景德鎮(zhèn)市2023屆高三第三次質(zhì)檢試題數(shù)學（文科）本試卷第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求兩個集合中函數(shù)的值域，得到這兩個集合，再求這兩個集合的交集.【詳解】函數(shù)值域為，則，，函數(shù)值域為，則，所以.故選：C2.若向量與向量的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用向量的夾角公式計算即可；【詳解】因為，，所以，，，.故選：B.3.滿足函數(shù)在上單調(diào)遞減的充分必要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍即可【詳解】解：若在上單調(diào)遞減，則滿足且，則，即在上單調(diào)遞減的一個充分必要條件是.故選:B.【點睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查了充要條件.不忽視函數(shù)的定義域是解決本題的關(guān)鍵.4.寫算，是一種格子乘法，也是筆算乘法的一種，用以區(qū)別籌算與珠算，它由明代數(shù)學家吳敬在其撰寫的《九章算法比類大全》一書中提出，是從天元式的乘法演變而來．例如計算，將被乘數(shù)89計入上行，乘數(shù)61計入右行，然后以乘數(shù)61的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每位數(shù)字，將結(jié)果計入相應(yīng)的格子中，最后從右下方開始按斜行加起來，滿十向上斜行進一，如圖，即得5429，若從表內(nèi)的8個數(shù)字（含相同的數(shù)字，表周邊數(shù)據(jù)不算在內(nèi)）中取1個數(shù)字，這個數(shù)字大于5的概率為（）

A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.【詳解】表內(nèi)的個數(shù)字分別為，，，，，，，，其中大于的有，，，從表內(nèi)的個數(shù)字（含相同的數(shù)字，表周邊數(shù)據(jù)不算在內(nèi)）中取1個數(shù)字有種取法，這個數(shù)字大于的情況有種取法，這個數(shù)字大于的概率為．故選：B．5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖可知組合體的構(gòu)成，結(jié)合圓錐和球的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知：該幾何體為半圓錐和四分之一球構(gòu)成的組合體，即如下圖所示的幾何體的上半部分，半圓錐的體積，四分之一球的體積，幾何體體積.故選：A.6.互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，在斜坐標系中，過點作兩坐標軸的平行線，其在軸和軸上的截距，分別作為點的坐標和坐標，記.若斜坐標系中，軸正方向和軸正方向的夾角為，則該坐標系中和兩點間的距離為（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)與x軸方向相同的單位向量為，與y軸方向相同的單位向量為，則可表示出，即可計算出和兩點間的距離.【詳解】設(shè)與x軸方向相同的單位向量為，與y軸方向相同的單位向量為，則，，則，所以，所以，故選：D.7.首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競賽場館，它的設(shè)計創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為雪飛天.中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金牌.雪飛天的助滑道可以看成一個線段和一段圓弧組成，如圖所示.在適當?shù)淖鴺讼迪聢A弧所在圓的方程為，若某運動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將直線方程與圓的方程聯(lián)立可求得點坐標，根據(jù)在點的切線斜率和點坐標可求得拋物線方程中的，整理可得拋物線方程.【詳解】由題意知：，又，直線方程為：，即；由得：或，即或，為靠近軸的切點，；設(shè)飛行軌跡的拋物線方程為：，則，在點處的切線斜率為，，解得：，，解得：，，即拋物線方程為：.故選：A.8.在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項和（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列求和公式可整理得到，進而確定，采用裂項相消法可求得結(jié)果.【詳解】，，.故選：D.9.中國古代十進位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造．據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年，算籌記數(shù)的方法是：個位、百位、萬位的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出、十位、千位、十萬位的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出，如7738可用算籌表示為．1-9這9個數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如上圖所示，則的運算結(jié)果可用算籌表示（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由，結(jié)合算籌的表示，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，由題中所給表示數(shù)碼知可用A選項中的算籌表示.