專題一：規(guī)律探索題研究【題型導(dǎo)引】題型一：點坐標(biāo)規(guī)律（1）與變換相關(guān)的點的規(guī)律探尋；（2）與函數(shù)相關(guān)的點的規(guī)律探尋；（3）與其它因素相關(guān)的點的規(guī)律探尋等。題型二：數(shù)字規(guī)律（1）數(shù)學(xué)文化知識的拓展探尋數(shù)字規(guī)律；（2）與特殊圖形引發(fā)的數(shù)字規(guī)律探尋；（3）與變換過程中的數(shù)字規(guī)律探尋。題型三：圖形規(guī)律（1）與變換相關(guān)的圖形規(guī)律；（2）不同操作形成的規(guī)律性圖形研究；【典例解析】類型一：點坐標(biāo)規(guī)律例題1：（2019?湖北省鄂州市?3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1、A2、A3…An在x軸上，B1、B2、B3…Bn在直線y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn＋1都是等邊三角形，從左到右的小三角形（陰影部分）的面積分別記為S1、S2、S3…Sn．則SnA．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn＋1都是等邊三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn＋1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBn∵直線y＝x與x軸的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn＋1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn＋1＝2n，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，Sn＝×2n﹣1×2n＝；故選：D．技法歸納：探索點的坐標(biāo)變化規(guī)律時要注意：①逐一求出(或用字母表示出)相應(yīng)點的坐標(biāo)，直到探索出點的坐標(biāo)變化規(guī)律為止；②確定起始點找到探尋方向；③抓住問題的關(guān)鍵點等；④探求出統(tǒng)一的表示形式．類型二：數(shù)式規(guī)律例題2：（2019?四川省達(dá)州市?3分）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為＝﹣1，﹣1的差倒數(shù)＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)…，依此類推，a2019的值是（）A．5 B．﹣ C． D．【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴數(shù)列以5，﹣，三個數(shù)依次不斷循環(huán)，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝，故選：D．技法歸納：(1)對于不是循環(huán)而有規(guī)律排列的數(shù)或式，根據(jù)前后數(shù)或式之間的關(guān)系，找出其與序列數(shù)n之間的關(guān)系，探求其一般表達(dá)式；(2)對于循環(huán)產(chǎn)生的數(shù)或式，先找到其循環(huán)周期；(3)對于數(shù)陣的規(guī)律問題，先求出每行和每列的個數(shù)，并觀察相鄰數(shù)據(jù)的變化特點，進(jìn)而得到該行或該列上的數(shù)與行列序數(shù)的關(guān)系．第一步：標(biāo)序數(shù)；第二步：對比式子與序號，即分別比較等式中各部分與序數(shù)(1，2，3，4，…，n)之間的關(guān)系，把其蘊含的規(guī)律用含序數(shù)的式子表示出來，通常方法是將式子進(jìn)行拆分，觀察式子中數(shù)字與序號是否存在倍數(shù)或者次方的關(guān)系；第三步：根據(jù)找出的規(guī)律得出第n個等式，并進(jìn)行檢驗．類型三：圖形規(guī)律例題3：(2017·綏化中考)如圖，順次連接腰長為2的等腰直角三角形各邊中點得到第1個小三角形，再順次連接所得的小三角形各邊中點得到第2個小三角形，如此操作下去，則第n個小三角形的面積為．【解析】記原來三角形的面積為S，第一個小三角形的面積為S1，第二個小三角形的面積為S2，….∵S1＝eq\f(1,4)·S＝eq\f(1,22)·S，S2＝eq\f(1,4)·eq\f(1,4)S＝eq\f(1,24)·S，S3＝eq\f(1,26)·S，∴Sn＝eq\f(1,22n)·S＝eq\f(1,22n)·eq\f(1,2)·2·2＝eq\f(1,22n－1).故答案為eq\f(1,22n－1).技法歸納：首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．【變式訓(xùn)練】1.