第一講定義新運算(又名:自定義)例1:規(guī)定一種運算:a△b=3×a＋4×b,例如,2△5=3×2＋4×5=6＋20=26,5△2=3×5＋4×2=15＋8=23,……,根據(jù)以上規(guī)律計算:①10△2②2△10含義:給定兩個數(shù)a和b,用3乘第一個數(shù)a,用4乘第二個數(shù)b,并將結果相加10△22△10=3×10＋4×2=3×2＋4×10=30＋8=6＋40=38=46“△〞為“關系符號〞，不是運算符號，可以是任意的字符，圖片，實物等計算完畢后比擬一下:定義新運算中,交換律適用嗎?配套練習:1.規(guī)定一種運算:m□n=4×m－3×n,根據(jù)以上規(guī)律計算:5□32.規(guī)定一種運算：a△b=﹙a＋b﹚×﹙a－b﹚，試求：6△4例2：對于兩個數(shù)a和b，規(guī)定：a△b=﹙a+3﹚×﹙b+4﹚，試求：①1△2△3②1△﹙2△3﹚①其運算順序與四那么混合運算順序相同，但要注意，先計算局部是個整體，應加括號，沒算到的局部往下帶。②應該用開展的、動態(tài)的眼光對待a和b.1△2△3=[﹙1+3﹚×﹙2+4﹚]△3﹙a=1,b=2﹚=[4×6]△3=24△3=﹙24+3﹚×﹙3+4﹚=27×7=1891△﹙2△3﹚=1△[﹙2+3﹚×﹙3+4﹚]=1△[5×7]=1△35=﹙1+3﹚×﹙35+4﹚﹙a=1,b=35﹚=4×39=156配套練習:對于兩個數(shù)a和b,規(guī)定a○b=a+5b,試求①1○2○3②1○﹙2○3﹚對于兩個數(shù)a和b,規(guī)定:a□b=﹙a－2﹚×﹙b÷2﹚.試求:3□﹙5□4﹚例3:如果2☆3=2+3+4,5☆2=5+6,4☆5=4+5+6+7+8,......照此規(guī)律,計算①3☆5②8☆3簡析:此題是自找規(guī)律,通過觀察,找到a和b之間的關系是關鍵.①首數(shù)字是第一個數(shù),每組數(shù)是遞增的,個數(shù)的多少受第二個數(shù)的限制,第二數(shù)是幾,加數(shù)就是幾個②加數(shù)較多時可用配對法計算或等差數(shù)列求和公式計算.3☆58☆3=3+4+5+6+7=8+9+10=25=27注:本組計算有技巧,你能發(fā)現(xiàn)嗎?配套練習:如果5▽3=5×6×7,2▽4=2×3×4×5,按此規(guī)律計算:3▽4.如果2▽4=24÷﹙2+4﹚,3▽6=36÷﹙3＋6﹚,按此規(guī)律計算:8▽4例4:規(guī)定一種運算:5C3=﹙5×4×3﹚÷﹙3×2×1﹚=10,6C2=﹙6×5﹚÷﹙2×1﹚=15,10C4=﹙10×9×8×7﹚÷﹙4×3×2×1﹚=210,按此規(guī)律計算:7C4家庭作業(yè)1.規(guī)定一種運算:a□b=3a＋4b,試求:5□62.規(guī)定一種計算:a※b=〔a-1〕×〔b+1〕,試求：3※2※1如果1□5=1+11+111+1111+11111,2□4=2+22+222+2222,3□3=3+33+333,試求:7□4如果5P2=5×4,6P3=6×5×4,7P4=7×6×5×4,按此規(guī)律計算：〔6P3〕÷〔3P3〕規(guī)定一種運算:A◎B=2A+3B,試求:1◎〔2◎3〕本次作業(yè)評分:值得注意的地方:第二講一.闊步課堂例1:用0,2,4,6,5組成三位數(shù)乘兩位數(shù),乘積最大的算式是什么?乘積最小的算式是什么?〔兩數(shù)之差越大,乘積越小;兩數(shù)之差越小,乘積越大.運用這一原理,可以解決問題.其中第一問可以使用畫圖法加以解決,方便快捷〔圖略〕.62×540=3348020×456=9120例2:甲乙兩數(shù)的乘積是60,如果甲數(shù)擴大5倍,乙數(shù)不變,乘積是多少?