專題01第一章勾股定理【專題過(guò)關(guān)】類型一、判斷勾股數(shù)【解惑】下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．8，24，25 B．8，15，17 C．10，20，26 D．14，36，39【答案】B【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴，，不是勾股數(shù)，故A不符合題意；B、∵，∴，，是勾股數(shù)，故B符合題意；C．∵，∴，，不是勾股數(shù)，故C不符合題意；D．∵，∴1，，不是勾股數(shù)，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定義，求出兩個(gè)較小數(shù)的平方和與較大的數(shù)進(jìn)行比較．【融會(huì)貫通】1．（2023春·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，1，2 B．2，3，4 C．6，8，10 D．6，6，6【答案】C【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義和勾股定理的逆定理，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A、，不是勾股數(shù)，該選項(xiàng)不符合題意；B、，不是勾股數(shù)，該選項(xiàng)不符合題意；C、，是勾股數(shù)，該選項(xiàng)符合題意；D、，不是勾股數(shù)，該選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股數(shù)和勾股定理的逆定理，牢記勾股數(shù)的定義（能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的正整數(shù)，稱為勾股數(shù)）是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理最早出現(xiàn)在《周解算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)如下：勾為奇數(shù)，弦與股相差1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…若此類勾股數(shù)的勾為（，為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含的式子表示）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得為偶數(shù)，設(shè)其股是，則弦為，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：為正整數(shù)，為偶數(shù)，設(shè)其股是，則弦為，根據(jù)勾股定理得，，解得，弦是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．3．（2023春·安徽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．5，10，12 C．，，1 D．8，15，16【答案】A【分析】能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)度的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)；據(jù)此進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A.，能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，符合題意；B.，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意；C.，不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；D.，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如果正整數(shù)滿足等式，那么正整數(shù)叫做勾股數(shù)．某同學(xué)將自探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為（）A．67 B．34 C．98 D．73【答案】C【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到，，，進(jìn)而得出的值．【詳解】解：由題可得：，，，∴當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題為勾股數(shù)與數(shù)列規(guī)律綜合題；觀察數(shù)列，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023春·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考期中）課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，于是老師提出以下問(wèn)題讓學(xué)生解決．(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫(xiě)出下一組勾股數(shù)：11，______，______；(2)若第一個(gè)數(shù)用字母（為奇數(shù)，且）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含的代數(shù)式分別怎么表示？聰明的小明發(fā)現(xiàn)每組第二個(gè)數(shù)有這樣的規(guī)律：，，，…，則用含的代數(shù)式表示每組第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)分別為_(kāi)_____，______；(3)用所學(xué)知識(shí)證明（2）中你所發(fā)現(xiàn)的這類用字母表示的勾股數(shù)的規(guī)律．【答案】(1)60，61(2)，(3)，，【分析】（1）根據(jù)題意可得，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方與1的差除以2，第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)大1，則第三個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方與1的和除以2，然后將11代入第一個(gè)數(shù)即可；（2）根據(jù)題意可得，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方與1的差除以2，第三個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方與1的和除以2，然后將代入第一個(gè)數(shù)即可；（3）根據(jù)勾股定理來(lái)驗(yàn)證即可．【詳解】（1）解：由題意可得，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方與1的差除以2，第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)大1，則第三個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方與1的和除以2，第二個(gè)數(shù)是，第三個(gè)數(shù)是．故答案為60，61；（2）由題意可得，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方與1的差除以2，第三個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方與1的和除以2，第二個(gè)數(shù)是，第三個(gè)數(shù)是．故答案為，；（3）由題意可得，，勾股數(shù)的規(guī)律是，，．【點(diǎn)睛】本題是規(guī)律性問(wèn)題，考查了勾股數(shù)之間的關(guān)系和勾股定理，能夠根據(jù)條件分析數(shù)字規(guī)律以及熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．類型二、判斷三邊形成直角三角形【解惑】以下各組數(shù)據(jù)為三角形的三邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用勾股定理的逆定理判定即可．【詳解】解：A．∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，該選項(xiàng)不符合題意；B．∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，該選項(xiàng)不符合題意；C．∵，∴能構(gòu)成直角三角形，該選項(xiàng)符合題意；D．∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）將下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（）A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17【答案】D【分析】判斷是否為直角三角形，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】解：A、，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，能組成直角三角形，故此選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）若的三邊為下列四組數(shù)據(jù)，則能判斷是直角三角形的是（）A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、10【答案】D【分析】利用勾股定理的逆定理逐一判斷各選項(xiàng)即可得到答案．【詳解】解：不是直角三角形，故不符合題意；不是直角三角形，故不符合題意；不是直角三角形，故不符合題意；是直角三角形，故符合題意；故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由勾股定理的逆定理逐一分析各選項(xiàng)，從而可得答案．【詳解】解：故不符合題意；故不符合題意；故符合題意；故不符合題意；故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判斷三角形是不是直角三角形．”是解題的關(guān)鍵4．（2021秋·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）以下列三個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形中，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．9，16，25【答案】C【分析】由勾股定理的逆定理逐一判斷各選項(xiàng)即可得到答案．【詳解】解：故錯(cuò)誤；故錯(cuò)誤；故正確；故錯(cuò)誤；故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．5．（2021春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）判斷由線段組成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【答案】（1）是，理由見(jiàn)解析；（2）不是，理由見(jiàn)解析；（3）是，理由見(jiàn)解析；【分析】（1）計(jì)算，再計(jì)算，若兩者的值相等則是直角三角形，否則不是；（2）先判斷出a最大，并計(jì)算，再計(jì)算，若兩者的值相等則是直角三角形，否則不是；（3）根據(jù)，判斷出b最大，并計(jì)算，再計(jì)算，若兩者的值相等則是直角三角形，否則不是．【詳解】（1）∵

