專題03三角形中的導(dǎo)角模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎(chǔ)型）條件：如圖1，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D例1．（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)（填“增加”或“減少”）度．例2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．例3．（2023·山東德州·八年級校考階段練習(xí)）如圖1，已知線段相交于點(diǎn)O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點(diǎn)P，且與分別相交于點(diǎn)．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關(guān)系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段，交于點(diǎn)，連接，，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，平分，為上任意一點(diǎn)，在，上截取，連接，．求證：；(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點(diǎn)的一動點(diǎn)，求證：．例5．（2023春·江蘇蘇州·七年級校聯(lián)考期中）閱讀：基本圖形通常是指能夠反映一個或幾個定理，或者能夠反映圖形基本規(guī)律的幾何圖形．這些圖形以基本概念、基本事實(shí)、定理、常用的數(shù)學(xué)結(jié)論和基本規(guī)律為基礎(chǔ)，圖形簡單又具有代表性．在幾何問題中，熟練把握和靈活構(gòu)造基本圖形，能更好地幫助我們解決問題．我們將圖1①所示的圖形稱為“8字形”．在這個“8字形”中，存在結(jié)論．我們將圖1②所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”．在這個“飛鏢形”中，存在結(jié)論．

(1)直接利用上述基本圖形中的任意一種，解決問題：如圖2，、分別平分、，說明：．(2)將圖2看作基本圖形，直接利用（1）中的結(jié)論解決下列問題：①如圖3，直線平分的外角，平分的外角，若，，求的度數(shù)．②在圖4中，平分的外角，平分的外角，猜想與、的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．③在圖5中，平分，平分的外角，猜想與、的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．

模型2、“A”字模型結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為．例2．（2023·綿陽市·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（

）．A． B． C． D．例3．（2022·福建泉州·九年級校考期中）如圖，，若，那么（

）A． B． C． D．例4．（2023秋·廣西·八年級專題練習(xí)）如圖所示，的兩邊上各有一點(diǎn)，連接，求證．例5．（2023·廣東八年級課時練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．例6．（2023秋·河南信陽·八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖1，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則__________；

（2）如圖2，在中，，剪去后成為四邊形，則__________；（3）如圖2，根據(jù)（1）和（2）的求解過程，請歸納與的關(guān)系是______________；（4）若沒有剪去，而是將折成如圖3的形狀，試探究與的關(guān)系，并說明理由．例7．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF=∠A+∠B+∠C；應(yīng)用上面模型解決問題：(1)如圖（2），“五角星”形，求？分析：圖中是“A”型圖，于是，所以=

；(2)如圖（3），“七角星”形，求；(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得=；模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ?。圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023·山西呂梁·聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖：和是兩塊直角三角尺，兩直角三角尺的斜邊AB、DE在同一直線上，其中，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例2．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中，，，若相交于點(diǎn)E，則的大小為（

）A． B． C． D．例3.（2023·陜西咸陽·校考一模）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)C在的延長線上，點(diǎn)C、F分別為直角頂點(diǎn)，且，，若，則的度數(shù)是（）

A．15° B．20° C．25° D．30°例3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)在另一個三角板的斜邊上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．例4．（2023春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，一副直角三角板和如圖擺放，，，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分，正確的有．（填序號）

例5．（2023春·湖南衡陽·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖1擺放，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)落在射線上時停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒．

(1)當(dāng)______秒時，；當(dāng)______秒時，；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點(diǎn)記為，如圖2，若有兩個內(nèi)角相等，求的值；(3)當(dāng)邊與邊、分別交于點(diǎn)、時，如圖3，連接，設(shè)，，，試問是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣東江門·八年級校考期中）如下圖，的度數(shù)為（

）A．540° B．500° C．460° D．420°2．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則等于（）A． B． C． D．3．（2023·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，則∠ABD+∠ACD的值為(

)A．60° B．50° C．40° D．30°4．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，若沿圖中虛線剪去，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．5．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，五條線段首尾相連形成的圖形中，，則等于（

）

A． B． C． D．6．（2023秋·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．7．（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）一副三角板如圖所示放置，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．8．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙壭？计谀⒁粋€直角三角板與一個直尺按如圖所示的方式擺放，若，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．9（2022春·廣東揭陽·八年級?？计谀┨剿鳉w納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2=°．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2=°．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是．10．（2022·安徽·八年級校考期中）如圖，若，則．

11．（2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，．12．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角板與三角板擺放在一起；如圖，其中，，．固定三角板，將三角板繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角．

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為度時，；當(dāng)為度時，．(2)當(dāng)時，連接，利用圖探究值的大小變化情況，并說明理由．13．（2023春·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期中）小明善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，從中找到數(shù)學(xué)研究的樂趣．他用一副三角板拼成了如下兩幅圖．(1)圖1中，的度數(shù)是______．(2)①求圖1中的度數(shù)；②圖2中，，求的度數(shù)．

14．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，有一塊直角三角板足夠大，其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過、．(1)若，則______，______，______(2)若，則______．（寫出求解過程）(3)請你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．15．（2023·福建南平·八年級統(tǒng)考期末）結(jié)論：直角三角形中，的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.如圖①，我們用幾何語言表示如下：∵在中，，，∴.你可以利用以上這一結(jié)論解決以下問題：如圖②，在中，，，，，（1）求的面積；（2）如圖③，射線平分，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著射線的方向運(yùn)動，過點(diǎn)分別作于，于，于.設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒，當(dāng)時，求的值.16．（2022·廣東云浮·九年級?？计谥校┌岩桓比前灏慈鐖D甲放置，其中，，，斜邊，．把三角板繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到（如圖乙）．這時與相交于點(diǎn)、與相交于點(diǎn)．(1)寫出度；(2)線段的長為；(3)若把繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得，這時點(diǎn)在的內(nèi)部、外部、還是邊上？說明理由．17．（2022·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，AB、CD相交于點(diǎn)O，∠A＝48°，∠D＝46°．(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度數(shù)；(2)若直線BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直線BF于M，求∠BMC的度數(shù)．

18．（2023·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期中）問題情景：如圖①，有一塊直角三角板放置在上（點(diǎn)在內(nèi)），三角板的兩條直角邊、恰好分別經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．探究與是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系．(1)特殊探究：若，則____度，____度，____度；(2)類比探索：請?zhí)骄颗c的關(guān)系；(3)類比延伸：如圖②，改變直角三角板的位置，使點(diǎn)在外，三角板的兩條直角邊、仍然分別經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請直接寫出你的結(jié)論，并說明理由．19．（2023·安徽淮北·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，直線分別交的邊、和的延長線于點(diǎn)D、E、F．(1)若，則．(2)、、有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．20．（2023·山東青島·八年級校聯(lián)考期末）閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P．則∠A＝（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5