函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(掌握函數(shù)定義、性質(zhì)和圖像)

平面直角坐標(biāo)系

1、定義：平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系,簡(jiǎn)稱為直角坐標(biāo)系

2、各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)特性：

第一象限:(+,+)點(diǎn)P(x,y),則x>0,y>0；

第二象限：(-,+)點(diǎn)P(x,y),貝i」xV0,y>0；

第三象限：(-,-)點(diǎn)P(x,y),則x<0,y<0；

第四象限：(+,-)點(diǎn)P(x,y),則x>0,y<0；

3、坐標(biāo)軸上點(diǎn)坐標(biāo)特性:

x軸上點(diǎn)，縱坐標(biāo)為零；y軸上點(diǎn)，橫坐標(biāo)為零；原點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)?兩坐標(biāo)軸點(diǎn)不屬

于任何象限。

4、點(diǎn)對(duì)稱特性：已知點(diǎn)P(m,n),

關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(m,-n),橫坐標(biāo)相似，縱坐標(biāo)反號(hào)

關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,n)縱坐標(biāo)相似，橫坐標(biāo)反號(hào)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,-n)橫，縱坐標(biāo)都反號(hào)

5、平行于坐標(biāo)軸直線上點(diǎn)坐標(biāo)特性：

平行于x軸直線上任意兩點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等;

平行于y軸直線上任意兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)相等。

6、各象限角平分線上點(diǎn)坐標(biāo)特性：

第一、三象限角平分線上點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等。

第二、四象限角平分線上點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

7、點(diǎn)P（x,y）幾何意義：

點(diǎn)P（x,y）到x軸距離為|y|,

點(diǎn)P（x,y）到y(tǒng)軸距離為|x|o

點(diǎn)P（x,y）到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為yjx2+y2

8、兩點(diǎn)之間距離：

X軸上兩點(diǎn)為A（X[,O）、BN，。）|AB|=\X2I

Y軸上兩點(diǎn)為c（°，y）、D（°，％）|CDI=l必一yl

已知人區(qū),弘）、B（x2,y2）AB|=-"2一吊了+（y?-％）一

9、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知A（M，%）、B（x2,y2）M為AB中點(diǎn)，則：M=（生產(chǎn)，^_±2t）

10、點(diǎn)平移特性：在平面直角坐標(biāo)系中，

將點(diǎn)（x,y）向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到相應(yīng)點(diǎn)（x-a,y）；

將點(diǎn)（x,y）向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到相應(yīng)點(diǎn)（x+a,y）；

將點(diǎn)（x,y）向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到相應(yīng)點(diǎn)（x,y+b）；

將點(diǎn)（x,y）向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到相應(yīng)點(diǎn)（x,y—b）。

注意：對(duì)一種圖形進(jìn)行平移，這個(gè)圖形上所有點(diǎn)坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)變化；反過(guò)來(lái)，從圖

形上點(diǎn)坐標(biāo)加減變化，咱們也可以看出對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行了如何平移。

函數(shù)基本知識(shí)：

基本概念

1、變量：在一種變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值量。

常量：在一種變化過(guò)程中只能取同一數(shù)值量。

2、函數(shù)：普通，在一種變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y,并且對(duì)于x每一種擬定值，y

均有唯一擬定值與其相應(yīng)，那么咱們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x函數(shù)。

*判斷A與否為B函數(shù)，只要看B取值擬定期候，A與否有唯一擬定值與之相應(yīng)

3、定義域和值域：

定義域：普通，一種函數(shù)自變量容許取值范疇，叫做這個(gè)函數(shù)定義域。

值域：普通，一種函數(shù)因變量所得值范疇，叫做這個(gè)函數(shù)值域。

4、擬定函數(shù)定義域辦法：

(1)關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；

(2)關(guān)系式具有分式時(shí)，分式分母不等于零；

(3)關(guān)系式具有二次根式時(shí)，被開(kāi)放方數(shù)不不大于等于零；

(4)關(guān)系式中具有指數(shù)為零式子時(shí)，底數(shù)不等于零；

(5)實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際狀況相符合，使之故意義。

5、函數(shù)圖像

普通來(lái)說(shuō)，對(duì)于一種函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)每對(duì)相應(yīng)值分別作為點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)，那

么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)構(gòu)成圖形，就是這個(gè)函數(shù)圖象.