，，∴

．∴

由線段組成的三角形是直角三角形．（2）∵，，，∴

．∴

由線段組成的三角形不是直角三角形．（3）∵，∴

，．∵，，∴

．∴

由線段組成的三角形是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是準(zhǔn)確地判斷哪一條邊最大，即首先確定最大邊，然后驗(yàn)證兩短邊的平方和與最大邊的平方是否具有相等關(guān)系．類型三、用勾股定理求面積【解惑】已知Rt△ABC中,，若a+b=14，c=10，則Rt△ABC的面積是（

）A．24 B．14 C．10 D．16【答案】A【分析】根據(jù)已知及勾股定理可求得直角三角形兩邊的長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式即可求得其面積．【詳解】∵Rt△ABC中,，a+b=14，c=10∴由題意得，把c=10代入其他兩方程得：，由①得：a=14?b，代入②得：(14?b)2+b2=100,即b2?14b+48=0因式分解得：(b?6)(b?8)=0，解得b=6或b=8，把b=6代入①得a=8；把b=8代入①得a=6，∴方程組的解為：或，不論a,b取哪一組數(shù)據(jù),Rt△ABC的面積均是S△ABC=×6×8=24.故選擇A.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理.【融會(huì)貫通】1．（2019秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）直角三角形兩直角邊，分別為6，8，則以該三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于.【答案】100【分析】根據(jù)勾股定理算出斜邊c的平方，正方形的面積就等于c的平方.【詳解】解：∵直角三角形兩直角邊，分別為6，8，∴斜邊，故以c為斜邊的正方形的面積為100.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，在直角三角形中已知兩直角邊可根據(jù)勾股定理求出斜邊（或斜邊的平方）.2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校考期末）如圖，，，，則陰影部分的面積是．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算出的值，再根據(jù)圓的面積公式即可求解．【詳解】解：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及圓的面積，熟練掌握勾股定理及圓的面積公式是解題關(guān)鍵．3．（2023春·陜西安康·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，以為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是．【答案】20【分析】由勾股定理求出即可．【詳解】解：由勾股定理得，，正方形的面積是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·遼寧阜新·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，，，，，，求四邊形ABCD的面積.【答案】114【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，分別求出△ABC和△ACD的面積，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵，∴，∵，，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能求出△ABC和△CAD的面積，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．5．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)求陰影部分（長(zhǎng)方形）的面積．

【答案】【分析】先利用勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)，再利用長(zhǎng)方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴．∴陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理并靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．類型四、用勾股定理求邊長(zhǎng)【解惑】如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為，較短直角邊長(zhǎng)為，若，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長(zhǎng)為（

