2021年中考數(shù)學(xué)《圓綜合壓軸題》模擬訓(xùn)練題集(一)

1.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=30°,AB=10,以A8為直徑的。。交8c于點(diǎn)Q,交AC于點(diǎn)E,連接

DE,過(guò)點(diǎn)B作BP平行于。E,交0。于點(diǎn)P,連接CP、OP.

(1)求證：點(diǎn)。為BC的中點(diǎn);

(2)求AP的長(zhǎng)度;

(3)求證：CP是。。的切線(xiàn).

BDC

2.已知，四邊形ABC。中，E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，DE=EC,以AE為直徑的。0與邊CD相切于點(diǎn)。，點(diǎn)B在

OO上，連接O8

(1)求證：DE=OE；

(2)弟CD〃AB,求證：BC是。。的切線(xiàn)：

(3)在(2)的條件下，求證：四邊形A8CQ是菱形.

B

3.如圖，48是。。的直徑，C、G是。。上兩點(diǎn)，且C是弧AG的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)CD，8G的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。,

交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接BC,交0D于點(diǎn)、F.

(1)求證：CO是的切線(xiàn)；

(2)若巫?=2,求證：AE=AO；

FD3

(3)連接AO,在(2)的條件下，若CZ)=2近，求AO的長(zhǎng).

4.如圖，已知AB是。。的切線(xiàn)，BC為。。的直徑，AC與00交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，PFLBC交BC于

點(diǎn)G,交4C于點(diǎn)尸

(1)求證：ED是。。的切線(xiàn);

(2)求證：XCFPSACPD；

(3)如果CF=1,CP=2,sinA=A,求。到力C的距離.

5.如圖1,EL40BC的頂點(diǎn)A、B、C在上，點(diǎn)。、E分別在8。、40的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且。。=208,0E=20A,

連接OE.

(1)求NA08的度數(shù)；

(2)求證：OE是。0的切線(xiàn)；

(3)如圖2,設(shè)直線(xiàn)力E與。。相切于點(diǎn)尸，連接A。、BF,判斷線(xiàn)段A。與8尸的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.

6.如圖，AB是。。的直徑，。是標(biāo)的中點(diǎn)，OE_LAB于E,交CB于點(diǎn)F.過(guò)點(diǎn)。作BC的平行線(xiàn)。M,連接AC

并延長(zhǎng)與0M相交于點(diǎn)G.

(1)求證：G￡＞是。。的切線(xiàn)；

(2)求證：GZ)2=GCMG；

(3)若CD=6,AO=8,求cos/ABC的值.

7.如圖1,是4ABC的外接圓，AB是直徑，ODISC,0。交。0于點(diǎn)E,且NCBO=NCOD

(1)求證：8。是。。的切線(xiàn)：

(2)若點(diǎn)E為線(xiàn)段。。的中點(diǎn)，判斷以0、A、C、E為頂點(diǎn)的四邊形的形狀并證明;

(3)如圖2,作CFLAB于點(diǎn)F,連接A。交CF于點(diǎn)G,求段的值.

FC

8.如圖1,0。的直徑AB=12,尸是弦BC上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B,C不重合)，/4BC=30°,過(guò)點(diǎn)尸作尸D_L0P交

Q0于點(diǎn)D.

(1)如圖2,當(dāng)PO〃AB時(shí)，求PZ)的長(zhǎng)；

(2)如圖3,當(dāng)前=眾時(shí)，延長(zhǎng)A8至點(diǎn)E,使BE=2AB,連接。￡

2

①求證：DE是。0的切線(xiàn);

②求PC的長(zhǎng).

9.如圖，四邊形ABC。為矩形，E為BC邊中點(diǎn)，以AO為直徑的與AE交于點(diǎn)發(fā)

(1)求證：四邊形AOCE為平行四邊形；

(2)求證：CF與。。相切；

(3)若尸為AE的中點(diǎn)，求乙4。尸的大小.

