2022安徽省宣城市臨溪高級(jí)職業(yè)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末

試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.若曲線,出==*在*-2處的切線與直線皿+2尸+1=°互相垂直，則實(shí)數(shù)0等于

（）

A.-2B.-1C.1D.2

參考答案：

D

【分析】

求出函數(shù)/（目=正*《*在處的導(dǎo)數(shù)值，這個(gè)導(dǎo)數(shù)值即函數(shù)圖像在該點(diǎn)處切線的斜

率，然后根據(jù)兩直線垂直的條件列出方程即可求解實(shí)數(shù)a。

【詳解】由題可得：r（2）-1,

二曲線功MX3*?*在*一歹處的切線的斜率為1,

r

V曲線/（K）=xQn/在X一菱處的切線與直線a+]=0互相垂直，且直線

a

皿+2/1=0的斜率為弓

---2，解得：a=2；

故答案選D.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩直線垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題。

.如圖，正方體ABCD-ABCD

2ixll）則下列四個(gè)命題：

①F在直線3cl上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐力-4尸0的體積不變；

②尸在直線3cl上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線/P與平面4C4所成角的大小不變；

③F在直線3cl上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角尸一皿一°的大小不變；

④M是平面0上到點(diǎn)D和C]距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是過(guò)4點(diǎn)的直線

其中真命題的個(gè)數(shù)是

A.1B.2C.3D.4

參考答案：

C

略

3.不等式卜一2|<1的解集為()

A」L3]BW)C」T7]

D.—

參考答案：

【答案】B

【解析】

讀題分析，去絕對(duì)值第-1YX-2Y1,IR得"』

考點(diǎn)，含絕對(duì)值不等式的解法.

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明"n3+(n+l)3+(n+2)3(nWN*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n=

k+1時(shí)的情況，只需展開().

A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1);,+(k+2)3

參考答案：

A

彳+尸-1

5.若點(diǎn)°，9分別為橢圓丁T-的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓上的任意一點(diǎn),

則5A而的最大值為()

A.6B.3C.

4D.8

參考答案:

A

略

6.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心

率為（）

a1也！

A.2B.2C.3D.3

參考答案：

A

7.若a則下列結(jié)論不一定成立的是（）

11

abB.品c.d>lfD,

參考答案：

C

,/ab：,

11

Aa<b,Va>Vb,故A,B成立

當(dāng)a=4,b=2時(shí)，abba16,故C錯(cuò)誤；

logba>logbb=l=logaa>logab,故D成立,

故選：c.

8.（5分）（2014秋?濟(jì)寧期末）雙曲線可逋口的漸近線方程為（）

4354

A.y=±3XB.y=±4XC.y二±3、D.y=±5X

參考答案：

A

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

2,9?一

分析：由雙曲線a-bZ=l的漸近線方程為y=一ax,求出a,b即可得到漸近線方程.

22

x_y

解答：解：雙曲線可正口的a=3,b=4,

+也

由于漸近線方程為y=一ax,

4

即為y=±豆x.

故選A.點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

9.將一個(gè)長(zhǎng)與寬不等的長(zhǎng)方形，沿對(duì)角線分成四個(gè)區(qū)域，如圖所示涂上四種顏色，中間裝

個(gè)指針，使其可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)指針停留的可能性下列說(shuō)法正確的是（）

B.藍(lán)白區(qū)域大

C.紅黃區(qū)域大D.由指針轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)決定

參考答案:

B

1（）.在AABC中，4、B、C分別為〃、b、c所對(duì)的角，若a、b、c成等差數(shù)列，則

B的范圍是（）

匹XX至

A.0<B<4B,O<B<3C,0<B<2D.2VB<兀

參考答案:

B

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

a

11.已知1<=<Z-則否的取值范圍是(答案寫成區(qū)間或集

合).

參考答案：

(x4)

i1_?_i

試題分析：由題意得，因?yàn)?<0<Z-2。<一1,所以一1<<廣<工所以一2<<

考點(diǎn)：不等式的性質(zhì).