）

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件易得，中間小正方形的邊長(zhǎng)為；結(jié)合題意可得，，結(jié)合完全平方公式即可求出小正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：由題意，中間小正方形的邊長(zhǎng)為，，，∵，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，算術(shù)平方根的含義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式．【融會(huì)貫通】1．（2023秋·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）據(jù)說(shuō)古埃及人曾用“拉繩”的方法畫(huà)直角．現(xiàn)有一根長(zhǎng)24厘米的繩子，請(qǐng)你利用（它拉出一個(gè)周長(zhǎng)為24厘米的直角三角形，那么你拉出的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為厘米．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，自由選擇拉出一個(gè)直角三角形即可，因此，利用常見(jiàn)勾股數(shù)，設(shè)拉出的直角三角形三邊長(zhǎng)為，從而列方程求解即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)拉出的直角三角形三邊長(zhǎng)為，則，解得，斜邊長(zhǎng)為，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，利用常見(jiàn)勾股數(shù)列方程求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023春·貴州銅仁·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的邊長(zhǎng)是【答案】或5；【分析】根據(jù)勾股定理分類討論求解即可得到答案；【詳解】解：①當(dāng)4為斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：；②當(dāng)3和4為直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：；故答案為：或5；【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解直角三角形，解題的關(guān)鍵是注意分類討論．3．（2023春·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則第三邊長(zhǎng)是．【答案】4或/或4【分析】求第三邊的長(zhǎng)必須分類討論，即5是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【詳解】解：當(dāng)5是斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)；當(dāng)5是直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)．綜上所述：第三邊長(zhǎng)是4或．故答案為：4或．【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當(dāng)已知條件中沒(méi)有明確哪是斜邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解．4．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)為12和5，則第三邊上的高等于是．【答案】或5【分析】本題已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【詳解】解：（1）若12是直角邊，則第三邊x是斜邊，設(shè)第三邊上的高為，由勾股定理，得，∴，∴，∴，∴第三邊上的高為．（2）若12是斜邊，則第三邊x為直角邊，第三邊上的高為5．故答案為：或5．【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當(dāng)已知條件中沒(méi)有明確哪是斜邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解．5．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)為6和8，則它的斜邊長(zhǎng)為.【答案】10．【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】設(shè)斜邊長(zhǎng)為x，根據(jù)勾股定理得

∴它的斜邊長(zhǎng)為10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．已知一個(gè)直角三角形中，任意兩邊長(zhǎng)，可以根據(jù)勾股定理求出第三邊的長(zhǎng)．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．類型五、勾股定理與網(wǎng)格【解惑】如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的中，邊長(zhǎng)為有理數(shù)的邊數(shù)為（

）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理，分別求出的三邊長(zhǎng)，然后判定哪條邊的長(zhǎng)度為有理數(shù)即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可知：，是無(wú)理數(shù)；，是無(wú)理數(shù)；，是有理數(shù)；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，將的三邊分別放在不同的直角三角形求解是解決本題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）圖1、圖2的兩個(gè)正方形網(wǎng)格的面積分別為、，正方形、滿足，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】假設(shè)第一正方形網(wǎng)格邊長(zhǎng)為，第二個(gè)網(wǎng)格正方形邊長(zhǎng)為，然后根據(jù)勾股定理可得到，，然后利用計(jì)算即可得到和的比值．【詳解】解：設(shè)第一正方形網(wǎng)格邊長(zhǎng)為，第二個(gè)網(wǎng)格正方形邊長(zhǎng)為，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查網(wǎng)格中面積的計(jì)算和勾股定理，利用勾股定理用網(wǎng)格的邊長(zhǎng)表示正方形面積，然后轉(zhuǎn)化為網(wǎng)格正方形面積的比值是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D均落在格點(diǎn)上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格的性質(zhì)，證明得到，結(jié)合證明即可．【詳解】．如圖，根據(jù)網(wǎng)格的性質(zhì)，得，∴，∴，∵，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的全等，等量代換，直角的意義，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京四中?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，的頂點(diǎn)A，B，C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】根據(jù)圖形和三角形的面積公式求出的面積，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，，，

∴的面積，由勾股定理得，則，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，網(wǎng)格三角形的面積的計(jì)算，掌握在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．4.（2023春·安徽宣城·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格上．于點(diǎn)D，則．【答案】3【分析】正方形邊長(zhǎng)為1，則,，為3，等面積法,即可求得．【詳解】如圖所示，過(guò)A作，因?yàn)榈捻旤c(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格上，所以，，,因?yàn)?，所以，即，故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出的長(zhǎng)，以及運(yùn)用等面積法列式．5．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且和關(guān)于直線成軸對(duì)稱．

