第一篇離散系統(tǒng)的線性振動(dòng)第4章

多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

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something第4章多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

選擇動(dòng)力自由度的原則:

抓住要點(diǎn)，力求簡(jiǎn)單！本章重點(diǎn)：§4-1雙自由度系統(tǒng)的振動(dòng)最簡(jiǎn)單的多自由度系統(tǒng)研究多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的基礎(chǔ)工程實(shí)例第4章多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力特性，振型的概念！

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圖4.1.1兩個(gè)自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)(a)(b)4.1.1運(yùn)動(dòng)方程的建立平衡條件:矩陣形式:4.1.1運(yùn)動(dòng)方程的建立

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簡(jiǎn)記為:K—?jiǎng)偠染仃?/p>

C—阻尼矩陣，

M—質(zhì)量矩陣，

用粘滯阻尼系統(tǒng)的拉格朗日方程來(lái)建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程:矢量形式:—除阻尼力以外的非保守力。代入式(4.1.4):拉格朗日方程建立運(yùn)動(dòng)方程

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4.1.2雙自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)

運(yùn)動(dòng)方程:一般形式:設(shè)解:齊次方程:非零解條件:4.1.2雙自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)

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頻率方程:特征根—固有頻率:

1—第一階固有頻率：代入齊次方程組(4.1.9)，得

2—第二階固有頻率：代入齊次方程組(4.1.9)，得頻率方程與特征根

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固有模態(tài)：疊加法—求多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)的通用方法令：矩陣形式：

—模態(tài)矩陣或振型矩陣，q(t)—廣義位移矢量

。固有模態(tài)與振型分解

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四個(gè)待定常數(shù)：四個(gè)初始條件：可以定解！圖示雙自由度系統(tǒng)，k1=k2=k3=k,m1=m2=m，求固有頻率和固有振型。圖4.1.1兩個(gè)自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)(a)解：【例4.1.1】例4.1.1

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特征方程：例4.1.1續(xù)

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試求圖示系統(tǒng)的固有頻率與振型。解:【例4.1.2】例4.1.2圖4.1.2半正定的雙自由度系統(tǒng)

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4.1.2雙自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼受迫振動(dòng)

運(yùn)動(dòng)方程:圖示系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程為：

兩個(gè)自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)設(shè)解:4.1.2雙自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼受迫振動(dòng)

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設(shè)系統(tǒng)的固有頻率為ω1和ω

2，系數(shù)矩陣可表示為：解出：頻響函數(shù)：(4.1.32)(4.1.31)頻響函數(shù)

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幅頻響應(yīng)曲線全解=齊次解+特解四個(gè)待定常數(shù)仍由初始條件(4.1.17)確定！反共振點(diǎn)幅頻響應(yīng)曲線

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圖4.1.4動(dòng)力消振器4.1.3雙自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)動(dòng)力消振器動(dòng)力消振器模型無(wú)阻尼情況：穩(wěn)態(tài)解：系數(shù)行列式：動(dòng)力消振原理：4.1.3雙自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)動(dòng)力消振器

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有阻尼情況：穩(wěn)態(tài)解:F1—復(fù)激振力的力幅；X1,X2—響應(yīng)的復(fù)幅值。式(4.1.38)代入(4.1.37)，得動(dòng)力消振器

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振幅：動(dòng)力消振器(續(xù))

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單自由度系統(tǒng)雙自由度系統(tǒng)圖4.1.3單自由度系統(tǒng)的幅頻曲線和動(dòng)力消振器響應(yīng)譜結(jié)論:

起消振作用的頻率范圍很窄，在主系統(tǒng)的固有頻率ω附近。

阻尼的存在，主質(zhì)量的振幅不可能抑制到零，但可控制在一個(gè)較小的范圍；

原系統(tǒng)只有一個(gè)固有頻率和共振峰；現(xiàn)在有兩個(gè)固有頻率和兩個(gè)共振峰；動(dòng)力消振器響應(yīng)譜

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§4-2多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的一般理論4.2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立建立運(yùn)動(dòng)方程的基本方法直接平衡法:適合于自由度較少的集中質(zhì)量離散系統(tǒng)；能量法：

適合任意的多自由度系統(tǒng)；

分布質(zhì)量系統(tǒng)，離散化，有限單元法。N質(zhì)點(diǎn),具有L個(gè)完整約束，n自由度系統(tǒng)

研究對(duì)象：

動(dòng)能：勢(shì)能：拉格朗日廣義函數(shù)：§4-2多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的一般理論

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4.2.2固有頻率和固有振型自由振動(dòng)解：A—振幅矢量x—位移矢量

