導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中易錯(cuò)易錯(cuò)易錯(cuò)問題的解析

導(dǎo)數(shù)是更新高中新課程的重點(diǎn)內(nèi)容。這是解決問題的重要工具，也是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一。導(dǎo)數(shù)概念是微分方程的核心概念之一，有著豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和廣泛的應(yīng)用。然而，由于許多學(xué)生的理解、考試不詳細(xì)、缺乏研究，許多學(xué)生往往會(huì)犯錯(cuò)誤。作者以個(gè)人教育實(shí)踐為指導(dǎo)，分析了學(xué)生解決問題的錯(cuò)誤和學(xué)習(xí)障礙，并分析了常見的問題。這些問題通常以簡單的方式解決。目的是清晰，幫助學(xué)生擺脫錯(cuò)誤，提高解決問題的質(zhì)量。問題1曲線在某點(diǎn)處的切線與過某點(diǎn)的切線問題曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線是指以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線,若存在,只有一條,其方程為y-y0=f′(x0)(x-x0);而曲線y=f(x)過點(diǎn)P的切線,其切點(diǎn)不一定是點(diǎn)P,且切線也不一定只有一條,此時(shí)無論點(diǎn)P是否在曲線y=f(x)上,一般解法是:先設(shè)切點(diǎn)為Q(x1,f(x1)),切線方程為y-f(x1)=f′(x1)·(x-x1)①,再把點(diǎn)P坐標(biāo)代入方程①解得x1,最后把解得的x1(可能不止一個(gè))代入方程①化簡即得所求的切線方程.例1已知曲線f(x)=13x3+43f(x)=13x3+43,求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程.錯(cuò)解因?yàn)閒′(x)=x2,所以切線的斜率k=f′(2)=4,所求切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.分析上述解答錯(cuò)在概念不清,誤把曲線在點(diǎn)P處切線當(dāng)成曲線過點(diǎn)P的切線求解.正解設(shè)曲線與過點(diǎn)P的切線相切于點(diǎn)Q(x1,13x31+43),Q(x1,13x13+43),因?yàn)閒′(x)=x2,所以切線的斜率k=f′(x1)=x2112所以切線方程為y?(13x31+43)=x21(x?x1)y-(13x13+43)=x12(x-x1)①.因?yàn)辄c(diǎn)P(2,4)在切線上,所以4?(13x31+43)=x21(2?x1)4-(13x13+43)=x12(2-x1)即(x1-2)2(x1+1)=0所以x1=2或x1=-1.代入①,化簡后得所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.問題2在區(qū)間(a,b)內(nèi)f′(x)>0(或f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的什么條件?眾所周知,在區(qū)間(a,b)內(nèi)f′(x)>0(或f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件,但是否為必要條件常常弄不清楚.事實(shí)上,我們只要舉兩個(gè)反例即可說明不是必要條件.如f(x)=x3在(-∞,+∞)上是增函數(shù),但f′(0)=0,f′(x)=3x2≥0;再如f(x)=-x+sinx在(-∞,+∞)上為減函數(shù),但f′(x)=-1+cosx≤0,且使f′(x)=0的點(diǎn)有無窮多個(gè),即為(2kπ,-2kπ)(k∈Z),由于這些點(diǎn)是離散的,不能構(gòu)成區(qū)間,因此不影響函數(shù)的單調(diào)性.所以在區(qū)間(a,b)內(nèi)f′(x)>0(或f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分不必要條件.一般地,可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增(或減)函數(shù)的充要條件是:對(duì)任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零.特別是在已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí),要注意等號(hào)是否成立.例2已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù),求a的取值范圍.(2004年全國Ⅰ文)錯(cuò)解f′(x)=3ax2+6x-1因?yàn)閒(x)在R上是減函數(shù),所以f′(x)<0對(duì)x∈R恒成立.所以a<0且Δ=36+12a<0.所以a<-3為所求.分析f′(x)<0是f(x)為減函數(shù)的充分不必要條件,本題忽視了f′(x)=0的特殊情形.正解1f′(x)=3ax2+6x-1①當(dāng)f′(x)<0(x∈R)時(shí),f(x)是減函數(shù).3ax2+6x-1<0(x∈R)?a<0且Δ=36+12a<0?a<-3所以,當(dāng)a<-3時(shí),由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是減函數(shù);②當(dāng)a=-3時(shí),f(x)=?3x3+3x2?x+1=?3(x?13)3+89f(x)=-3x3+3x2-x+1=-3(x-13)3+89,由函數(shù)y=x3在R上的單調(diào)性,可知當(dāng)a=-3時(shí),f(x)(x∈R)是減函數(shù);③當(dāng)a>-3時(shí),在R上存在一個(gè)區(qū)間,其上有f′(x)>0,所以,當(dāng)a>-3時(shí),函數(shù)f(x)(x∈R)不是減函數(shù).綜上所求a的取值范圍是(-∞,-3].評(píng)注上述解答是高考命題組提供的標(biāo)準(zhǔn)答案,解答之嚴(yán)謹(jǐn)令人贊嘆.但我們通常解題時(shí)可作如下簡化:正解2f′(x)=3ax2+6x-1,因?yàn)閒(x)在R上是減函數(shù)且f′(x)在R的任意子區(qū)間上不恒為0,所以f′(x)≤0對(duì)x∈R恒成立.所以a<0且Δ=36+12a≤0.所以a≤-3為所求.