(1)求出的面積；(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中作出對(duì)稱軸；(3)請(qǐng)?jiān)谥本€上作一點(diǎn)，使得最??；(4)請(qǐng)?jiān)诰€段的上方找一點(diǎn)，畫(huà)出，使．【答案】(1)5(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)見(jiàn)解析【分析】（1）用邊長(zhǎng)為4的正方形的面積減去四周三個(gè)三角形的面積即可；（2）連接、，利用網(wǎng)格特點(diǎn)作、的垂直平分線，即為所求；（3）根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短，連接，與直線的交點(diǎn)即為所求；（4）在的上方找一點(diǎn)，根據(jù)“”判定即可．【詳解】（1）解：的面積為；（2）如圖所示，直線即為所求；

（3）

（4）如下圖，即為所求．

∵，，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了網(wǎng)格與圖形、軸對(duì)稱變換、最短路徑問(wèn)題、全等三角形的判定、勾股定理，理解題意，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．類型六、旗桿高度問(wèn)題【解惑】如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，設(shè)棋桿的高度為x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x．【詳解】解：設(shè)旗桿高度為x米，則，，在中，由勾股定理得即解得：∴旗桿的高度為17米．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．【融會(huì)貫通】1．（2023春·云南昆明·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一根垂直于地面的旗桿在離地面的B處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部的A處，則旗桿折斷部分的高度是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理求解．【詳解】解：由題意得：，則故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際情況抽象出數(shù)學(xué)模型．2．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》勾股章有一個(gè)問(wèn)題，其意思是：現(xiàn)有一豎立著的木柱，在木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時(shí)繩索用盡，請(qǐng)問(wèn)：繩索有多長(zhǎng)？若設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由繩索的長(zhǎng)度，可得出木柱的高度，再利用勾股定理，即可得出方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，則木柱高尺，由題意得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出方程、數(shù)學(xué)常識(shí)以及勾股定理的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)正確列出方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·重慶渝北·八年級(jí)重慶市松樹(shù)橋中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)？”設(shè)繩索的長(zhǎng)為x尺，下列方程正確的是（

）．

A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)繩索有尺長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)繩索有尺長(zhǎng)，

則，即，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、理解題意能力，關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形，用勾股定理來(lái)解．4．（2023春·河南安陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）在第十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議召開(kāi)之際，某中學(xué)舉行了莊嚴(yán)的升旗儀式．看著著冉升起的五星紅旗（如圖1），小樂(lè)想用剛學(xué)過(guò)的知識(shí)計(jì)算旗桿的高度．如圖2，為旗桿上用來(lái)固定國(guó)旗的繩子，點(diǎn)距地面的高度．將繩子拉至的位置，測(cè)得點(diǎn)到的距離，到地面的垂直高度，求旗桿的高度．【答案】【分析】設(shè)，在中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，，由題意可得：，在中，，即，解得：，即，∴旗桿的高度為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的相關(guān)知識(shí)并在直角三角形中正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）學(xué)過(guò)勾股定理后，某班興趣小組來(lái)到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿的高度，得到如下信息：測(cè)得從旗桿頂端垂直掛下來(lái)的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)米如圖；當(dāng)將繩子拉直時(shí)，測(cè)得此時(shí)拉繩子另一端的手到地面的距離為米，到旗桿的距離為米如圖．根據(jù)以上信息，求旗桿的高度．

【答案】旗桿的高度為米．【分析】設(shè)，在中根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)米，則，，，，即：，，，．答：旗桿的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的相關(guān)知識(shí)并在直角三角形中正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．類型七、大樹(shù)折斷問(wèn)題【解惑】如圖，一棵大樹(shù)被臺(tái)風(fēng)刮斷，若樹(shù)在離地面處折斷，樹(shù)頂端落在離樹(shù)底部處，則樹(shù)折斷之前高（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】在折斷的大樹(shù)與地面構(gòu)成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜邊的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出大樹(shù)折斷之前的高度．【詳解】解：如圖；．在中，米，，由勾股定理，得：，

，即大樹(shù)折斷之前有高．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是在直角三角形中運(yùn)用勾股定理求出的長(zhǎng)．【融會(huì)貫通】1．（2021春·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）如圖，一棵大樹(shù)被臺(tái)風(fēng)刮斷，若樹(shù)在離地面處折斷，樹(shù)頂端落在離樹(shù)底部處，則樹(shù)折斷之前高（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，根據(jù)勾股定理求得，結(jié)合樹(shù)高為計(jì)算即可．【詳解】如圖，設(shè)，，

∴，∴樹(shù)高為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北廊坊·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)大樹(shù)高8米，折斷后大樹(shù)頂端落在離大樹(shù)底端2米處，則折斷處離地面的高度是多少米？