12.某中學(xué)高三年級(jí)共有學(xué)生1200人,一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)(試卷滿分150分)服從正態(tài)分

I

布N(IO?！埃?，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示學(xué)生考試成績(jī)?cè)?0分到100分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的三，

則此次考試成績(jī)不低于120分的學(xué)生約有人.

參考答案：

200

13.設(shè)平面a的法向量為(1,2,-2),平面p的法向量為(-2,-4,k),若a〃B，

則k_.

參考答案：

4

【考點(diǎn)】向量語(yǔ)言表述面面的垂直、平行關(guān)系.

【分析】根據(jù)空間面面平行的判定與性質(zhì)，可得兩個(gè)平行平面的法向量互相平行，由此建

立關(guān)于k的等式，解之即可得到實(shí)數(shù)k的值.

【解答】解：：a〃p

...平面a、。的法向量互相平行，

由此可得2=(1,2,-2),b=(-2,-4,k),a//b

_2_

-2=-4=k,解之得k=4.

故答案為：4

―=K。>0.占>CQ

14.若雙曲線ai的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的4,則

該雙曲線的離心率為.

參考答案：

273

~3~

15.觀察下列等式：

(1+1)=2X1

(2+1)(2+2)=22X1X3

(3+1)(3+2)(3+3)=23X1X3X5

照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為—.

參考答案：

(n+1)(n+2)(n+3)???(n+n)=2"?1?3?5-?(2n-1)

【考點(diǎn)】歸納推理.

【分析】通過(guò)觀察給出的前三個(gè)等式的項(xiàng)數(shù)，開始值和結(jié)束值，即可歸納得到第n個(gè)等

式.

【解答】解：題目中給出的前三個(gè)等式的特點(diǎn)是第一個(gè)等式的左邊僅含一項(xiàng)，第二個(gè)等式

的左邊含有兩項(xiàng)相乘，第三個(gè)等式的左邊含有三項(xiàng)相乘，由此歸納第n個(gè)等式的左邊含有

n項(xiàng)相乘，由括號(hào)內(nèi)數(shù)的特點(diǎn)歸納第n個(gè)等式的左邊應(yīng)為：

(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n),

每個(gè)等式的右邊都是2的幾次幕乘以從1開始幾個(gè)相鄰奇數(shù)乘積的形式，且2的指數(shù)與奇

數(shù)的個(gè)數(shù)等于左邊的括號(hào)數(shù)，

由此可知第n個(gè)等式的右邊為2"?1?3?5…(2n-1).

所以第n個(gè)等式可為(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n?l?3?5-(2n-l).

故答案為(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2"?1?3?5-(2n-l).

16.過(guò)點(diǎn)的直線交直線L3x+2尸+6=°于點(diǎn)Q,則點(diǎn)。分有向線

段慈=4函,則2的值為.

參考答案：

3再+2乃+6

3叼+2為+6

略

a-j

17.若復(fù)數(shù)用為實(shí)數(shù)0為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)”=▲.

參考答案：

-1

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.（本題滿分1（）分）

已知拋物線的方程為丁=41，直線/過(guò)定點(diǎn)p（一2,1）,斜率為k.

（1）求拋物線的焦點(diǎn)F到直線x+2=0的距離；

（2）若直線/與拋物線有公共點(diǎn)，求k的取值范圍.

參考答案：

解：（1）拋物線9=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1,（））,（1分）

于是F到直線x+2=0的距離為口一（-2）|=3.（2分）

⑵直線/的方程為：＞=H+2±+l（3分）

y=Ax+2Jt+l

由方程組lV=4x可得b_”+4（%+1）=0①（5分）

2

①當(dāng)先=0時(shí)，由①得y=l.把y=l代入/=4x得*=，，

,（-.1）

這時(shí)直線/與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)4（6分）

kwO

②當(dāng)上H0時(shí)，由題意得［A=-16（%、七-1）之°（8分）

-14上＜0,或0＜上42

解得2（9分）

綜上所述，當(dāng)一‘''’5時(shí)直線/與拋物線有公共點(diǎn)（10分）

略

19.（12分）某校從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)（滿

分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：［40,50）,150,60）....［90,

100］后得到如圖的頻率分布直方圖.

