202X保定市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專題一、中考幾何壓軸題1．已知：，過平面內(nèi)一點(diǎn)分別向、、畫垂線，垂足分別為、、．（問題引入）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：．（類比探究）（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：．（2）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在射線的反向延長線上時(shí)，在圖③中畫出示意圖，并直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（知識(shí)拓展）如圖④，、、是的三條弦，都經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)，且．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．2．已知：如圖1所示將一塊等腰三角板BMN放置與正方形ABCD的重合，連接AN、CM，E是AN的中點(diǎn)，連接BE．（觀察猜想）（1）CM與BE的數(shù)量關(guān)系是________；CM與BE的位置關(guān)系是________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板BMN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段CM與BE的關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．3．如圖，已知和均為等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，將這兩個(gè)三角形放置在一起．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE，則＝°，線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）拓展探究：如圖②，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE，請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：如圖③，，，AE＝2，連接CE、BD，在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出EC的長．4．綜合與實(shí)踐（1）問題發(fā)現(xiàn)：正方形ABCD和等腰直角△BEF按如圖①所示的方式放置，點(diǎn)F在AB上，連接AE、CF，則AE、CF的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為．（2）類比探究：正方形ABCD保持固定，等腰直角△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤360°)，請(qǐng)問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)就圖②說明你的理由：（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若AB=2BF=4，在等腰直角△BEF旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)CF為最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出DE的長．5．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)展示：（問題）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則______，______．（操作）將圖①中拋物線沿方向平移長度的距離得到拋物線，在軸左側(cè)的部分與在軸右側(cè)的部分組成的新圖象記為，如圖②．請(qǐng)直接寫出圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（探究）在圖②中，過點(diǎn)作直線平行于軸，與圖象交于，兩點(diǎn)，如圖③．求出圖象在直線上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)隨的增大而增大時(shí)的取值范圍．（應(yīng)用）是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．6．隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從“重教輕學(xué)”向自主學(xué)習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個(gè)值得思考的問題．從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來看分析，不外乎就是三個(gè)環(huán)節(jié)：（觀察猜想）-（探究證明）-（拓展延伸）．下面同學(xué)們從這三個(gè)方面試看解決下列問題：已知：如圖1所示將一塊等腰三角板放置與正方形的重含，連接、，E是的中點(diǎn)，連接．（觀察猜想）（1）與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是___________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段與的關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．7．（閱讀理解）定義：如果四邊形的某條對(duì)角線平分一組對(duì)角，那么把這條對(duì)角線叫“協(xié)和線”，該四邊形叫做“協(xié)和四邊形”．（深入探究）（1）如圖1，在四邊形中，，，請(qǐng)說明：四邊形是“協(xié)和四邊形”．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖2，四邊形是“協(xié)和四邊形”，為“協(xié)和線”，，，若點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，連接，，．求：①與的面積的比；②的正弦值．（拓展應(yīng)用）（3）如圖3，在菱形中，，，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，若四邊形，都是“協(xié)和四邊形”，“協(xié)和線”分別是、，求的最小值．8．（問題探究）（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系？并加以證明．②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求線段AD的長．（拓展延伸）（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫出圖形，并求線段AD的長．9．在中，，點(diǎn)D?E分別是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接．觀察猜想（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，填空：①______________；②直線所夾銳角為____________；類比探究（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，試判斷的值及直線所夾銳角的度數(shù)，并說明理由；拓展應(yīng)用（3）在（2）的條件下，若，將繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在射線AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．10．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們結(jié)合下述情境，提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是矩形．探究展示：“興趣小組”提出的問題是：“如圖2，連接CE．求證：AE⊥CE．”并展示了如下的證明方法：證明：如圖3，分別連接AC，BD，EF，AF．設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，且AC=BD．