(2018·成都中考)已知a＞0，S1＝eq\f(1,a)，S2＝－S1－1，S3＝eq\f(1,S2)，S4＝－S3－1，S5＝eq\f(1,S4)，…(即當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時，Sn＝eq\f(1,Sn－1)；當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時，Sn＝－Sn－1－1)，按此規(guī)律，S2018＝．【解析】∵S1＝eq\f(1,a)，S2＝－S1－1＝－eq\f(1,a)－1＝－eq\f(a＋1,a)，S3＝eq\f(1,S2)＝－eq\f(a,a＋1)，S4＝－S3－1＝eq\f(a,a＋1)－1＝－eq\f(1,a＋1)，S5＝eq\f(1,S4)＝－(a＋1)，S6＝－S5－1＝(a＋1)－1＝a，S7＝eq\f(1,S6)＝eq\f(1,a)，…，∴Sn的值每6個一循環(huán)．∵2018＝336×6＋2，∴S2018＝S2＝－eq\f(a＋1,a).故答案為－eq\f(a＋1,a).2.(2018·安徽中考)觀察以下等式：第1個等式：eq\f(1,1)＋eq\f(0,2)＋eq\f(1,1)×eq\f(0,2)＝1，第2個等式：eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝1，第3個等式：eq\f(1,3)＋eq\f(2,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,4)＝1，第4個等式：eq\f(1,4)＋eq\f(3,5)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,5)＝1，第5個等式：eq\f(1,5)＋eq\f(4,6)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,6)＝1，…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：；(2)寫出你猜想的第n個等式：(用含n的等式表示)，并證明．【解析】：(1)eq\f(1,6)＋eq\f(5,7)＋eq\f(1,6)×eq\f(5,7)＝1(2)根據(jù)題意，第n個分式分母分別為n和n＋1，分子分別為1和n－1，故答案為eq\f(1,n)＋eq\f(n－1,n＋1)＋eq\f(1,n)×eq\f(n－1,n＋1)＝1.證明：eq\f(1,n)＋eq\f(n－1,n＋1)＋eq\f(1,n)×eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(n＋1＋n（n－1）＋（n－1）,n（n＋1）)＝eq\f(n2＋n,n（n＋1）)＝1，∴等式成立．3.（2019?四川省廣安市?3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A1為直角邊作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以O(shè)A2為直角邊作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以O(shè)A3為直角邊作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點A2019的坐標(biāo)為（﹣22017，22017【解答】解：由題意得，A1的坐標(biāo)為（1，0），A2的坐標(biāo)為（1，），A3的坐標(biāo)為（﹣2，2），A4的坐標(biāo)為（﹣8，0），A5的坐標(biāo)為（﹣8，﹣8），A6的坐標(biāo)為（16，﹣16），A7的坐標(biāo)為（64，0），…由上可知，A點的方位是每6個循環(huán)，與第一點方位相同的點在x正半軸上，其橫坐標(biāo)為2n﹣1，其縱坐標(biāo)為0，與第二點方位相同的點在第一象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n﹣2，縱坐標(biāo)為2n﹣2，與第三點方位相同的點在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣2，縱坐標(biāo)為2n﹣2，與第四點方位相同的點在x負(fù)半軸上，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣1，縱坐標(biāo)為0，與第五點方位相同的點在第三象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣2，縱坐標(biāo)為﹣2n﹣2，與第六點方位相同的點在第四象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n﹣2，縱坐標(biāo)為﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴點A2019的方位與點A23的方位相同，在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為﹣2n﹣2＝﹣22017，縱坐標(biāo)為22017，故答案為：（﹣22017，22017）．4.