10.已知AM是。。直徑，弦垂足為點(diǎn)N,弦CO交AM于點(diǎn)E,連按AB和BE.

(1)如圖1,若CDLAB,垂足為點(diǎn)F,求證：NBED=2NBAM；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接3D,若NABE=/BDC,求證：AE=2CN；

(3)如圖3,AB=CD,BE：CD=4：7,AE=11,求EM的長(zhǎng).

11.。0是aABC的外接圓，AB是直徑，過(guò)BC的中點(diǎn)P作OO的直徑PG交弦8c于點(diǎn)。，連接AG、CP、PB.

(1)如圖I.若。是線(xiàn)段0P的中點(diǎn)，求N84C的度數(shù);

(2)如圖2,在。G上取一點(diǎn)K,使DK=DP,連接CK,求證：四邊形AGKC是平行四邊形;

(3)如圖3,取CP的中點(diǎn)E,連接距并延長(zhǎng)ED交A3于點(diǎn)H,連接PH,求證：PH±AB.

12.如圖，四邊形ABC。為菱形，對(duì)角線(xiàn)AC,BO相交于點(diǎn)E,尸是邊BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接EF,以EF為直徑

作。0，交。C于。，G兩點(diǎn)，A。分別于EF,GF交于/,，兩點(diǎn).

（1）求/PDE的度數(shù);

（2）試判斷四邊形以C。的形狀，并證明你的結(jié)論;

（3）當(dāng)G為線(xiàn)段DC的中點(diǎn)時(shí),

①求證：FD=FI；

②設(shè)AC=2,〃，BD=2n,求OO的面積與菱形ABC。的面積之比.

AB

13.如圖，四邊形ABC。的頂點(diǎn)在。。上，8。是。。的直徑，延長(zhǎng)C。、8A交于點(diǎn)E,連接AC、B。交于點(diǎn)尸,

作A”_LCE,垂足為點(diǎn)，，已知NAOE=/AC8.

(1)求證：AH是00的切線(xiàn)；

(2)若08=4,AC=6,求sinNACB的值；

(3)若見(jiàn)=2,求證：CD=DH.

F03

14.如圖，0。與AB,AC分別相切于。，E兩點(diǎn)，AB=AC,A。交。。于點(diǎn)尸，交BC于點(diǎn)G,BC與。0交于點(diǎn)

P，。連接EQ

(1)求證：AG1BC；

(2)若。E平分。凡求證：AAOE是等邊三角形；

(3)在(2)的條件下，若AO=PQ,EQ=2,求8P的長(zhǎng).

15.如圖，在RtZXABC中，/4BC=90°,以AB為直徑作交4c于點(diǎn)。，E是BC的中點(diǎn)，連接

(1)求證：直線(xiàn)QE是。。的切線(xiàn)；

(2)連接0C交DE于點(diǎn)凡若OF=CF,

①判斷以0、E、C、力為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由;

②求tanNAC。的值.

16.如圖，在△ABC中，AB=BC,以BC為直徑作交AB于點(diǎn)E、交AC于點(diǎn)尸，連結(jié)EF、BF、CE,BF與

CE相交于點(diǎn)。，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，連結(jié)0G.

(1)判斷0G與EF的位置關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論(不需證明)；

(2)求證：EF=CF；

(3)若BF=2+2近,0G'FD=S-蛻，求00的面積.

17.如圖，AB,E。是。。的直徑，點(diǎn)C在ED延長(zhǎng)線(xiàn)上，且/C8O=N處B.點(diǎn)尸在。。上，S.AB1DF.連接

A。并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G.

(1)求證：8c是00的切線(xiàn)；

(2)求證：BD?BC=BE*CD；

(3)若。。的半徑為r,BC=3r,求tan/CDG的值.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為(8,0)、(0,6).動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)0、動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿著04方向、AB方向均以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒)(0<Z

W5).以P為圓心，力長(zhǎng)為半徑的OP與AB、0A的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D,連接CD、QC.