又∵四邊形BEDF是矩形，∴EF經(jīng)過點(diǎn)O，∴OE=OF=EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四邊形AECF是平行四邊形．（依據(jù)1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四邊形AECF是矩形．（依據(jù)2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述證明過程中“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是什么？拓展再探：（2）“創(chuàng)新小組”受到“興趣小組”的啟發(fā)，提出的問題是：“如圖4，分別延長AE，F(xiàn)B交于點(diǎn)P，求證：EB=PB．”請(qǐng)你幫助他們寫出該問題的證明過程．（3）“智慧小組”提出的問題是：若∠BAP=30°，AE=，求正方形ABCD的面積．請(qǐng)你解決“智慧小組”提出的問題．11．（1）嘗試探究：如圖①，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且EF∥AB．①的值為_________；②直線與直線的位置關(guān)系為__________；（2）類比延伸：如圖②，若將圖①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請(qǐng)判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；（3）拓展運(yùn)用：若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段的長．12．問題提出（1）如圖（1），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ACN＝°．類比探究（2）如圖（2），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．拓展延伸（3）如圖（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使AM＝MN，連接CN．添加一個(gè)條件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，寫出你所添加的條件，并說明理由．13．折紙是一種許多人熟悉的活動(dòng)．近些年，經(jīng)過許多人的努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法，下面探討其中的一種折法：（綜合與實(shí)踐）操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片ABCD展開，得到折痕MN；操作二：如圖2，將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊，得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D′；操作三：如圖3，將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開，折痕MD′與邊AB交于點(diǎn)P；（問題解決）請(qǐng)?jiān)趫D3中解決下列問題：（1）求證：BP＝D′P；（2）AP：BP＝；（拓展探究）（3）在圖3的基礎(chǔ)上，將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開，折痕CD′與邊AB交于點(diǎn)Q．再將正方形紙片ABCD過點(diǎn)D′折疊，使點(diǎn)A落在AD邊上，點(diǎn)B落在BC邊上，然后再將正方形紙片ABCD展開，折痕EF與邊AD交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，如圖4．試探究：點(diǎn)Q與點(diǎn)E分別是邊AB，AD的幾等分點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．14．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到ED，ED交直線AB于點(diǎn)O，連接BE．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，α＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，猜想：①AF與BE的數(shù)量關(guān)系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如圖2，0°＜α＜90°，點(diǎn)D在邊BC上，請(qǐng)判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠ABE的度數(shù)，并給予證明．（3）解決問題如圖3，90°＜α＜180°，點(diǎn)D在射線BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，請(qǐng)直接寫出BE的長．15．（性質(zhì)探究）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E．作DF⊥AE于點(diǎn)H，分別交AB，AC于點(diǎn)F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說明理由．（2）求證：BF=2OG．（遷移應(yīng)用）（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)時(shí)，求的值．（拓展延伸）（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F，（性質(zhì)探究）中的其余條件不變，連結(jié)EF，當(dāng)△BEF的面積為矩形ABCD面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠BAE的值．16．如圖（1），已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）證明與推斷：求證：四邊形是正方形；推斷：的值為__；（2）探究與證明：將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運(yùn)用：若，正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則．17．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，，點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，連結(jié)、，交于．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系是_________；②線段與的位置關(guān)系是_________．（2）拓展探究：如圖2，在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連結(jié)、，交于．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在中，，，，的平分線交于，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連結(jié)、、，與相交于，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，直接寫出的長．18．綜合與實(shí)踐——探究特殊三角形中的相關(guān)問題問題情境：某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，將兩塊完全相同的且含角的直角三角板和按如圖1所示位置放置，且的較短直角邊為2，現(xiàn)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）初步探究：勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，是等腰三角形；（2）深入探究：敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過程中，如果連接，，那么所在的直線是線段的垂直平分線．請(qǐng)幫他們證明；（3）再探究：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，求與重疊的面積；（4）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；若不能，說明理由．19．