如果甲數(shù)不變,乙數(shù)擴大5倍,乘積是多少?如果甲乙都擴大5倍,乘積是多少?60×5=30060×5=30060×5×5=1500二.盈虧問題例1:將一堆蘋果分給小朋友,每人分9個,那么少45個;每人分7個,那么多5個.有多少人,共有多少個蘋果?此題屬典型的盈虧問題.多為“盈〞,少為“虧〞.重點在于理解盈與虧之間的關系.可借助線段圖加以理解.蘋果總數(shù)和人數(shù)是不變的,兩次分配中的總數(shù)差異是因為兩次中每人分得的個數(shù)差異造成的.總數(shù)相差多少?借助線段圖直觀顯示(圖略)45+5=50〔個〕每人分配相差多少?9－7=2〔個〕一共有幾人?50÷2=25〔人〕一共有幾個蘋果?9×25－45=180〔個〕或者25×7+5=180〔個〕練習:某校有假設干個學生寄宿學校.假設每一間房住6人,那么多40人;假設每間房住8人,那么最后一間房少2人.有多少住宿學生和多少間房?數(shù)學興趣小組同學做數(shù)學題,如果每人做6道題,那么少4道;如果每人做4道題,那么多10道.有多少個學生和多少道題?例2:同學們?nèi)澊?每船坐4人,那么少一條船;如果每條船坐6人,那么多出4條船.有多少條船和多少人?總數(shù)相差多少?4×1+4×6=28〔人〕每條船坐的人數(shù)相差多少?6-4=2〔人〕有幾條船?28÷2=14〔條〕有多少人?14×4＋4=60〔人〕或者14×6－4×6=60〔人〕練習:學校給新生分配宿舍,如果每間住8人,那么少2間房;如果每間住10人,那么多出2間房.一共有幾間房和多少人?一個學生從家到學校,如果以每分鐘50米的速度行走,就要遲到8分鐘;如果以每分鐘60米的速度行走,就可以提前5分鐘到校.這個學生出發(fā)時離上學時間還有多少分鐘?例3:學校派一些學生搬一批樹苗.如果每人搬6棵,那么差4棵;如果每人搬8棵,那么差18棵.學生有多少人?有多少棵樹?此題屬雙虧問題.重點在于理解總數(shù)相差多少.仍然借助線段圖解決問題，總數(shù)相差多少?18-4=14〔棵〕每人搬的樹苗相差多少?8－6=2〔棵〕有多少人?14÷2=7〔人〕有多少棵樹?7×6—4=38(棵)練習:科學課堂上,老師給同學們發(fā)樹葉.如果每人分6片,少7片;如果每人分8片,那么少17片.有多少片樹葉?一堆蘋果分給同學們.每人4個,多8個;假設每人2個,多18個.學生有多少人?家庭作業(yè)1.用2,3,4,5,6,7這六個數(shù)字組成兩個三位數(shù),它們的最大乘積是多少?發(fā)作業(yè)本,每人3本,多20本;假設每人5本,那么少50本.有多少名學生?同學們旅游住宿.住3人間,少4間房;假設住5人間,那么多出2間房.有多少人?4.小明帶錢買同樣的書.買三本,少10元;買5本,少50元.小明帶了多少元?本次作業(yè)評分:值得注意的地方:第三講一.闊步課堂例1:有兩桶水,如果從第一桶到10升給第二桶,那么兩桶水一樣多.兩桶水一共有120升,這兩桶水各有多少升?此題屬和差問題.可以用線段圖幫助理解.也可用公式解決.①方法一:倒著做.從總重入手,倒推各有多少升:120÷2=60〔升〕第一桶有:60+10=70〔升〕,第二桶有60-10=50〔升〕方法二:畫線段圖.變不平均分為平均分.A方法一:都與第二桶同樣多:120-10×2=100〔升〕100÷2=50〔升〕……第二桶第一桶:120-50=70〔升〕B方法二:都與第一桶同樣多:120+10×2=140〔升〕140÷2=70〔升〕……第一桶第二桶120-70=50〔升〕二.替換法例1.□＋□＋○＋○＋○=200,□=○＋5那么□=〔〕○=〔〕簡析:這是符號化的替換,比擬直觀.有兩種替換方式.替換成□:每個○加5,正好可將○換成□.3個○加5×3=15,現(xiàn)在的總和是200+15=215,正好是5個□的總和,所以每個□是:215÷5=43,因此○是:43-5=38替換成○:每個□減去5,正好可以替換成○.