(2018·濱州中考)觀察下列各式：eq\r(1＋\f(1,12)＋\f(1,22))＝1＋eq\f(1,1×2)，eq\r(1＋\f(1,22)＋\f(1,32))＝1＋eq\f(1,2×3)，eq\r(1＋\f(1,32)＋\f(1,42))＝1＋eq\f(1,3×4)，…請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算eq\r(1＋\f(1,12)＋\f(1,22))＋eq\r(1＋\f(1,22)＋\f(1,32))＋eq\r(1＋\f(1,32)＋\f(1,42))＋…＋eq\r(1＋\f(1,92)＋\f(1,102))，其結(jié)果為．【解析】eq\r(1＋\f(1,12)＋\f(1,22))＋eq\r(1＋\f(1,22)＋\f(1,32))＋eq\r(1＋\f(1,32)＋\f(1,42))＋…＋eq\r(1＋\f(1,92)＋\f(1,102))＝1＋eq\f(1,1×2)＋1＋eq\f(1,2×3)＋1＋eq\f(1,3×4)＋…＋1＋eq\f(1,9×10)＝1×9＋1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,9)－eq\f(1,10)＝9＋1－eq\f(1,10)＝9eq\f(9,10).故答案為9eq\f(9,10).5.(2019?湖南益陽?4分)觀察下列等式：①3－＝(－1)2，②5－＝(－)2，③7－＝(－)2，…請你根據(jù)以上規(guī)律，寫出第6個等式．【解答】解：寫出第6個等式為13－2＝故答案為13－2＝6.（2019?黑龍江省齊齊哈爾市?3分）如圖，直線l：y＝x＋1分別交x軸、y軸于點A和點A1，過點A1作A1B1⊥l，交x軸于點B1，過點B1作B1A2⊥x軸，交直線l于點A2；過點A2作A2B2⊥l，交x軸于點B2，過點B2作B2A3⊥x軸，交直線l于點A3，依此規(guī)律…，若圖中陰影△A1OB1的面積為S1，陰影△A2B1B2的面積為S2，陰影△A3B2B3的面積為S3…，則Sn＝【解答】解：直線l：y＝x＋1，當(dāng)x＝0時，y＝1；當(dāng)y＝0時，x＝﹣∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝?OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：Sn＝故答案為：．7.（2019?山東濰坊?3分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一組同心圓的圓心為坐標(biāo)原點O，它們的半徑分別為1，2，3，…，按照“加1”依次遞增；一組平行線，l0，l1，l2，l3，…都與x軸垂直，相鄰兩直線的間距為l，其中l(wèi)0與y軸重合若半徑為2的圓與l1在第一象限內(nèi)交于點P1，半徑為3的圓與l2在第一象限內(nèi)交于點P2，…，半徑為n＋1的圓與ln在第一象限內(nèi)交于點Pn，則點Pn的坐標(biāo)為．（n【解答】解：連接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3與x軸分別交于A1、A2、A3，如圖所示：在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，∴A1P1＝＝＝，同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，∴P1的坐標(biāo)為（1，），P2的坐標(biāo)為（2，），P3的坐標(biāo)為（3，），……，…按照此規(guī)律可得點Pn的坐標(biāo)是（n，），即（n，）故答案為：（n，）．8.（2019?四川省達(dá)州市?11分）箭頭四角形模型規(guī)律如圖1，延長CO交AB于點D，則∠BOC＝∠1＋∠B＝∠A＋∠C＋∠B．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2α．②如圖3，∠ABE、∠ACE的2等分線（即角平分線）BF、CF交于點F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，則∠BFC＝85°．③如圖4，BOi、COi分別為∠ABO、∠ACO的2019等分線（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它們的交點從上到下依次為O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，則∠BO1000C＝（m＋n）度．（2）拓展應(yīng)用：如圖5，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四邊形ABCD內(nèi)一點，且OA＝OB＝OD．求證：四邊形OBCD是菱形．【解答】解：（1）①如圖2，在凹四邊形ABOC中，∠A＋∠B＋∠C＝∠BOC＝α，在凹四邊形DOEF中，∠D＋∠E＋∠F＝∠DOE＝α，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2α；②如圖3，∵∠BEC＝∠EBF＋∠ECF＋∠F，∠F＝∠ABF＋∠ACF＋∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A＋∠F，∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°；③如圖3，由題意知∠ABO