將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中．（1）操作發(fā)現(xiàn):如圖2，固定使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)的面積為的面積為當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系是；（2）猜想論證:當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想中與的數(shù)量關(guān)系為相等，并嘗試分別作出了和中邊上的高請(qǐng)你證明小明的猜想，即證明:．（3）拓展探究:已知，點(diǎn)是角平分線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)（如圖4)．若射線上存在點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的的長．20．在與中，且，點(diǎn)D始終在線段AB上（不與A、B重合）．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若度，的度數(shù)______，______；（2）類比探究：如圖2，若度，試求的度數(shù)和的值；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，M為DE的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，BM的最小值為多少？直接寫出答案．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．【問題引入】見解析；【類比探究】（1）見解析；（2）圖見解析，；【知識(shí)拓展】，證明見解析【分析】[問題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類比探究]（1）過點(diǎn)F作FN解析：【問題引入】見解析；【類比探究】（1）見解析；（2）圖見解析，；【知識(shí)拓展】，證明見解析【分析】[問題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類比探究]（1）過點(diǎn)F作FN⊥OB，F(xiàn)M⊥OA，垂足分別為N、M，F(xiàn)M與PE交于點(diǎn)Q，先證明△PFQ為等邊三角形，得出FG=PH，再運(yùn)用矩形性質(zhì)得出OM=OF，ON=OF，即可證得結(jié)論；（2）作FN⊥OB于點(diǎn)N，F(xiàn)M⊥OA于點(diǎn)M，射線FM交PE于點(diǎn)Q，作PH⊥FQ于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥PQ于點(diǎn)G，同（1）可證：NE=FG=PH=MD，ON=OM=OF，即可得出結(jié)論；[知識(shí)拓展]過點(diǎn)O作OM⊥AB，ON⊥EF，OQ⊥CD，垂足分別為M、N、Q，利用垂徑定理可得出PB-PA=2PM，PF-PE=2PN，PD-PC=2PQ，再運(yùn)用[類比探究]得：PM+PN=PQ，從而證得結(jié)論．【詳解】[問題引入]證明：∵，，，∴．∵，∴．∴．[類比探究]（1）過點(diǎn)作，，垂足分別為、，與交于點(diǎn)．∵，，，則為等邊三角形，、邊上的高相等，即．在矩形、矩形中，有，，∴．∴．∵，，∴，同理，，∴，∴．（2）結(jié)論：．作于點(diǎn)，于點(diǎn)，射線與的交點(diǎn)為，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同（1）可證，，∴．[知識(shí)拓展]數(shù)量關(guān)系：．理由如下：過點(diǎn)作，，，垂足分別為、、．由垂徑定理可得．∴．同理，，由[類比探究]得，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，矩形性質(zhì)，垂徑定理等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)及垂徑定理等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．（1）；；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）【觀察猜想】根據(jù)正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可證明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根據(jù)E是A解析：（1）；；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）【觀察猜想】根據(jù)正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可證明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根據(jù)E是AN的中點(diǎn)，即可證明CM=2BE，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠ABE=∠BCM，∠ABE+∠BMC=90°即可證明CM⊥BE．（2）【探究證明】延長BE至F使EF=BE，連接AF，先證明△AEF≌△NEB，再證明△FAB≌MBC，得到CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，得到∠ABF+∠FBC=90°，進(jìn)而求得∠BCM+∠EBC=90°，即可證明EB⊥CM；（3）[拓展延伸]由a=45°得到∠ABE=15°，由前面可得∠BMC=30°，過C作CG⊥MB于G，設(shè)CG為m，則BC=m，MG=m，所以MB=BN=m-m，最后求得的值．【詳解】解:【觀察猜想】(1)CM=2BE；CM⊥BE；如圖1所示圖1∵正方形ABCD，∴AB=CB，∵等腰三角形BMN，∴BM=BN，∴Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，∴∠BAN=∠BCM，又∵E是AN的中點(diǎn)，∴BE=AE=NE=AN，∴CM=2BE，∵BE=AE，∴∠BAN=∠ABE，∴∠ABE=∠BCM，∴∠ABE+∠BMC=∠BCM+∠BMC=90°∴∠BPM=90°∴CM⊥BE．【探究證明】(2)CM=2BE，CM⊥BE仍然成立．如圖2所示，延長BE至F使EF=BE，連接AF，∵AE=EN，∠AEF=∠NEB，EF=BE，∴△AEF≌△NEB∴AF=BN，∠F=∠EBN，∴AF//BN，AF=BM，∴∠FAB+∠ABN=180°，∵∠MBN=∠ABC=90°，∴∠NBC+∠ABN=90°，∴∠NBA+∠FAD=90°，∴∠CBN=∠FAD∴∠FAB=∠MBC，∵AB=BC，∴△FAB≌MBC，∴CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，∵∠ABF+∠FBC=90°∴∠BCM+∠EBC=90°，∴EB⊥CM；[拓展延伸](3)由a=45°得∠MBA=∠ABN=45°，∵∠NBE=2∠ABE，∴∠ABE=15°，由前面可得∠MCB=∠ABE=15°，∠MBC=135°，∴∠BMC=180°-15°-135°=30°，如圖3所示，過C作CG⊥MB于G，圖3設(shè)CG為m則BC=m，MG=m，所以MB=BN=m-m，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用以上性質(zhì)解決問題．3．（1）；（2），理由見解析；（3）CE的長為2或4，理由見解析．【分析】（1）證明，得出CE＝BD，，即可得出結(jié)論；（2）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出：①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D解析：（1）；（2），理由見解析；（3）CE的長為2或4，理由見解析．【分析】（1）證明，得出CE＝BD，，即可得出結(jié)論；（2）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出：①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，先判斷出四邊形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根據(jù)勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝6，進(jìn)而得出BD＝BP+DP＝8，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）為等腰三角形，，∴是等邊三角形，同理可得是等邊三角形故答案為：．