每個□減少5,一共減少:5×2=10,現(xiàn)在總和是200-10=190,這是5個○的總和.每個○為:190÷5=38,每個□為:38+5=43練習:1.◎＋◎＋◎＋□＋□＋□＋□=300,□－◎=5,那么◎是幾?□是幾?甲乙共有600元,甲比乙多10元.甲乙各有多少元?例2:◎＋◎＋□=210,◎÷□=3,那么◎=(),□=()簡析:此題是例1的變式.本質相同.區(qū)別在于替換條件有所變化.因計算條件限制,替換只能以大換小.第二個條件是替換根據(jù).一個◎可換3個□.◎一共可換3×2=6〔個〕□,現(xiàn)在共有6+1=7(個)□,所以每個□為:210÷7=30,每個◎為:30×3=90練習:1.長方形周長80厘米,長比寬長2厘米.求長方形的長與寬各是多少.2.甲乙共有600元.甲的錢是乙的2倍.甲乙各有多少元?做完后思考:此題與和倍問題有什么相通之處?例3:等腰三角形的頂角比比底角大18o.求它的頂角與底角度數(shù).等腰三角形兩腰的夾角是頂角,底與腰的夾角是底角.等腰三角形有兩個相等的底角.全替換成底角:頂角去掉18o,變成底角,三底角之和是:180o-18o=162o,每個底角度數(shù)為:162o÷3=54o,那么頂角為:54o＋18o=72o全替換為頂角:每個底角增加18o,一共增加18o×2=36o.此時三個頂角之和為:180o+36o=216o,每個頂角度數(shù)為:216o÷3=72o,那么底角為:72o-18o=54o練習:1.等腰三角形的底角比頂角大18o,那么底角與頂角各是多少度?2.等腰三角形的底角度數(shù)是頂角的2倍,那么底角與頂角各是多少度?例4:甲乙共有210元.甲的錢比乙的3倍多10元.甲乙各有多少元?從甲的錢數(shù)里去掉多出的10元,此時甲乙共有210-10=200〔元〕,甲的錢正好是乙的3倍.畫線段圖,弄清200元與倍數(shù)間的關系.順利解答:200÷〔3+1〕=50〔元〕,從而甲的錢數(shù)為50×3+10=160〔元〕或者210-50=160〔元〕練習:1.甲有200元,比乙的4倍多40元.乙有多少元?2.甲乙共有300元.甲比乙的3倍少60元.甲乙各有多少元?3.某班共有50人,男生比女生多6人.男女生各有多少人?4.長方形周長是60厘米.長是寬的2倍.長和寬各是多少厘米?5.□＋□＋□＋◎＋◎＋◎＋◎=600,□=◎＋◎,那么◎=〔〕□=〔〕6.甲乙共有900元,甲的錢數(shù)是乙的5倍.甲乙各有多少元?7.甲有400元,乙比甲的2倍少40元.甲乙共多少元?第四講一.闊步課堂例1:三角形的周長是20厘米.那么三角形的最長邊長度小于〔10〕厘米.此題屬于三角形三邊關系的內(nèi)容.重點在于：三角形任意兩邊之和大于第三邊.最短的兩邊之和也大于第三邊,從而最長邊小于20÷2=10〔厘米〕例2:把一根16厘米長的吸管剪成三段〔每段都是整厘米〕,圍成一個三角形,可能圍成多少種不同的三角形?最長邊的范圍:最長邊小于16÷2=8〔厘米〕小于8,且另兩邊都不大于8,那么16=7+7+2=7+6+3=7+5+4=6+6+4=6+5+5,有5種練習：用12根火柴棒拼三角形，可以拼出多少種不同的三角形？〔不許彎折〕二.復原問題例1:一個數(shù)的7倍減去5再加上2,然后除以3得20.求這個數(shù).此題從最后的條件入手解答,也叫“倒著做〞.一般用分步式解答.20×3=6060-2=5858+5=6363÷7=9練習:1.甲,乙,丙三人各有人民幣假設干元.甲給乙125元,乙給丙135元,丙給甲40元.這時三個人的錢數(shù)都是365元.甲,乙,丙三人原來各有多少元?2.一個數(shù)乘9,加上19,再乘2,最后除以2等于109,這個數(shù)是多少?