(1)求當(dāng)f為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？

(2)設(shè)△QCQ的面積為S,試求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

(3)若。尸與線(xiàn)段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出r的取值范圍.

19.如圖，四邊形4BC。內(nèi)接于O。，已知直徑AD=4,NABC=120°,乙4cB=45°,連接08交AC于點(diǎn)E.

(1)求AC的長(zhǎng)；

(2)求CE：AE的值；

(3)在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)P,使P8=2BC,試判斷直線(xiàn)以和00的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

20.如圖，在RtzMBC中，/ACB=90°,N84C的平分線(xiàn)40交BC于點(diǎn)0,以。為圓心，0c長(zhǎng)為半徑作。0,

交40所在的直線(xiàn)于力、E兩點(diǎn)(點(diǎn)。在BC左側(cè)).

(1)求證：是。。的切線(xiàn)；

(2)連接C。，若AC=2A。，求tan/。的值；

3

(3)在(2)的條件下，若。。的半徑為5,求4B的長(zhǎng).

21.如圖，點(diǎn)C是等邊△ABO的邊A。上的一點(diǎn)，且乙4C8=75°,是△4BC的外接圓，連結(jié)A。并延長(zhǎng)交

BD于E、交。。于F.

(1)求證：NBAF=NCBD：

(2)過(guò)點(diǎn)C作CG〃AE交8。于點(diǎn)G,求證：CG是。。的切線(xiàn);

(3)在(2)的條件下，當(dāng)AF=2加時(shí)，求理?的值.

22.如圖，平行四邊形ABC。中，AC=BC,過(guò)A、B、C三點(diǎn)的。。與AO相交于點(diǎn)E,連接CE.

(1)證明：AB=CE；

(2)證明：OC與00相切；

(3)若的半徑r=5,AB=8,求sin/ACE的值.

23.如圖，O。是△ABC的外接圓，AB為。。的直徑，過(guò)點(diǎn)C作/BC￡)=N8AC交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)0

作直徑E/〃BC,交AC于點(diǎn)G.

(1)求證：C。是。。的切線(xiàn)；

(2)若。。的半徑為2,ZBCD=30°；

①連接DE,求證：四邊形ACDE是菱形；

②當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段AD上的一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求PF+PG的最小值.

24.如圖，是。。的直徑，弦CC_L48,垂足為H,連結(jié)4C,過(guò)BD上一點(diǎn)E作EG〃AC交CC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,

連結(jié)AE交C￡＞于點(diǎn)F,且EG=FG,連結(jié)CE.

(1)求證：AECFs4GCE；

(2)求證：EG是。0的切線(xiàn)：

(3)延長(zhǎng)AB交GE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M,若tan/G=3,AH=3,求EM的值.

4

M

25.如圖，線(xiàn)段AB是。。的直徑，C、。是半圓的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與AO的延長(zhǎng)線(xiàn)垂直，垂足為點(diǎn)E,與

的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)尸，連接。E,交AC于點(diǎn)G.

(1)求證：FC是。。的切線(xiàn)；

(2)連接。C、CO,判斷四邊形ADCO的形狀，并證明；

(3)求0G與GE的比值.

26.如圖，AB是的直徑，D、E為。0上位于A8異側(cè)的兩點(diǎn)，連接8。并延長(zhǎng)至點(diǎn)C,使得CD=BD,連接

AC交。。于點(diǎn)尸，連接AE、DE、DF.

(1)證明：NE=NC；

(2)若NE=55°,求尸的度數(shù)；

(3)設(shè)。上交A3于點(diǎn)G,若DF=4,cosB=-1,E是AB的中點(diǎn)，求EG?E￡＞的值.

E

27.如圖，48為O。的直徑，AB=4,尸為A8上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)「作。。的弦CD,設(shè)NBCO=nz/ACO.