6、函數(shù)解析式：用具有表達(dá)自變量字母代數(shù)式表達(dá)因變量式子叫做解析式。

7：增減性（單調(diào)性）：增減性又叫單調(diào)性，分兩種狀況：?jiǎn)握{(diào)增、單調(diào)減

單調(diào)增：y隨x增大而增大

單調(diào)減：y隨x增大而減小

口訣：“同增異減”，

注意：?jiǎn)握{(diào)性只合用于單調(diào)區(qū)間，即有一種X只有唯一擬定y與之相應(yīng)時(shí)。

8、描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖形普通環(huán)節(jié)

第一步：列表（表中給出某些自變量值及其相應(yīng)函數(shù)值）；

第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表

格中數(shù)值相應(yīng)各點(diǎn)）；

第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大順序把所描出各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái)）。

9、函數(shù)表達(dá)辦法

列表法：一目了然，使用起來(lái)以便，但列出相應(yīng)值是有限，不易看出自變量與函數(shù)之間

相應(yīng)規(guī)律。

解析式法：簡(jiǎn)樸明了，可以精確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)之間相依關(guān)系，但

有些實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表達(dá)。

圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系。

一次函數(shù)圖象和性質(zhì)

【知識(shí)梳理】

一、一次函數(shù)基本知識(shí)

1、定義：普通地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，kwO）,那么y叫做x一次函數(shù)

當(dāng)b=0時(shí)，丫=1?<+1）即丫=1?,稱為正比倒函數(shù)，因此說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊一次函數(shù).

一次函數(shù)普通形式:y=kx+b（kwO）

闡明：①k不為零②x指數(shù)為1③b取任意實(shí)數(shù)

2、解析式：y=kx+b（k、b是常數(shù)，kHO）

b

3、圖像：一次函數(shù)y=kx+b圖象是通過(guò)（0,b）和（—，0）兩點(diǎn)一條直線,咱們稱它為直線y=kx+b,

k

4,增減性（單調(diào)性）：k>0,y隨x增大而增大（單調(diào)增）；k<0,y隨x而增大而減?。▎握{(diào)減）

5、必過(guò)點(diǎn)：（0,b）和,0）：理由如下：y=kx+b中，

k

⑴當(dāng)x=o,時(shí)，y=

因此，該函數(shù)通過(guò)（，）點(diǎn)

⑵當(dāng)y=o,時(shí)，x=

因此，該函數(shù)通過(guò)（，）點(diǎn)

因此，一次函數(shù)y=圖象是必通過(guò)（-2，0）和（0,b）兩點(diǎn)一條直線注：

k

兩點(diǎn)擬定一條直線。畫(huà)圖時(shí)，可通過(guò)這兩點(diǎn)來(lái)擬定直線。

6、一次函數(shù)圖像畫(huà)法：兩點(diǎn)法

①計(jì)算必過(guò)點(diǎn)（0,b）和,0）

k

②描點(diǎn)（有小到大順序）

③連線（從左到右光滑直線）

7、增減性：k>0,y隨x增大而增大；k<0,y隨x增大而減小.

8、傾斜度（只與k有關(guān)）：山越大，圖象越接近于y軸；越小，圖象越接近于x軸.

K的符號(hào)」k>0>k<Op

Yf/y=5x~V=-5x”\/

大致圖逐

（舉例：

y=-x^

y=5x與y=x；

y=-5x與r

y=-x；）—

Ik|越大，圖象越接近于y軸；2

項(xiàng)斜度Ik|越小，圉靠越接近于X軸.2

9、截點(diǎn)（與b關(guān)于）：（直線與y軸交點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)距離叫做截距）

①當(dāng)b>0時(shí)直線與y軸交于原點(diǎn)上方（即y軸正半軸）；

②當(dāng)b<0時(shí)，直線與y軸交于原點(diǎn)下方。（即y軸負(fù)半軸）

10、圖像上下平移（只與b有關(guān)）：直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移⑹個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx圖象向上平移b個(gè)單位；口訣“正上”

當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx圖象向下平移b個(gè)單位.口訣“負(fù)下”

例如：y=2x+3,將直線y=2x圖象向上平移3個(gè)單位

y=2x-3,將直線y=2x圖象向下平移3個(gè)單位

練習(xí)：y=5x-6,將直線y=5x圖象向下平移6個(gè)單位

注：一次函數(shù)丫=1?+1>圖像平移，只與b關(guān)于，將丫=底圖像平移，平移方向：b正上移，

b負(fù)下移

通過(guò)第二、四象限

12、兩直線之間位置關(guān)系（平行或相交）：若直線朵+44：y^k2x+b2

①平行：當(dāng)匕=七時(shí)，/J%;

ry=k\+bl

②相交：將兩直線方程聯(lián)立成一種方程組，\=k2+h2,解得成果，即為交點(diǎn)。

13、二元一次方程組與一次函數(shù)關(guān)系：兩元一次函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)即為所相應(yīng)方程組解。