例2:馬大哈做減法計算時,把減數(shù)個位上的1看成7,把被減數(shù)十位上的6看成9,結果得到差為600.正確的差是多少?7-1=6，90-60=30600-30+6=576練習：1.粗心的王蕾在做加法試題時，把個位上的5看成看6，把十位上的8看成了3，結果得到和為123，正確的答案應該是多少？2.小馬虎甲在計算一道三位數(shù)乘兩位數(shù)乘法時，把一個乘數(shù)個位上的5誤寫成3，乘得的積是4485；小馬虎乙卻把這個5錯寫成8，乘得的積是5460.正確的積是多少？3.袋子里一共有假設干個棋子，琪琪每次拿出其中的一半多2個，這樣一共拿了5次，袋中正好沒有棋子了。原來袋中有多少個棋子4..等腰三角形的底角是頂角的4倍，那么三角形的底角是多少度？5..有一筐橘子，每次拿出其中的一半，然后放回1個。這樣連續(xù)拿了次，筐里的橘子還剩下4個?？鹬性瓉碛卸嗌賯€橘子？6..有一個數(shù)，把它乘4后再減去46，所得的差除以3，然后減去10，最后得4.這個數(shù)是多少？7..用13根火柴棒擺三角形，不許彎折，一共可以擺成多少種不同的三角形？第五講一.闊步課堂例1:一個房間,用邊長6分米的方磚來鋪,需要500塊;改用邊長5分米的方磚來鋪,需要多少塊方磚?簡析:此題屬鋪地問題.鋪地并非只沿著邊來鋪,所以不能算周長,要算地面的大小即面積.①原來一塊磚的面積多大?6×6=36〔平方分米〕②房間有多大?36×500=18000〔平方分米〕③現(xiàn)在每塊磚面積多大?5×5=25〔平方分米〕④現(xiàn)在要多少塊磚?18000÷25=720(塊)答:略例2:(文字題)28與14的和除以它們的差,結果是多少?簡析:文字題重點在于計算順序,可以看做是小型化的應用題.可以運用“遇‘和’、‘差’、‘再’,括號自然來〞輔助列式計算.〔28+14〕÷〔28-14〕=42÷14=3配套練習:用邊長4分米的方磚鋪地,需要600塊.改用面積30平方分米的方磚來鋪,需要多少塊?二.數(shù)碼問題例1:一個兩位數(shù),十位數(shù)字是個位數(shù)字的2倍.如果這個數(shù)加上4,所得的兩位數(shù)的兩個數(shù)字相同.求這個兩位數(shù).簡析:此題屬于“簡單枚舉〞,可以把符合第一個條件的兩位數(shù)列舉出來,再根據(jù)后面的條件進行排除.①符合第一個條件的兩位數(shù)有:21,42,63,84②把每個數(shù)加4后進行排查:21+4=25,兩個數(shù)字不相同42+4=46,兩個數(shù)字不相同63+4=67,兩個數(shù)字不相同84+4=88,兩個數(shù)字相同,符合條件.答:這個數(shù)是84.配套練習:一個兩位數(shù),個位數(shù)字是十位數(shù)字的3倍.如果把這個數(shù)加7,那么這兩個數(shù)字就相同.求這個數(shù).例2:一個兩位數(shù),其數(shù)字之和是5,如果這個數(shù)減去9,那么兩個數(shù)字的位置互換.求原來的兩位數(shù).簡析:此題屬于例1的穩(wěn)固與拓展.也采用列舉法進行篩選.①符合第一個條件的兩位數(shù)有:14與41,23與32,50②用后面的條件進行排查:14-9=5,不符合條件41-9=32,不符合條件23-9=14,不符合條件32-9=23,符合條件50-9=41,不符合條件答:這個數(shù)為32.例3:4個連續(xù)自然數(shù)之和為206.那么這4個自然數(shù)各是多少?簡析:此題屬于“尋找規(guī)律,運用規(guī)律〞的內(nèi)容,可以先通過對任意4個連續(xù)自然數(shù)的觀察研究,尋找規(guī)律:等差.再進行計算①以最小數(shù)為基準:后面三個數(shù)分別比第一個數(shù)大1,2,3.