故選：A10.某地舉辦數(shù)學建模大賽，本次大賽冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的表面積為，托盤由邊長為8的等邊三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊形成，即面，面，面都與面垂直，如圖②，則經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)三點在底面上的射影分別為，可得與全等，經(jīng)過三個頂點的球的截面圓與的外接圓相同，根據(jù)正弦定理求出外接圓的半徑可得答案.【詳解】設(shè)三點在底面上的射影分別為，因為面，面，面都與面垂直，所以是三邊中點，所以與全等，且所在平面互相平行，所以經(jīng)過三個頂點的球的截面圓與的外接圓相同，由題意，，所以的外接圓的半徑為，則經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為.故選：B.11.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，直線l經(jīng)過且與C左支交于P，Q兩點，P在以為直徑的圓上，，則C的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)P在以為直徑的圓上，得到，設(shè)，，得到，由雙曲線定義得到，求出，由勾股定理求出，從而求出離心率.【詳解】不妨設(shè)，，因為P在以為直徑的圓上，所以，即，則．因為Q在C的左支上，所以，即，解得，則．因為，所以，即，故，故．故選：A12.已知定義域為的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且，當時，，則下列判斷正確的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再利用求得函數(shù)g（x）的對稱軸，然后判斷，得出答案即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為當時，，所以可得在時，是單調(diào)遞增的；因為，化簡得即可得圖像關(guān)于x=1對稱，則，因為化簡可得，故選C【點睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)，然后考查了導函數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)的對稱性來進行求解，解題的關(guān)鍵是在于能否構(gòu)造出新函數(shù)，屬于難題.幾種導數(shù)的常見構(gòu)造：對于，構(gòu)造若遇到，構(gòu)造對于，構(gòu)造對于，構(gòu)造對于或，構(gòu)造對于，構(gòu)造對于，構(gòu)造第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.記為等差數(shù)列的前項和.已知，，則______.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】由題知：，解得.所以.故答案為：14.已知為虛數(shù)單位，且，則的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長的幾何意義可知點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，根據(jù)幾何意義為點到坐標原點的距離，結(jié)合圓的知識可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由的幾何意義知：對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即，的幾何意義為點到坐標原點的距離，.故答案為：.15.已知直線與函數(shù)和函數(shù)的圖象分別交于兩點，若，則線段中點的縱坐標為___________.【答案】【解析】【分析】由，平方后可求得，根據(jù)可求得線段中點的縱坐標.【詳解】由題意知：，，；設(shè)中點的縱坐標為，當時，，，，，.故答案為：.16.若曲線在點處的切線與曲線相切于點，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)幾何意義可分別用表示出切線方程，根據(jù)切線方程相同可構(gòu)造方程組，化簡得到，代入所求式子整理即可.【詳解】，，切線斜率，切線方程可記為：或，，，則，易得，，.故答案為：.【點睛】思路點睛：本題考查導數(shù)中的公切線問題，求解此類問題的基本思路是假設(shè)切點坐標后，利用導數(shù)幾何意義分別表示出兩函數(shù)切點處的切線方程，由兩方程形式一致可構(gòu)造方程組來求解相關(guān)問題.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必做題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，.已知.（1）求角；（2）若是鈍角三角形，且，求邊的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由商數(shù)關(guān)系及和角正弦公式、三角形內(nèi)角關(guān)系化簡整理得，即可確定角的大?。唬?）根據(jù)已知有為鈍角，應(yīng)用余弦定理及已知條件求c的范圍即可.【小問1詳解】，則，又，則且，可得，由，故.小問2詳解】由，即，又是鈍角三角形且，故為鈍角，則，故.18.