14、應(yīng)用：要點(diǎn)是（1）會(huì)通過(guò)圖象得信息；（2）能依照題目中所給信息寫(xiě)出表達(dá)式。

15、【思想辦法】數(shù)形結(jié)合。鞏固練習(xí)：試試畫(huà)出丫=*,y=x+l,y=-x,y=-x+l圖像

反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)

【知識(shí)梳理】

一、反比例函數(shù)基本知識(shí)

1、定義：普通地，形如），=人（%為常數(shù)，…）函數(shù)稱為反比例函數(shù)。

X

y=人還可以寫(xiě)成y=

X

k

2、解析式：y=-（人為常數(shù)，）

x

注：反比例函數(shù)解析式特性：

①等號(hào)左邊是函數(shù)y,等號(hào)右邊是一種分式。分子是不為零常數(shù)Z（也叫做比例系數(shù)女），

分母中具有自變量了,且指數(shù)為1.

②比例系數(shù)Zh0

③自變量x取值為一切非零實(shí)數(shù)。（反比例函數(shù)故意義條件：分母壬0）

④函數(shù)y取值是一切非零實(shí)數(shù)。

3、增減性（單調(diào)性）：k>0,y隨x增大而減?。▎握{(diào)減）；k〈0,y隨X增大而增大（單調(diào)增）

4、反比例函數(shù)圖象：雙曲線

（1）圖像畫(huà)法：描點(diǎn)法

①列表（應(yīng)以0為中心，沿0兩邊分別取三對(duì)或以上互為相反數(shù)）

②描點(diǎn)（有小到大順序）

③連線（從左到右光滑曲線）

'⑴是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)

（2）對(duì)稱性：<

（2）是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線y=尤和y=-x

k

（3）反比例函數(shù)>=芻（%為常數(shù)，ZHO）中自變量XW（）,函數(shù)值y70,因此雙曲線是丕

x

通過(guò)原點(diǎn),斷開(kāi)兩個(gè)分支（稱為左、右支），延伸某些逐漸接近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。

k>0時(shí)兩支曲線分別位于一、三象限且每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小

k<0時(shí)兩支曲線分別位于二、四象限且每一象限內(nèi)y隨X的增大而增大

（4）比例系數(shù)*幾何含義（右圖）：反比例函數(shù)y='（k/））中比例系數(shù)k

X

k

幾何意義，即過(guò)雙曲線y=—（k，0）上任意一點(diǎn)P作x軸、y軸垂線，設(shè)垂足分

x

別為A、B,則所得矩形OAPB面積（陰影面積）為—\k\—.

（由y=A變形可得：k=xy由于面積為正數(shù)，因此k取絕對(duì)值。）

x

5、反比例函數(shù)性質(zhì)如下表:

k符號(hào)k>0k<0

圖像大體位置Jr

十nr

通過(guò)象限第_________象限第________象限

增減性（單調(diào)性：在每一象限內(nèi)，從左到右看，在每一象限內(nèi)，從左到右看

單調(diào)區(qū)間內(nèi)討論）y隨x增大而減?。粂隨x增大而增大

（一8,0）U（0,+8）區(qū)間（-8,0）U（0,+8）區(qū)間

內(nèi)，單調(diào)減內(nèi)，單調(diào)增

圖像對(duì)稱性中心稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)；

同步，也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線y=x和直線y=-x

6、【思想辦法】：數(shù)形結(jié)合

（1）應(yīng)用在「=￡上

S

q

7、應(yīng)用（2）應(yīng)用在〃上其要點(diǎn)是會(huì)進(jìn)行“數(shù)形結(jié)合”來(lái)解決問(wèn)題

t

（3）其它

二次函數(shù)圖象和性質(zhì)

【知識(shí)梳理】

一、二次函數(shù)基本知識(shí)：

1,定義：普通地，形如>=以2+笈+，（a,6,c是常數(shù)，4/0）函數(shù)，叫做二次函數(shù)。

這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)“W0,而6,c可覺(jué)得零.

二次函數(shù)定義域（x取值范疇）：全體實(shí)數(shù)，R.

2.解析式（表達(dá)式）：普通式：y=ax2+bx+c（awO,a,c是常數(shù)）：

闡明：（1）等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x二次式，x最高次數(shù)是2.

⑵a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，/?是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+6x+c,經(jīng)過(guò)配方變形為頂點(diǎn)式：y=a（x+^￥+竺七Q,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一2,絲七Q）

2a4a2a4a

補(bǔ)充：⑴二次函數(shù)解析式表達(dá)辦法（三種）

①普通式：y=ax2+bx+c（a,b>c為常數(shù)，axO）；

2

②頂點(diǎn)式：y=a（X-h）+k（a,h,k為常數(shù),awO）；［拋物線頂點(diǎn)P（h,k）］

對(duì)于二次函數(shù)y=ar2+bx+c,經(jīng)過(guò)配方變形頂點(diǎn)式：y=a（x+2>+絲土心:其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一2,處土）

2a4。2a4a

③兩根式（交點(diǎn)式）：y=a（x-x}\x-x2）（〃/0,x1,當(dāng)是拋物線與工軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)）?