(1)已知」=_2_,求，〃的值，及/BCD、NACO的度數(shù)各是多少？

mm+2

(2)當(dāng)星=2璋時(shí)，是否存在正實(shí)數(shù)山，使弦C。最短？如果存在，求出根的值，如果不存在，說(shuō)明理由;

PB2+73

(3)在(1)的條件下，且空=工，求弦CO的長(zhǎng).

PB2

28.如圖，在。。中，直徑AB_LC￡>,垂足為E,點(diǎn)M在0C上，AM的延長(zhǎng)線(xiàn)交。。于點(diǎn)G,交過(guò)C的直線(xiàn)于F,

Z1=Z2,連結(jié)CB與OG交于點(diǎn)M

(1)求證：CF是。。的切線(xiàn)；

(2)求證：叢ACMs2DCN；

(3)若點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，。。的半徑為4,cosNBOC=工，求8N的長(zhǎng).

29.如圖1,AB為OO的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，C。平分NAC8交于點(diǎn)3,交AB于點(diǎn)E.

(1)求證：△AB。為等腰直角三角形；

(2)如圖2,繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到。E',連接3E',證明：BE'為。。的切線(xiàn);

(3)如圖3,點(diǎn)尸為弧80的中點(diǎn)，連接AF,交BD于點(diǎn)、G,若。尸=1,求AG的長(zhǎng).

DDD

圖1圖2圖3

30.如圖，△BCO內(nèi)接于直徑AB經(jīng)過(guò)弦CA的中點(diǎn)M,AE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接AC,ZEAC^ZABD

=30°.

(1)求證：△BCD是等邊三角形；

(2)求證：AE是。。的切線(xiàn)；

(3)若CE=2,求。。的半徑.

E

D

31.如圖，四邊形ABC。為。。的內(nèi)接四邊形，且對(duì)角線(xiàn)AC為直徑，AD=BC,過(guò)點(diǎn)。作。GJ_AC,垂足為E,

0G分別與AB,。0及C8延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F、G、M.

(1)求證：四邊形ABCZ)為矩形；

(2)若N為MF中點(diǎn),求證：NB是。。的切線(xiàn)；

(3)若尸為GE中點(diǎn)，且力E=6,求。。的半徑.

32.如圖，AB為。。直徑，P點(diǎn)為半徑0A上異于。點(diǎn)和A點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作與直徑4B垂直的弦CD,連接

AD,作0E〃AD交BE于E點(diǎn)、,連接AE、DE、AE交CD于F點(diǎn)、.

(1)求證：QE為。。切線(xiàn)；

(2)若。。的半徑為3,sin/AOP=工，求AD；

3

(3)請(qǐng)猜想PF與")的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

BE

33.如圖，AB為半圓。的直徑，OOJ_AB,與弦8c延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)。，與弦4c交于點(diǎn)E.

(1)求證：△AOES/\QOB；

(2)若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接CF,求證：CF為。。的切線(xiàn);

(3)在(2)的條件下，若CF=3泥，tanA甘，求AB的長(zhǎng).

34.如圖，在RtZ\ABC中，NC=90°,8。為/ABC的平分線(xiàn)，_LB。交AB于點(diǎn)尸，48力尸的外接圓。。與

邊BC相交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)“作AB的垂線(xiàn)交BD于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)4,連結(jié)FN.

(1)求證：AC是00的切線(xiàn)；

(2)若AF=4,tan/N=2,求。。的半徑長(zhǎng)：

3

(3)在(2)的條件下，求MN的長(zhǎng).

D

35.如圖1,四邊形ABC。內(nèi)接于。0,4c為OO的直徑，AC與BD交于點(diǎn)E,且AE=A8,DA=DB.

(1)求證：AB=CB；

(2)如圖2,AABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△FGC,點(diǎn)4經(jīng)過(guò)的路徑為篇，若AC=4,求圖中陰影部分

面積S；

(3)在(2)的條件下，連接FB,求證：FB為。。的切線(xiàn).