—無(wú)阻尼固有頻率

—初相角齊次方程組：①無(wú)法確定A中的所有元素，但可確定其相對(duì)比值；②A中的n-1個(gè)未知元素和

,可由方程(4.2.6)唯一確定。特點(diǎn)：特征值問(wèn)題：

為特征值，A為特征矢量。非零解條件—頻率方程：頻率方程關(guān)于

2的n個(gè)根，即系統(tǒng)的固有頻率。4.2.2固有頻率和固有振型

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性質(zhì)1.動(dòng)能T正定，即M正定，且M和K對(duì)稱，則

i2

必為實(shí)根；證明：設(shè)滿足方程(4.2.6)的某個(gè)特征對(duì)

=

2

和A為復(fù)數(shù)，則有M和K為對(duì)稱矩陣以上二式相減:M正定:證畢#性質(zhì)2.若勢(shì)能V也是正定，即K正定，即系統(tǒng)具有足夠的約束，不會(huì)發(fā)生剛體位移

，則

i2

必為正的實(shí)根；證略。特征根性質(zhì)

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設(shè)系統(tǒng)的n個(gè)特征值互異:系數(shù)矩陣奇異，矩陣的秩=n－1。

計(jì)算Ai的具體過(guò)程：

任選n－1個(gè)方程;

取Ai

中某個(gè)元素為單位1，化為n－1階非齊次方程組;

求解得Ai

，作歸一化處理得歸一化振型

i

。n個(gè)特征對(duì)：特征矢量的計(jì)算過(guò)程

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特征矢量的計(jì)算過(guò)程(續(xù))

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例4.2.1計(jì)算例3.4.3中三層框架的固有頻率和固有振型。解:特征方程：例4.2.1

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例4.2.1續(xù)

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例4.2.2求例3.4.4所述系統(tǒng)的固有頻率和振型矩陣。解:特征方程：例4.2.2

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4.2.3主坐標(biāo)

在特定的初始條件下，系統(tǒng)可能以單一的振型振動(dòng)—主振動(dòng)

ji(j=1,2,…

,n)—第i階歸一化振型矢量的各元素自由振動(dòng)一般解:主坐標(biāo):坐標(biāo)變換的矩陣形式:

振型矩陣

：由各歸一化振型矢量

i組成的矩陣；

x為物理坐標(biāo)，X為振型坐標(biāo)－特殊形式的廣義坐標(biāo)。4.2.3主坐標(biāo)

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4.2.4振型矢量的正交性運(yùn)動(dòng)方程的特點(diǎn)：耦合，求解困難，費(fèi)時(shí)！解耦，變成n個(gè)獨(dú)立的單自由度系統(tǒng)。措施：前提：坐標(biāo)變換，基矢量具有正交和完備的性質(zhì)。第i階主振動(dòng):第j階主振動(dòng):4.2.4振型矢量的正交性

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模態(tài)質(zhì)量:模態(tài)剛度:等效模態(tài)單自由度:正交性條件:系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可以用主坐標(biāo)表示!拉格朗日方程主坐標(biāo)表示系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能

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4.2.5振型矢量的歸一化

方法1:令振型矢量中最大的元素等于單位1;方法2:關(guān)于質(zhì)量矩陣歸一化的振型矩陣：4.2.6初始條件

由物理坐標(biāo)的初始條件確定模態(tài)坐標(biāo)的初始條件：4.2.5振型矢量的歸一化

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分量形式：4.2.6初始條件

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4.2.7關(guān)于特征根的重根問(wèn)題

不失一般性，假定某一特征根為二重根：系數(shù)矩陣的秩等于n－2。4.2.7關(guān)于特征根的重根問(wèn)題

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§4-3多自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)瑞雷耗散函數(shù)：拉格朗日方程：運(yùn)動(dòng)方程：方程解耦的關(guān)鍵：阻尼矩陣

C的對(duì)角化！

§4-3多自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)

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4.3.1阻尼的處理

瑞雷阻尼:振型折算阻尼系數(shù):通常利用前兩階振型的阻尼比來(lái)近似計(jì)算

和

1和

2可通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法測(cè)試，也可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)選定!4.3.1阻尼的處理

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高階的阻尼比:瑞雷阻尼擴(kuò)大了高階阻尼，即抑制了高階振型對(duì)響應(yīng)的影響!振型疊加法:模態(tài)截?cái)嗲笙到y(tǒng)的響應(yīng):瑞雷阻尼的振型阻尼比