（2），理由如下：在等腰三角形ABC中，AC＝BC，，，同理，，，，，，，，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上:；（3）由（2）知，，，在中，，，①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，如圖③，過點(diǎn)A作交BD的延長線于P，，，四邊形APDE是矩形，，矩形APDE是正方形，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，如圖④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6，BD＝BP+DP＝8，，綜上CE的長為2或4．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，判斷出三角形ACE和三角形ABD相似是關(guān)鍵．4．（1）相等，垂直；（2）成立，見解析；（3）2．【分析】（1）利用SAS證明△ABE≌△CBF，延長CF交AB于點(diǎn)M，證明∠AMC=90°即可；（2）仿照（1）的證明方法求解即可；（3）根據(jù)解析：（1）相等，垂直；（2）成立，見解析；（3）2．【分析】（1）利用SAS證明△ABE≌△CBF，延長CF交AB于點(diǎn)M，證明∠AMC=90°即可；（2）仿照（1）的證明方法求解即可；（3）根據(jù)題意，得點(diǎn)F在以B為圓心，BF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直徑最大原理，知道當(dāng)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)一線時(shí)，CF最大，此時(shí)點(diǎn)E恰好在AB的延長線上，連接DE，利用勾股定理求值即可.【詳解】（1）如圖①，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,∴BA=BC，∠EBA=∠FBC=90°，BE=BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，延長CF交AE于點(diǎn)M，∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB，∵∠AFM=∠BFC，∴∠AMF=∠FBC=90°，∴AE⊥CF，故答案為：相等，垂直；（2）結(jié)論還成立．理由如下：如圖②，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,∴BA=BC，∠EBF=∠ABC=90°，BE=BF，∴∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF，∴∠EBA=∠FBC，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，延長CF交AE于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)G，∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB，∵∠AGN=∠BGC，∴∠ANG=∠GBC=90°，∴AE⊥CF，故結(jié)論成立；（3）如圖③，根據(jù)題意，得點(diǎn)F在以B為圓心，BF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直徑最大原理，知道當(dāng)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)一線時(shí)，CF最大，此時(shí)點(diǎn)E恰好在AB的延長線上，連接DE，∵AB=2BF=4，∴AE=AB+BE=6，在直角三角形ADE中，DE==2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，直徑是圓中的最大的弦，垂直的定義，熟練掌握三角形全等，垂直的證明是解題的關(guān)鍵．5．【問題】，1；【操作】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；【探究】或；【應(yīng)用】點(diǎn)的坐標(biāo)為：或【分析】問題:即可求解；操作：拋物線G1沿BC方向平移BC長度的距離得到拋物線G2，相當(dāng)于拋物線向左平移3個(gè)單位，向上平解析：【問題】，1；【操作】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；【探究】或；【應(yīng)用】點(diǎn)的坐標(biāo)為：或【分析】問題:即可求解；操作：拋物線G1沿BC方向平移BC長度的距離得到拋物線G2，相當(dāng)于拋物線向左平移3個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，即可求解；探究：將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，求出G1、G2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；應(yīng)用：證明∠EPN=∠MDP，利用tan∠EPN=tan∠MDP，即可求解．【詳解】解：問題：，解得：，，故答案為：，1；操作：拋物線沿方向平移長度的距離得到拋物線，相當(dāng)于拋物線向左平移3個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，：，：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；探究：點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴，∵，，∴拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為，∴或時(shí)，函數(shù)隨的增大而增大；應(yīng)用：如圖，過點(diǎn)作軸的平行線交過點(diǎn)與軸的垂線于點(diǎn)，交過點(diǎn)與軸的垂直的直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，，，，∵，，∴，∴，即，即，解得：，故點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及解直角三角形、圖形的平移等，具有一定的綜合性，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出圖形進(jìn)行解答．6．（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）設(shè)證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而求解；（2）證明和，得到，，進(jìn)而求解；（3）證明，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，即可求解析：（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）設(shè)證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而求解；（2）證明和，得到，，進(jìn)而求解；（3）證明，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)交于點(diǎn)，為等腰直角三角形，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，即，，，即，故答案為：，CM⊥BE；（2），，仍然成立．如圖所示，延長至使，連接，，，，，，，，，而，，，，，，，，，；（3）由得，，則，由（2）知，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形中線定理、解直角三角形、三角形全等等，綜合性強(qiáng)，難度較大．7．