例3已知函數(shù)f(x)=ax+1x+3f(x)=ax+1x+3在(-3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.錯(cuò)解f′(x)=3a?1(x+3)2f′(x)=3a-1(x+3)2由f(x)在(-3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減知f′(x)≤0在(-3,+∞)內(nèi)恒成立.故a≤13.a≤13.解析f′(x)≤0是f(x)為減函數(shù)的必要不充分條件,f(x)在(-3,+∞)內(nèi)為減函數(shù)的充要條件是f′(x)≤0且f′(x)在(-3,+∞)的任一子區(qū)間內(nèi)不恒為0,但本例當(dāng)a=13a=13時(shí)f′(x)=0在(-3,+∞)內(nèi)恒成立,故不符合題意,應(yīng)舍去.因此本例的正確結(jié)論是a<13.a<13.問題3單調(diào)區(qū)間的記法問題.(1)單調(diào)區(qū)間是開還是閉的問題.如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)且函數(shù)圖像在閉區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的,則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上也是單調(diào)函數(shù),此時(shí)的單調(diào)區(qū)間寫成開區(qū)間和閉區(qū)間都正確.(2)函數(shù)單調(diào)區(qū)間能否合并問題函數(shù)單調(diào)區(qū)間能合并的充要條件是:相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同且在公共點(diǎn)處連續(xù).如y=x3在(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函數(shù)且在x=0處連續(xù),故y=x3的增區(qū)間是(-∞,+∞).若相鄰兩區(qū)間在公共點(diǎn)處不連續(xù)或無公共點(diǎn),則兩區(qū)間不能合并,只能用“逗號(hào)”或“和”字隔開.例4求函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)區(qū)間.錯(cuò)解f′(x)=6x2-12x令f′(x)>0,解得x<0或x>2所以,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,0)∪(2,+∞),減區(qū)間是(0,2).解析上述解答錯(cuò)在單調(diào)增區(qū)間的結(jié)論表達(dá)上.首先,(-∞,0)∪(2,+∞)不是一個(gè)區(qū)間,從而不是單調(diào)增區(qū)間;其次,這兩個(gè)區(qū)間沒有公共點(diǎn),也不能合并;另外,由于f(x)是連續(xù)函數(shù),且f(0)>f(2),故f(x)在(-∞,0]∪[2,+∞)上也不是單調(diào)遞增.正確結(jié)論是:f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,0),(2,+∞)(或?qū)懗?-∞,0],[2,+∞));單調(diào)減區(qū)間是(0,2)(或?qū)懗蒣0,2]).問題4f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x0處有極值的什么條件?許多人認(rèn)為“f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x0處有極值的必要不充分條件”,其實(shí)該結(jié)論并不正確.不充分的例子如:f(x)=x3在x=0處f′(0)=0,但f(x)在R上單調(diào)遞增無極值;不必要的例子如:f(x)=|x|在x=0處有極小值0,但因?yàn)楫?dāng)Δx無限趨近于0時(shí),ΔyΔx=f(0+Δx)?f(0)Δx=|Δx|ΔxΔyΔx=f(0+Δx)-f(0)Δx=|Δx|Δx不無限趨近于一個(gè)常數(shù),所以f′(0)不存在.因此f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x0處有極值的既不充分也不必要條件.教材中由于所涉及的函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù),因此容易使人誤解.事實(shí)上,f′(x0)=0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處有極值的必要不充分條件.當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)時(shí),不能直接斷定在該點(diǎn)無極值,此時(shí)要考察函數(shù)在該點(diǎn)附近的圖像特征,用極值定義來判斷.例5已知,函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,求a,b的值.錯(cuò)解f′(x)=3x2+2ax+b因?yàn)閧f′(1)=0f(1)=10{f′(1)=0f(1)=10所以{2a+b=?31+a+b+a2=10{2a+b=-31+a+b+a2=10所以{a=?3b=3{a=-3b=3或{a=4b=?11{a=4b=-11解析上述解答錯(cuò)在沒有弄清“f′(1)=0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=1處有極值的必要不充分條件”,忽視驗(yàn)證充分性.事實(shí)上,當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f′(x)=3(x-1)2≥0,故f(x)在x=1處不存在極值,應(yīng)舍去;而當(dāng)a=4,b=-11時(shí),f′(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11),易知在x=1處有極小值,符合題意.因此本例正確答案為a=4,b=-11.例6求函數(shù)f(x)=(x?1)2x23f(x)=(x-1)2x23的極小值及取得極小值時(shí)相應(yīng)的x值.錯(cuò)解f′(x)=2(x?1)x23+23(x?1)2x?13=23x?13(x?1)(4x?1)錯(cuò)解f′(x)=2(x-1)x23+23(x-1)2x-13=23x-13(x-1)(4x-1)因?yàn)閤≠0,所以f′(0)不存在,所以f(0)不是f(x)的極小值.f′(x)<0