如圖，等腰梯形ABCD中，，，現(xiàn)以AC為折痕把折起，使點B到達點P的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）若M為PD的中點，求點P到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先通過線線垂直證明線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直；（2）先通過空間中的關(guān)系求出邊長，再利用余弦定理求出三角形的面積，最后利用等體積法求解距離.【小問1詳解】在梯形ABCD中取AD得中點N，連接CN，則由BC平行且等于AN，可知ABCN為平行四邊形，所以，由可得C點在以AD為直徑的圓上，所以又，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】取AC得中點O，連接PO，OD，由得，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又M為PD的中點，所以，因為平面，平面，所以，，又M為PD的中點，所以，則，所以，，，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以，因為平面，所以點到平面的距離CD是點到平面距離的2倍，即點M到平面PAC的距離為1，，設(shè)點P到平面的距離為，因為，所以，解得.19.2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸．三位航天員翟志剛、王亞平、葉光富結(jié)束了180天的太空之旅．為了增強學生的科技意識和愛國情懷，某學校進行了一次專題講座，講座結(jié)束后，進行了一次專題測試（滿分：100分），其中理科學生有600名學生參與測試，其得分都在內(nèi)，得分情況繪制成頻率分布直方圖如下，在區(qū)間的頻率依次構(gòu)成等差數(shù)列．若規(guī)定得分不低于80分者為優(yōu)秀，文科生有400名學生參與測試，其中得分優(yōu)秀的學生有50名．（1）若以每組數(shù)據(jù)的中間值代替本組數(shù)據(jù)，求理科學生得分的平均值；（2）請根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并說明是否有99.9%以上的把握認為，得分是否優(yōu)秀與文理科有關(guān)?優(yōu)秀不優(yōu)秀合計理科生文科生合計1000附：，其中0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）（2）列聯(lián)表見解析，有以上的把握認為，得分是否優(yōu)秀與文理科有關(guān)；【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求出、的值，再根據(jù)平均數(shù)公式計算可得；（2）依題意完善列聯(lián)表，計算出卡方，即可判斷；【小問1詳解】解：依題意可得，解得，所以理科學生得分的平均值為：【小問2詳解】解：理科學生中得分為優(yōu)秀的有（人），所以列聯(lián)表如下所示優(yōu)秀不優(yōu)秀合計理科生150450600文科生50350400合計2008001000所以，所以有以上把握認為，得分是否優(yōu)秀與文理科有關(guān)；20.設(shè)橢圓C：的左、右頂點分別為A、B，且焦距為2．點P在橢圓上且異于A、B兩點．若直線PA與PB的斜率之積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點作不與軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點，直線m的方程為：，過點M作垂直于直線，交于點E．判斷直線是否過定點，并說明理由．【答案】（1）（2）過定點，理由見解析【解析】【分析】（1）由焦距為2，直線PA與PB的斜率之積為，列方程求出，可得橢圓C的標準方程；（2）設(shè)的直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理表示出直線，令可求得直線所過的定點.【小問1詳解】由題意有，，設(shè)，，化簡得,結(jié)合，可得，由橢圓焦距為2，有，得，，橢圓C的標準方程為；【小問2詳解】設(shè)直線方程：，，，，聯(lián)立方程，得，所以，，所以，又，所以直線方程為：，令，則．所以直線過定點.【點睛】方法點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．要強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21函數(shù)，對任意，都有恒成立．（1）當時，求的取值范圍；（2）當時，若所有滿足題意的a，b都有恒成立，求M的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）任意，恒成立等價于，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求最大值，求的取值范圍；（2）任意，恒成立，令，利用導數(shù)求的最小值，得，令，再利用導數(shù)求最大值即可.【小問1詳解】當時，對任意，都有恒成立，∵，∴恒成立，令，∴，函數(shù)和函數(shù)在上都單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，又∵，∴在上，單調(diào)遞增，∴在上，單調(diào)遞減，∴在時取最大值，∴.所以的取值范圍為.【小問2詳解】對任意，都有恒成立，令，∴，∴在上單調(diào)遞增，取且，則且，∴，取且，則且，∴，∴存在，使，又∵在上單調(diào)遞增，時，時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在取得最小值，其中，∴，∴，∴當時，，令，，∴當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在時取最大值