［僅限于與X釉有兩個(gè)交點(diǎn)A（X1,0）和B（x2,0）拋物線，即△與0］

其中玉=士亞三E,x,=-/2二，"二4竺（即一元二次方程求根公式）

2a2a

注：在3種形式互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

14ac-b2-b+{b2-4ac-b-\lb2-4ac

K=--------X,=----------------,X、2----------------

4al2。la

注意：任何二次函數(shù)解析式都可以化成普通式或頂點(diǎn)式，但并非所有二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋

物線與x軸有交點(diǎn)，即。2一4"20時(shí)，拋物線解析式才可以用交點(diǎn)式表達(dá).二次函數(shù)解析式這三種

形式可以互化.

（2）二次函數(shù)y=a（x左與）,=方2+陵+0比較

從解析式上看，了=々（％-〃）2+攵與），=加+云+°是兩種不同表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者,

HU(hY4ac-h2甘Hr7b4ac-b2

g|Jy=a\x+—+-------,其中〃=-----,k7=--------

*[2a)4a2a4a

3、二次函數(shù)解析式擬定:

依照已知條件擬定二次函數(shù)解析式，普通運(yùn)用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式必要依照

題目特點(diǎn)，選取恰當(dāng)形式，才干使解題簡(jiǎn)便.普通來(lái)說(shuō)，有如下幾種狀況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)坐標(biāo)，普通選用普通式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，普通選用頂點(diǎn)式；

3.已知拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)，普通選用兩根式；

4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相似兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.

4、二次函數(shù)>=以2+法+'圖象畫(huà)法

五點(diǎn)繪圖法：

①運(yùn)用配辦法將二次函數(shù)y=0^+6x+c化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=o（x-/i）2+k,擬定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及

頂點(diǎn)坐標(biāo)；

②②然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖.普通咱們選用五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸交點(diǎn)（0,c）、以

及（0,c）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)（2/?,c）、與x軸交點(diǎn)（%,。），（x2,0）（若與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩

組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)）.

畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住如下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸交點(diǎn)，與y軸交點(diǎn).

4、二次函數(shù)圖像：拋物線

（1）對(duì)稱性：拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸：直線x=-2,對(duì)稱軸與拋物線唯一交點(diǎn)為拋物

2Q

線頂點(diǎn)Po特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線對(duì)稱軸是V軸（即直線x=0）

（2）拋物軸二和販聯(lián)坐標(biāo)為P（一看”?）

當(dāng)-2=0時(shí),P在V軸上;當(dāng)△=b2-4ac=0時(shí),P在x軸上。

5、a.b.c與拋物線關(guān)系（〃是二次項(xiàng)系數(shù)，6是一次項(xiàng)系數(shù),

（1）a決定拋物線開(kāi)口方向和大小：

開(kāi)口方向：a為正（a>0）,開(kāi)口朝上，有最小值;

a為負(fù)（a<0）,開(kāi)口朝下，有最大值;

開(kāi)口大?。篴絕對(duì)值越大,拋物線開(kāi)口越小。

h

（2）a、b共同決定對(duì)稱軸：直線x=-一

2a

b

。人符號(hào)決定對(duì)稱軸》=-二位置，分兩種狀況：

2a

①當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；

②當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即abVO）,對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。

概括說(shuō)就是“左同右異”

（3）常數(shù)項(xiàng)C決定拋物線與V軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于（0,c）,分三種狀況：

⑴當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為正;

⑵當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為0；

⑶當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與），軸交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為負(fù).

總之，只要“，兒。都擬定，那么這條拋物線就是唯一擬定.

6、拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

A=從一4公>0時(shí)，拋物線與X軸有2個(gè)交點(diǎn)。A（Xi,0）和B（X2,0）

4=〃一4碇=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。頂點(diǎn)P（-2,0）

2a

△=從一4ac<0時(shí)，拋物線與X軸沒(méi)有交點(diǎn)。

1

特別地，二次函數(shù)（如下稱函數(shù)）y=ax+bx+c

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x一元二次方程（如下稱方程），即以2+加+'=0

此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程根。

8、二次函數(shù)丫=」》+21+%二2圖像和性質(zhì)

\2a）4。

a>0a<0

i/

\ik

圖象

0/

二70\

開(kāi)口

對(duì)稱軸

頂點(diǎn)坐標(biāo)

當(dāng)*=______時(shí)，當(dāng)x=______時(shí)，