（1）證明見解析；（2）①；②；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義即可得證；（2）①先根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義、三角形全等的解析：（1）證明見解析；（2）①；②；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義即可得證；（2）①先根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義、三角形全等的判定定理可得，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，然后設(shè)，解直角三角形可得，從而可得，最后利用三角形的面積公式即可得；②如圖（見解析），設(shè)，先利用勾股定理可得，再利用三角形的面積公式可得，然后根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義即可得；（3）如圖（見解析），先解直角三角形可得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】證明：（1）如圖，連接，在和中，，，，平分和，四邊形是“協(xié)和四邊形”；（2）①如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，為“協(xié)和線”，平分和，，在和中，，，，∵點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，，，是等邊三角形，，（等腰三角形的三線合一），設(shè)，則，∵在中，，，在中，，，，即與的面積的比為；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（2）①知，垂直平分，，設(shè)，則，同（2）①可得：，，，，解得，則在中，；（3）如圖，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，，，在中，，四邊形是菱形，，，同（2）①可證：垂直平分，，，，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，在和中，，，，即，解得，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），利用垂線段最短得出當(dāng)時(shí)，取得最小值是解題關(guān)鍵．8．（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似解析：（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）和均為等腰直角三角形，，，，，，且，，，，，，故答案為：；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，故答案為：4；（2）若點(diǎn)在右側(cè)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，．，，，，，，，，，，，即，，，，，若點(diǎn)在左側(cè)，，，，，．，，，，，，，，，，，，即，，，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．9．（1）①1，②；（2）直線所夾銳角為，見解析；（3）滿足條件的的值為【分析】（1）①②延長BD交AE的延長線于T，BT交AC于O．證明即可解決問題．（2）如圖②中，設(shè)AC交BD于O，AE交BD解析：（1）①1，②；（2）直線所夾銳角為，見解析；（3）滿足條件的的值為【分析】（1）①②延長BD交AE的延長線于T，BT交AC于O．證明即可解決問題．（2）如圖②中，設(shè)AC交BD于O，AE交BD于T．證明，推出，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：①如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)D落在線段AC上時(shí)，作于H．②如圖③-2中，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖①中，延長BD交AE的延長線于T，BT交AC于O．，是等邊三角形，，，，，，，，，∴直線所夾銳角為，故答案為1，．（2）如圖②中，設(shè)AC交于O，AE交于T．，是等腰直角三角形，，，，，，，，，∴直線所夾銳角為．（3）①如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)D落在線段AC上時(shí)，作于H．由題意，，，，，在中，②如圖③-2中，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，同法可得，綜上所述，滿足條件的的值為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．10．（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（2）見解析；（3）4【分析】（1）借助問題情景即可得出結(jié)論；（2）連接CE，先根據(jù)已證結(jié)論及正方形的性解析：（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（2）見解析；（3）4【分析】（1）借助問題情景即可得出結(jié)論；（2）連接CE，先根據(jù)已證結(jié)論及正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠1=∠4，再由矩形性質(zhì)證得∠PBA=∠EBC，得出△PBA≌△EBC，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)B作BM⊥AP，垂足為M．結(jié)合（2）所得結(jié)論利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得BM=PM=ME，設(shè)BM=ME=x，則AM=x+-1．則根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形求出x=1，再由直角三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．（2）證明：連接CE，由題意得，∠CEA=90°，∴∠1+∠2=180°-∠AEC=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC．∴∠3+∠4=180°-∠ABC=90°．∵∠2=∠3．∴∠1=∠4．∵四邊形EBFD是矩形，∴∠EBF=90°．∴∠PBE=180°-∠EBF=90°．∴∠PBE=∠ABC．∴∠PBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．即∠PBA=∠EBC．∴△PBA≌△EBC．∴PB=EB．（3）解：過點(diǎn)B作BM⊥AP，垂足為M．由（2）可知，PB=BE，∠PBE=90°．∴BM=PM=ME．設(shè)BM=ME=x，則AM=x+-1．∵在Rt△ABM中，∠BAM=30°．∴AB=2BM，tan∠BAM=，解得x=1．∴AB=2，∴S正方形ABCD=2×2=4．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握特殊四邊形、全等三角形及三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．（1）①，②；（2），，證明見解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥B解析：（1）①，②；（2），，證明見解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥BE；（2）由題意可證△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性質(zhì)可證AF⊥BE；（3）分兩種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理可求AF的長．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，故答案為：，；（2），如圖，連接，延長交于，交于點(diǎn)，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，且，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）①如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，且三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，且，∴，，∴，∴；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，且，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．12．