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4.3.2響應(yīng)的計(jì)算

坐標(biāo)變換—按振型分解:根據(jù)正交性條件(4.2.28)和(4.3.5)以及關(guān)系(4.3.6)運(yùn)動(dòng)方程：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)初始條件求解。4.3.2響應(yīng)的計(jì)算

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初始條件:分量形式:模態(tài)坐標(biāo)Xi的自由振動(dòng)響應(yīng):按振型疊加求響應(yīng):模態(tài)坐標(biāo)方程:模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)

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§4-4多自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)分析4.4.1概述運(yùn)動(dòng)方程：

模態(tài)分析法：

運(yùn)動(dòng)方程解耦；

選用較少的低階模態(tài)—反映響應(yīng)的總體特征

；

直接用振型阻尼比

i計(jì)算響應(yīng)；

只能適用于線性系統(tǒng)；

選取振型的階數(shù)與荷載的頻譜特性有關(guān)。

選用較少的高階模態(tài)—反映響應(yīng)的局部變形特征

；§4-4多自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)分析

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在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)直接對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行積分;

適合于任意系統(tǒng);

具有低通濾波的作用，fc=1/Δt

逐步積分法：

彈性階段，先解耦，再求模態(tài)坐標(biāo)的受迫振動(dòng)響應(yīng)。4.4.2無(wú)阻尼受迫振動(dòng)的響應(yīng)計(jì)算運(yùn)動(dòng)方程：(1)簡(jiǎn)諧荷載引起的振動(dòng)及系統(tǒng)的共振共振法測(cè)固有頻率。4.4.2無(wú)阻尼受迫振動(dòng)的響應(yīng)計(jì)算

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(2)任意荷載引起的振動(dòng)與模態(tài)分析法正交性條件初始條件:模態(tài)坐標(biāo)的無(wú)阻尼受迫振動(dòng)響應(yīng):(2)任意荷載引起的振動(dòng)與模態(tài)分析法

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4.4.3有阻尼受迫振動(dòng)的響應(yīng)計(jì)算(1)簡(jiǎn)諧荷載引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)代入方程，比較系數(shù)

周期荷載:按富里葉展開(kāi);

一般荷載:聯(lián)合運(yùn)用模態(tài)分析法和數(shù)值積分法。

運(yùn)動(dòng)方程：4.4.3有阻尼受迫振動(dòng)的響應(yīng)計(jì)算

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(2)模態(tài)分析法求任意荷載引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)初始條件:(2)模態(tài)分析法求任意荷載引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

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(3)傳遞函數(shù)

復(fù)數(shù)形式解:運(yùn)動(dòng)方程：(4.4.21)單點(diǎn)激振:分量形式:(3)傳遞函數(shù)

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多輸入和多輸出離散系統(tǒng)傳遞函數(shù):單點(diǎn)激振:分量形式:多輸入和多輸出離散系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

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【例4.4.1】四層剪切型框架結(jié)構(gòu)，在結(jié)構(gòu)的頂部作用水平簡(jiǎn)諧荷載：F=cospt，求：

系統(tǒng)的固有頻率，固有振型及各階的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度；(2)用振型分析法分別求當(dāng)p=0,0.5

1和1.3

2時(shí)頂層的水平位移。解：(1)選各層的水平位移為廣義坐標(biāo)例4.4.1

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特征值問(wèn)題:圖4.4.1四層剪切型框架的振型圖(2階)(3階)(4階)(1階)模態(tài)質(zhì)量:

模態(tài)剛度:四層剪切型框架的振型圖

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(2)三個(gè)激振頻率下分別計(jì)算頂層的水平位移響應(yīng)頂層水平位移響應(yīng):N=1N=2N=3N=4p1=01.970×10－32.492×10－32.602×10－32.604×10－3p2=0.5ω12.626×10－33.176×10－33.289×10－33.291×10－3p3=1.3ω3-1.301×10－4-3.630×10－4-5.228×10－4-4.987×10－4表4.4.1不同模態(tài)截?cái)嘞碌捻攲铀轿灰祈憫?yīng)x11/F1

前兩種情況:N=2具有一定精度，N=3具有足夠精度；

后一種情況:振型不能截?cái)?，p3已接近

4。表4.4.1

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4.4.4模態(tài)加速度法運(yùn)動(dòng)方程：偽靜態(tài)響應(yīng)：第二項(xiàng)為加速度的影響——模態(tài)加速度法。4.4.4模態(tài)加速度法

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第r個(gè)自由度的響應(yīng):【例4.4.2】同例4.4.1，用模態(tài)加速度法求解。解：先求K的逆例4.4.2