36.如圖，A8是。0的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，AZ)與過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)垂直，垂足為點(diǎn)。，直線(xiàn)。C與AB的延長(zhǎng)

線(xiàn)相交于點(diǎn)P,弦CE平分N4CB,交AB點(diǎn)凡連接8E.

(1)求證：AC平分ND4B；

(2)求證：PC=PF；

(3)若tan/ABC=匡，AB=14,求線(xiàn)段PC的長(zhǎng).

3

D

E

37.如圖，直線(xiàn)A8經(jīng)過(guò)。0上的點(diǎn)C,并且OA=OB,CA=CB,。。交直線(xiàn)于E、D,連EC,CD

(1)試猜想直線(xiàn)A8于。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求證：Bd=BD?BE；

(3)若tan/CE￡)=』，。。的半徑為3,求△OAB的面積.

2

ACB

38.如圖，。0中，F(xiàn)G,AC是直徑，AB是弦，F(xiàn)GLAB,垂足為點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q,交

GF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,已知AB=4,。0的半徑為遙.

(1)分別求出線(xiàn)段AP、CB的長(zhǎng)；

(2)如果0E=5,求證：OE是。。的切線(xiàn)；

(3)如果tan/E=2，求DE的長(zhǎng).

2

h

G

39.已知：如圖，△ABC內(nèi)接于。。，AB為直徑，弦CELAB于F,C是AD的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交EC的延長(zhǎng)

線(xiàn)于點(diǎn)G,連結(jié)40,分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q.

(1)求證：AP=CP；

(2)若tan/ABC=q,CF=8,求CQ的長(zhǎng);

(3)求證：(FP+PQ)2=FP，F(xiàn)G.

40.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作圓O,分別交BC于點(diǎn)D,交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作

DHA.AC于點(diǎn)H,連接DE交線(xiàn)段。4于點(diǎn)F.

(1)求證：。”是圓。的切線(xiàn);

(2)若A為￡77的中點(diǎn)，求旦旦的值;

FD

(3)若E4=EF=1,求圓。的半徑.

B'DC

41.如圖，AB是OO的直徑，點(diǎn)C在。。上，點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上運(yùn)動(dòng)，DE1.AB,垂足為E,DE交AC于點(diǎn)G,

。。是。。的切線(xiàn)，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.

(1)求證：ZD=2ZA；

(2)如圖(2),若點(diǎn)E是。A的中點(diǎn)，點(diǎn)”是。E與。。的交點(diǎn)，OH//BC、求證：AOCG是等邊三角形;

(3)如圖(1),若CO=C凡且8尸=1,CF=2,求CG的長(zhǎng).

42.如圖，AB為。0的直徑，直線(xiàn)8切00于點(diǎn)M,BELCD于點(diǎn)E.

(1)求證：NBME=NMAB；

(2)求證：BM?=BE,AB；

(3)若sinNB4M=旦，求線(xiàn)段AM的長(zhǎng).

55

A/

E

43.如圖，OO是△ABC的外接圓，4E平分N8AC交于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)￡>,過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)/〃BC.

(1)判斷直線(xiàn)/與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若NA2C的平分線(xiàn)8F交AO于點(diǎn)F,求證：BE=EF；

(3)在(2)的條件下，若DE=4,DF=3,求AF的長(zhǎng).

44.如圖，A8切。。于點(diǎn)3,AZ)交。。于點(diǎn)C和點(diǎn)￡>,點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，連接OE交8于點(diǎn)F,連接8E交CD

于點(diǎn)G.

(1)求證：AB—AG\

(2)若DG=DE,求證：GB2=GC'GA；

(3)在(2)的條件下,若團(tuán)山=3,EG=J元求O。的半徑.

G

CE

A

45.如圖，在aABC中，4B=AC,以48為直徑作。0,交BC邊于點(diǎn)。，交AC邊于點(diǎn)G,過(guò)。作OO的切線(xiàn)EF,

交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)E.

(1)求證：BD—CD-,

(2)若AE=6,BF=4,求。。的半徑；

(3)在(2)條件下判斷aABC的形狀，