴四邊形QMAL為矩形．∴矩形QMAL為正方形．∴AL＝AM＝2．∵AD＝AF＝BC＝10，BE＝8，CG＝6，∴FL＝GL＝12，DM＝ME＝12．∵在Rt△QLF中，∠FLQ＝90°，F(xiàn)L＝12，QL＝2，∴FQ2＝FL2＋QL2＝148．同理EQ2＝148，GQ2＝148，DQ2＝148．∴QE＝QG＝QD＝QF．∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合．∴點(diǎn)F在⊙O上．（3）連接OD，OG由題意可得：AE=AG=14，∠BAC=90°∴∠AEG=∠AGE=45°∴∠DOG=2∠DEG=90°在Rt△ABC中，BC=∵AD=AF=BC∴AD=10，AG=14在Rt△DAG中，DG=又∵OD=OG，∠DOG=90°∴△ODG為等腰直角三角形∴OD=OG=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考差尺規(guī)作圖確定圓心，圓的綜合問題及解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵．13．（2021—2022江蘇南閘九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小方格都是邊長為1個單位的小正方形，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)（每個小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圓的半徑是；（2）已知△ABC與△DEF（點(diǎn)D、E、F都是格點(diǎn)）成位似圖形，則位似中心M的坐標(biāo)是；（3）請在網(wǎng)格圖中的空白處畫一個格點(diǎn)△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比為：1．【答案】（1）；（2），（3）見解析【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的外接圓的概念解答；（2）根據(jù)位似變換和位似中心的概念解答；（3）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，都等于相似比解答【詳解】（1）如圖，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)分別作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可知則△ABC外接圓的半徑是，故答案為：；（2）如圖，連接,交于點(diǎn),，即位似中心，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可知故答案為：；（3）△A1B1C1∽△ABC，且相似比為：1．根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)作出，如圖，即為所求作的三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是格點(diǎn)正方形、銳角三角函數(shù)的定義、位似變換與位似中心與相似三角形的性質(zhì)，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)線段互相平行，這兩個圖形是位似圖形是解題的關(guān)鍵．14．（2021·湖北沙區(qū)·中考三模）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（1，0），C（3，2），僅用無刻度的直尺在給出的網(wǎng)格中畫圖（畫圖用實(shí)線表示），并回答題目中的問題

（1）在圖1中畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)D成中心對稱的圖形；（2）在圖2中作出△ABC的外接圓的圓心M（保留作圖痕跡）；（3）△ABC外接圓的圓心M的坐標(biāo)為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于點(diǎn)D的對稱點(diǎn)A'、B'、C'，再順次連接即可；（2）找出AB邊和BC邊的垂直平分線即可；（3）分別求出直線AD和直線EF的解析式，聯(lián)立即可求得M的坐標(biāo)；【詳解】解：（1）如圖，△A'B'C′為所求；（2）如圖，取格點(diǎn)E、F、D，連接EF和AD相交于點(diǎn)M；∵AE∥BF，∴∠AEN=∠BFN，∵AE=BF，∠ANE=∠BNF，∴△AEN≌△BFN，∴AN=BN，∵，，∴，，∴，∴∠BNF