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N=1N=2N=3N=4p1=02.604×10－32.604×10－32.604×10－32.604×10－3p2=0.5ω13.261×10－33.288×10－33.291×10－33.291×10－3p3=1.3ω35.044×10－4-2.506×10－4-5.206×10－4-4.987×10－4表4.4.2模態(tài)加速度法計(jì)算的頂層水平位移響應(yīng)x11/F1

p1不需要振型疊加；

p2取一階振型就有足夠的精度；

對(duì)于p3，第四階振型仍為主模態(tài)，振型不能截?cái)?。?.4.2

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習(xí)題4.14.1圖示伸臂梁上面有兩個(gè)集中質(zhì)量m1=m2=m，梁的抗彎剛度為EI，不計(jì)梁的質(zhì)量，試建立系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程，并求系統(tǒng)的固有特性。題4.1圖運(yùn)動(dòng)微分方程:

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習(xí)題4.24.2若習(xí)題4.1中的A為固定端，重新計(jì)算習(xí)題4.1。(題4.2圖)(基本結(jié)構(gòu))

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習(xí)題4.34.3圖示三跨連續(xù)梁的跨中各有一個(gè)集中質(zhì)量，梁的抗彎剛度為EI，不計(jì)梁的質(zhì)量，試建立系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程，并利用對(duì)稱性求系統(tǒng)的固有特性。題4.3圖對(duì)稱模態(tài)反對(duì)稱模態(tài)對(duì)稱模態(tài)(對(duì)稱模態(tài)的半結(jié)構(gòu))(反對(duì)稱模態(tài)的半結(jié)構(gòu))運(yùn)用位移法畫(huà)單位荷載彎矩圖.

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習(xí)題4.3(對(duì)稱模態(tài)的半結(jié)構(gòu))

第4章多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

習(xí)題4.3(反對(duì)稱模態(tài)的半結(jié)構(gòu))

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習(xí)題4.44.4求下列情況下系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)：(1)例4.1中分別在m1和m2處施加豎向集中力Fp，然后突然釋放；(2)兩處同時(shí)施加豎向集中力Fp

，然后突然釋放；(3)分別在m1和m2處作用一個(gè)脈沖力使之產(chǎn)生初速度v0。題4.4圖解：已求得柔度矩陣：固有頻率：關(guān)于M歸一化振型矩陣：

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習(xí)題4.4(續(xù))模態(tài)變換:

各模態(tài)坐標(biāo)的響應(yīng):模態(tài)疊加求響應(yīng):

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習(xí)題4.4(續(xù))

(1)在m1處施加豎向集中力FP引起的兩質(zhì)塊的初始變形，初始條件為：轉(zhuǎn)化為模態(tài)坐標(biāo)的初始條件:模態(tài)坐標(biāo)的響應(yīng):系統(tǒng)響應(yīng):

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習(xí)題4.54.5按習(xí)題4.4的三種情況，分別求習(xí)題4.3中三跨連續(xù)梁的自由振動(dòng)響應(yīng)。題4.5圖

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習(xí)題4.64.6質(zhì)點(diǎn)m在空間運(yùn)動(dòng)，固定m的三個(gè)彈簧剛度系數(shù)均為k，各固定點(diǎn)的坐標(biāo)如圖所示，當(dāng)m在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)各彈簧處于自然位置。(1)建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；(2)將質(zhì)點(diǎn)沿坐標(biāo)軸方向各移動(dòng)單位位移然后自由釋放，分別求質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的響應(yīng)。(0.6,0.8,0)(0,0.5,0.5)(0.5,0,0.5)題4.6圖

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習(xí)題4.74.7圖示簡(jiǎn)支梁上有三個(gè)質(zhì)量m1=m2=m3=m置于等分處，梁的抗彎剛度為EI，跨中有彈簧支承，k=EI/

l3，不計(jì)梁的質(zhì)量。(1)求各質(zhì)點(diǎn)自由振動(dòng)的微分方程；(2)求有彈簧支承和無(wú)彈簧支承兩種情況下系統(tǒng)的自振頻率和主振型；(3)在質(zhì)量塊重力作用下的靜平衡位置，突然撤去彈簧，求梁自由振動(dòng)的響應(yīng)。題4.7圖

第4章多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

習(xí)題4.8題4.8圖4.8圖示結(jié)構(gòu)，梁的抗彎剛度為EI，彈簧的剛度系數(shù)k=EI/

l3

，梁在跨受均布動(dòng)荷載q的作用，已知激振頻率p與系統(tǒng)的基頻之比為1/2。(1)建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程；(2)求自振頻率和主振型；(3)求彈簧支座的最大動(dòng)反力；(4)求跨中點(diǎn)的最大動(dòng)彎矩。