（1）60；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進(jìn)而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；解析：（1）60；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進(jìn)而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過證明≌，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣；（3）當(dāng)∠ABC＝∠AMN時(shí)，∽，利用相似的性質(zhì)得到，又根據(jù)∠BAM＝∠CAN，證得∽，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵、是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在和中，，∴≌（SAS），∴∠ABC=∠ACN；∵是等邊三角形∴∠ABC=60°∴∠ACN=∠ABC=60°．（2）結(jié)論∠ACN＝60°仍成立．理由如下：∵、都是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴≌，∴∠ACN＝∠ABM＝60°．（3）添加條件：∠ABC＝∠AMN．理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，∴∠BAC＝∠MAN，∴∽，∴．又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴∽，∴∠ABC＝∠ACN．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等的條件，利用全等的性質(zhì)證明結(jié)論．13．（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性解析：（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）設(shè)BP＝x，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理列出方程，解方程即可；（3）如圖2，連接QM，證明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接PC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠MD′C＝∠D＝90°，∴∠CD′P＝∠B＝90°，在Rt△CD′P和Rt△CBP中，，∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），∴BP＝D′P；（2）解：設(shè)正方形紙片ABCD的邊長為1．則AM＝DM＝D′M＝．設(shè)BP＝x，則MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，在Rt△AMP中，根據(jù)勾股定理得AM2+AP2＝MP2．∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，解得x＝，∴BP＝，AP＝，∴AP：BP＝2：1，故答案為：2：1．（3）解：點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)．理由：如圖2，連接QM．∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，∴∠QD′M＝∠A＝90°．在Rt△AQM和Rt△D′QM中，，∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），∴AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，則QP＝AP﹣AQ＝﹣y．在Rt△QPD′中，根據(jù)勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．∵D′P＝BP＝，∴y2+（）2＝（﹣y）2，解得y＝．∴AQ：AB＝1：4，即點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，∵EF∥AB，∴，即，解得AE＝．∴點(diǎn)E為AD的五等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．14．（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由見解析；（3）BE的長為2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得：∠ABC＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝解析：（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由見解析；（3）BE的長為2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得：∠ABC＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝∠C＝90°，進(jìn)而可得由等角對(duì)等邊可得DF＝DB，由旋轉(zhuǎn)可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，繼而可知△ADF≌△EDB，繼而即可知AF＝BE；②由全等三角形的性質(zhì)可知∠DAF＝∠E，繼而由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等邊對(duì)等角可得∠ABC＝∠CAB，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊可得DB＝DF，再根據(jù)全等三角形的判定方法證得△ADF≌△EDB，進(jìn)而可得求證AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；（3）分兩種情況考慮：①如圖（3）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，②如圖（4）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，由平行線分線段成比例定理可得、，代入數(shù)據(jù)求解即可；【詳解】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1中，設(shè)AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案為：①AF＝BE，②90°．（2）拓展探究：結(jié)論：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解決問題①如圖（3）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②如圖（4）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，∵AC∥DF，∴，∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，故BE的長為2或4．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角的性質(zhì)和等角對(duì)等邊的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線分線段成比例定理，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．15．（1）等腰三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG解析：（1）等腰三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．首先證明OG=OL，再證明BF=2OL即可解決問題．（3）如圖3中，過點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（4）設(shè)OG=a，AG=k．分兩種情形：①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．分別求解即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF=∠AHG=90°，∵AH=AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF=AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）證明：如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．