（1）求圖中實(shí)數(shù)a的值；

（2）若該校高二年級(jí)共有學(xué)生640人，試估計(jì)該校高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于40

分的人數(shù)；

（3）若從樣本中隨機(jī)選取數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?0,50）與［90,100］兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的兩名學(xué)生，求

這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的概率.

頻率

參考答案:

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖.

【分析】（I）根據(jù)頻率和為1,列出方程求出a的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算成績(jī)不低于60分的頻率與頻數(shù)即可；

（3）計(jì)算成績(jī)?cè)冢?0,60）和［90,100］內(nèi)的人數(shù)，利用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)

的概率值.

【解答】解：（1）由于圖中所有小矩形的面積之和等于1,

所以10x（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1；…（2分）

解得a=0.03；...

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，成績(jī)不低于60分的頻率為

l-10x（0.05+0.01）=0.85,...

由于該校高二年級(jí)共有學(xué)生640人，利用樣本估計(jì)總體的思想，

可估計(jì)該校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)約為

640x0.85=544（人）；...（6分）

（如果沒(méi)有：”利用樣本估計(jì)總體的思想，可估計(jì)”則扣1分）

（3）成績(jī)?cè)冢?0,60）分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為

40x0.05=2（人），...（7分）

成績(jī)?cè)冢?0,100］分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為

40x0.1=4（人），...（8分）

若從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，則總的取法有

Ch15；...（9分）

如果兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都在［40,50）分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在［90,100］分?jǐn)?shù)段內(nèi)，

那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定不大于10；

如果一個(gè)成績(jī)?cè)冢?0,50）分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個(gè)成績(jī)?cè)冢?0,100］分?jǐn)?shù)段內(nèi)，

那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定大于10;…（10分）

則所取兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10分的取法數(shù)為

C2，C4=8；...（11分）

故所求概率為

O

P（M）=l5.…（12分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖以及用列舉法求古典概型的概率問(wèn)題，是綜合性題

目.

20.過(guò)拋物線V'=4X的焦點(diǎn)F的一條直線，與這條拋物線相交于A（占，>】）、B（》2,

乃）兩點(diǎn),求*1勺+乂>2的值。

參考答案：

解析：當(dāng)k不存在時(shí)，直線方程為X=I,此時(shí)=>/2=_4,所以X[X?+

丁必=—3。

當(dāng)k存在時(shí)，由題可得F（l,0）,設(shè)直線方程為y=kx-k,代入拋物線方程消

去y可得，

+4）K+￡2=0,.?.X/2=I,再把直線方程代入拋物線方程消去x可得，

4-4尸-4無(wú)=0,;JM=-4,.?產(chǎn)用+>必=_3

21.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0為極點(diǎn)，上軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單

x=24-/cosa

《

位.已知直線I的參數(shù)方程為（。為參數(shù)，0<a<x）,曲線C的極坐標(biāo)方

4

程為"tan6?sine.

（I）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（H）設(shè)點(diǎn)尸的直角坐標(biāo)為汽ZD,直線L與曲線C相交于d、B兩點(diǎn)，并且

陽(yáng)?附=28,求jr的值

參考答案：

（I）當(dāng),>0時(shí)，,皿'。=48?8可化為0cos。，

x=^p^nO

由=得V=經(jīng)檢驗(yàn)，極點(diǎn)的直角坐標(biāo)（0,0）也滿足此式.

所以曲線。的直角坐標(biāo)方程為V-41

K=2Hcasa

（II）將=l+1*a代入/=4工，得「立a,923。a4ros妙一7二0,

7

|4*?I=-5

所以SIBa.,

.23H5網(wǎng)-^3

<gna=—a.——CLsz-tsna=—tma=——

所以4,6或6,即3或3.

22.已知圓C的圓心坐標(biāo)（1,1）,直線1：x+y=l被圓C截得弦長(zhǎng)為

（1）求圓C的方程；

（II）從圓C外一點(diǎn)p（2,3）向圓