【答案】折斷處離地面的高度是米【分析】設(shè)米，則米，根據(jù)勾股定理得出，列出方程求解即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可得米，米，設(shè)米，則米，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，答：折斷處離地面的高度是米．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問(wèn)折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷后離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理得：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．4．（2023春·重慶忠縣·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在一棵大樹(shù)距地面10米的地方有兩只猴子，一只猴子往上爬到樹(shù)頂后，再沿直線由樹(shù)頂跳到地面的池塘邊喝水，另一只猴子沿樹(shù)干滑到樹(shù)底，再沿地面爬到同一地方喝水，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過(guò)的路程都為15米，則大樹(shù)的高為．【答案】12米/12m【分析】設(shè)樹(shù)高為x米，則可用x分別表示出，利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，可求得x的值．【詳解】解：如圖，

設(shè)樹(shù)高為x米，則，則題意可知，∴，∵為直角三角形，∴，即，解得，即樹(shù)高為12米，故答案為：12米．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，用樹(shù)的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》中“折竹”問(wèn)題（如圖）．今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？答：折者高尺（1丈=10尺）

【答案】【分析】根據(jù)勾股定理，列方程求解即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：

由題意可知，，設(shè)，則，在，，則由勾股定理得，解得，折者高尺，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解決實(shí)際應(yīng)用題，讀懂題意，根據(jù)勾股定理列方程求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．類型八、水中筷子問(wèn)題【解惑】一個(gè)圓柱形鐵桶（厚度不計(jì)）的底面直徑為，高為，則這個(gè)桶內(nèi)所能容下的最長(zhǎng)木棒長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將圓柱形鐵桶橫截面表示為長(zhǎng)方形，進(jìn)而得到木棒長(zhǎng)為對(duì)角線長(zhǎng)，利用勾股定理即可得出答案．【詳解】解：如圖：

為圓通底面直徑，∴，，∴線段的長(zhǎng)度就是桶內(nèi)所能容下的最長(zhǎng)木棒的長(zhǎng)度，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，其中能夠通過(guò)實(shí)際問(wèn)題抽象出具體的幾何圖形是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．（2023春·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，有一個(gè)透明的直圓柱狀的玻璃杯，現(xiàn)測(cè)得內(nèi)徑為，高為，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考慮吸管的粗細(xì)，則吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少為（）

A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少，即在杯內(nèi)最長(zhǎng)，可用勾股定理解答．【詳解】解∶，，露出杯口外的長(zhǎng)度為．故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，所述問(wèn)題是一個(gè)生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，與勾股定理巧妙結(jié)合，可培養(yǎng)同學(xué)們解決實(shí)際問(wèn)題的能力．2.（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一支筆放到圓柱形筆筒中，筆筒內(nèi)部底面直徑是，內(nèi)壁高．若這支筆長(zhǎng)，則這支筆在筆筒外面部分的長(zhǎng)度是(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得圖形：，在中：，所以．則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一根長(zhǎng)為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長(zhǎng)度hcm，則h的取值范圍為．

【答案】【分析】根據(jù)杯子內(nèi)牙刷的長(zhǎng)度取值范圍得出杯子外面長(zhǎng)度的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)牙刷與杯底垂直時(shí)h最大，h最大（cm）．當(dāng)牙刷與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，如圖，此時(shí)（cm），（cm）．∴h的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)牙刷的取值范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東德州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，將一根長(zhǎng)為的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為，則的取值范圍是．

【答案】/【分析】根據(jù)杯子內(nèi)筷子的長(zhǎng)度取值范圍得出杯子外面長(zhǎng)度的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：將一根長(zhǎng)為的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長(zhǎng)是等于杯子斜邊長(zhǎng)度，當(dāng)杯子中筷子最短時(shí)等于杯子的高度，，當(dāng)杯子中筷子最長(zhǎng)時(shí)等于杯子斜邊長(zhǎng)度，，的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長(zhǎng)是等于杯子斜邊長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一個(gè)直徑為的杯子，在它的正中間豎直放一根筷子，筷子露出杯子外，當(dāng)筷子倒向杯壁時(shí)(筷子底端不動(dòng))，筷子頂端剛好觸到杯口，求筷子長(zhǎng)度和杯子的高度．