∵AF=AG，∴∠AFG=∠AGF，∵∠AGF=∠OGL，∴∠OGL=∠OLG，∴OG=OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=2OD，∴BF=2OL，∴BF=2OG．（3）解：如圖3中，過點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，∵∠DAK=∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴，∵S1=?OG?DK，S2=?BF?AD，又∵BF=2OG，，∴，設(shè)CD=2x，AC=3x，則AD=，∴．（4）解：設(shè)OG=a，AG=k．①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k+2a，AC=2（k+a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k+2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2+4ka，∴k=2a，∴AD=，∴BE==，AB=4a，∴tan∠BAE=．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k﹣2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2﹣4ka，∴k=，∴AD=，∴，AB=，∴tan∠BAE=，綜上所述，tan∠BAE的值為或．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要涉及到等腰三角形的判定及其性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)到的相關(guān)知識(shí)．16．（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2解析：（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證即可得；（3）由（2）證出就可得到，再根據(jù)三點(diǎn)在同一直線上分在CD左邊和右邊兩種不同的情況求出AG的長度，即可求出BE的長度．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，四邊形是矩形，四邊形是正方形；解：由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴故答案為：．（2）如下圖所示連接由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知在和中，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）解：當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，，當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEA=∠ABC=90°，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（1）①；②；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；（3）或2或．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論仍然成立．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌解析：（1）①；②；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；（3）或2或．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論仍然成立．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（3）分三種情形利用等邊三角形的判定和性質(zhì)分別求解即可．【詳解】（1）如圖1中，∵CM平分∠ACB，∠ACB=90°，

∠ACM=∠BCM=45°，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠DCE=90°，CD=CE，

∴∠BCD=∠BCE=45°，在△BCD和△BCE中，，∴△BCD≌△BCE（SAS），

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分線段DE，

故答案為：BD=BE，BC⊥DE；（2）結(jié)論仍然成立．理由：∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠DCE=，CD=CE，∴，在△BCD和△BCE中，，∴△BCD≌△BCE（SAS），

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分線段DE，

故BD=BE，BC⊥DE仍然成立；（3）①如圖3（1），當(dāng)時(shí)，∵，，，CD是的平分線，∴△ABC是等邊三角形，且邊長為2，∴AD=AB=1，CD⊥AB，∠ECA=30，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：CE=CF，∠ECF=60，∴△EFC是等邊三角形，∵，∴AF=AE，∠DAE=∠GAF，∴∠DAE+∠EAG=∠GAF+∠EAG=60，∴△AEF是等邊三角形，在Rt△ADE中，，∴EF=AE=；②如圖3（2），當(dāng)時(shí)，由①得：AD=AB=1，CD⊥AB，△EFC是等邊三角形，∵，∴，∠AGF=∠ADE=90，由①得：∠ECA=∠FCA=30，在Rt△ADC和Rt△FGC中，，∴Rt△ADCRt△FGC，∴，∴；③如圖（3），當(dāng)時(shí)，∵，∴，同理可得△EFC是等邊三角形，可求得：∠GFA=30，AG=AD=1，∴，∴；綜上，的長或2或【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．18．（1）15o或60o；（2）見解析；（3）；（4）能，30o或60o【分析】（1）分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)當(dāng)利用三角形的內(nèi)角和定理與旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)從而可得答案；（2）先證明，得到證明，再證明，解析：（1）15o或60o；（2）見解析；（3）；（4）能，30o或60o【分析】（1）分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)當(dāng)利用三角形的內(nèi)角和定理與旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)從而可得答案；（2）先證明，得到證明，再證明，得到結(jié)合從而可得結(jié)論；（3）先求解的面積，再證明，結(jié)合，從而可得重疊部分的面積；（4）當(dāng)∠CNP=90°時(shí)，依據(jù)對(duì)頂角相等可求得∠ANF=90°，然后依據(jù)∠F=60°可求得∠FAN的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的定義可求得∠α的度數(shù)；當(dāng)∠CPN=90°時(shí)．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度數(shù)，然后依據(jù)對(duì)頂角相等可得到∠ANF的度數(shù)，然后由∠F=60°，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠FAN的度數(shù)，于是可得到∠α的度數(shù)．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)＞綜上：當(dāng)或，是等腰三角形；故答案為：或．（2）由題可知，，，，．由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴．，∴．又∵，，∴．∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上．∵，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，∴所在的直線是的垂直平分線．（3）如答圖，∵，