【答案】杯高，筷子長(zhǎng)【分析】設(shè)杯子的高度是，那么筷子的高度是，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)杯子的高度是，那么筷子的高度是，，，．答：杯高，筷子長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．類型九、航海問(wèn)題【解惑】如圖，一輪船從港口出發(fā)以16海里/時(shí)的速度向北偏東方向航行，另一輪船同時(shí)從港口出發(fā)以12海里/時(shí)的速度向南偏東方向航行，航行2小時(shí)后，兩船相距（）

A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．60海里【答案】C【分析】由題意可知，海里，海里，，，再利用勾股定理求出海里，即可得到兩船的距離．【詳解】解：由題意可知，海里，海里，，，，在中，海里，即兩船相距40海里，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，勾股定理，正確理解方位角，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，兩艘輪船和分別從港口出發(fā)，輪船以4海里/時(shí)的速度向東北方向航行，輪船以3海里/時(shí)的速度從港口出發(fā)向東南方向航行，行駛5個(gè)小時(shí)后，兩船的距離為海里．

【答案】25【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程=速度×?xí)r間，得兩條船分別走了20海里，15海里．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【詳解】解：連接如圖，

∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴，在中，（海里），（海里），根據(jù)勾股定理得（海里）．故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理進(jìn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江大慶·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）解放軍某連一、二班進(jìn)行野營(yíng)訓(xùn)練，一班以的速度向北偏東方向行進(jìn)；與此同時(shí)，二班在同一地點(diǎn)以的速度向南偏東方向行進(jìn)，后，兩班相距．【答案】【分析】根據(jù)題意可得兩班訓(xùn)練營(yíng)的方向成角，分別求出2小時(shí)兩個(gè)班行進(jìn)的路程，然后利用勾股定理求得兩班的距離即可．【詳解】解：由題意得：兩班訓(xùn)練營(yíng)的方向成角，兩個(gè)班2小時(shí)行進(jìn)的路程是兩直角邊長(zhǎng)，分別為：，，兩班的距離是直角三角形的斜邊，由勾股定理得：．故兩班相距為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方位角和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握方位角的定義是解題關(guān)鍵．3．（2023春·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，我軍巡邏艇正在處巡邏，突然發(fā)現(xiàn)在南偏東方向距離12海里的處有一艘走私船，以18海里/小時(shí)的速度沿南偏西方向行駛，我軍巡邏艇立刻沿直線追趕，半小時(shí)后在點(diǎn)處將其追上，求我軍巡邏艇的航行速度是多少？

【答案】海里/小時(shí)【分析】先根據(jù)題意結(jié)合方位角的描述求出以及的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，由題意得，，∵，∴，∴，∵巡邏艇沿直線追趕，半小時(shí)后在點(diǎn)處追上走私船，∴海里，在中，海里，海里，∴海里，∴我軍巡邏艇的航行速度是海里/小時(shí)，答：我軍巡邏艇的航行速度是海里/小時(shí)．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意在中利用勾股定理求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，兩艘船同時(shí)從港口出發(fā)，船以40km/h的速度向東航行，船以的速度向北航行，它們離開(kāi)港口后相距多遠(yuǎn)？

【答案】【分析】由題意知：兩條船的航向構(gòu)成了直角．再根據(jù)路程速度時(shí)間，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，兩艘船同時(shí)從港口出發(fā)，船以40km/h的速度向東航行；船以的速度向北航行，∴，它們離開(kāi)港口后，，，∴，故它們離開(kāi)港口后相距．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及方向角問(wèn)題，得出，的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．5．（2023春·重慶巴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在海平面上有A，B，C三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，其中A在C的北偏西方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西方向上，與C的距離是600海里．

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；(2)若在點(diǎn)C處有一燈塔，燈塔的信號(hào)有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時(shí)會(huì)發(fā)射一次信號(hào)，此時(shí)在點(diǎn)B處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點(diǎn)A處航行，輪船航行的速度為每小時(shí)20海里．輪船在駛向A處的過(guò)程中，最多能收到多少次信號(hào)？（信號(hào)傳播的時(shí)間忽略不計(jì)）．【答案】(1)海里(2)最多能收到14次信號(hào)【分析】（1）由題意易得是直角，由勾股定理即可求得點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；（2）過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，在上取點(diǎn)M，N，使得海里，分別求得的長(zhǎng)，可求得此時(shí)輪船過(guò)時(shí)的時(shí)間，從而可求得最多能收到的信號(hào)次數(shù)；【詳解】（1）由題意，得：；∴；∵；∴海里；（2）過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，在上取點(diǎn)M，N，使得海里．

∵；∴；∵；∴；∵；∴；則信號(hào)次數(shù)為（次）．答：