所以從總和里去掉1,2,3后,四個數(shù)大小相等.(206-1-2-3)÷4=50,50+1=51,51+1=52,52+1=53.四個數(shù)為50,51,52,53②以最大數(shù)為基準:前面的三個數(shù)分別比第一個數(shù)小1,2,3.因此,只要把總和增加1+2+3=6,四個數(shù)就大小相等了.(206+1+2+3)÷4=53,53-1=52,53-2=51,53-3=50四個數(shù)為50,51,52,53③以中間數(shù)為基準:中間兩個數(shù)的和是:206÷2=103兩數(shù)相差1,屬于“和差問題〞,較大數(shù)為:〔103+1〕÷2=52,較小數(shù)為:〔103-1〕÷2=51.那么其余兩個數(shù)為:52+1=63,51-1=50配套練習:5個連續(xù)自然數(shù)之和為105,求這5個數(shù)各是多少.例4:一本書共有246頁,求從第一頁到最后一頁,編這本書的頁碼一共用了多少個數(shù)字?簡析:此題表達了分類思想,.要做到有條不紊,必須合理分類.①1-9頁,9個數(shù),9個數(shù)字②10-99頁,90個數(shù),共有90×2=180(個)數(shù)字③100-246頁,共147個數(shù),共有147×3=441(個)數(shù)字④一共用了多少個數(shù)字?9+180+441=630(個)數(shù)字答:一共用了630個數(shù)字.家庭作業(yè)1.復習本節(jié)例題2.一本書100頁,從第一頁到最后一頁,頁碼一共用了多少個數(shù)字?3.4個連續(xù)自然數(shù)之和為106,求這四個數(shù)各是多少.4.一個兩位數(shù),其數(shù)字和為10,如果這個數(shù)加上36,那么兩個數(shù)字的位置正好互換.求原來的兩位數(shù).本次作業(yè)評分:值得注意的地方:第六講一.闊步課堂就大家提出的問題講解一至兩個:略二.容斥〔重疊〕問題例1.某班40名同學參加書法或繪畫活動.參加書法的有30人,參加繪畫的有15人.兩種都參加的有多少人?簡析:此題是關于重疊的內(nèi)容.獲得根本解題模式是關鍵.其根本模式是A+B-C=不重復總數(shù).①畫圖(略),用序號標清數(shù)量②解答:30+15-40=5(人)也可以借助圖形分類計算(略)配套練習:五年級有200名學生參加語文、數(shù)學考試,每人至少有一門優(yōu)秀.其中語文優(yōu)秀的有110人,數(shù)學優(yōu)秀的150人.語文和數(shù)學都優(yōu)秀的有多少人?例2:某小學選出10人參加區(qū)級作文和書法比賽.結果人人獲獎.其中3人兩項比賽都獲獎,作文比賽6人獲獎,書法比賽幾人獲獎?簡析:此題是例1的變式題.處理方法根本相同.作文獲獎人數(shù)+數(shù)學獲獎人數(shù)-都獲獎人數(shù)=10人①10+3-6=7〔人〕②想一想:下面的算式有什么道理?10-6+3=7〔人〕10-(6-3)=7〔人〕配套練習:一個班有50人,他們分別訂了《數(shù)學大世界》和《中國少年報》,其中訂閱《數(shù)學大世界》的有30人,兩種都訂閱的有12人,訂閱《中國少年報》的有多少人?例3:某班56人,參加語文競賽的有28人,參加繪畫比賽的有27人,兩項都沒有參加的有25人.那么同時參加比賽的有多少人?簡析:此題增加了不參加比賽的人.既然沒參加,那就從總人數(shù)里去掉這些人,剩下的就是至少參加一項的人了.①參加比賽的有多少人?56-25=31〔人〕②兩項都參加的有多少人?28+27-31=24〔人〕③下面的算式有什么道理?28-(56-25-27)=24〔人〕27-(56-25-28)=24〔人〕答:同時參加比賽的有24人.配套練習:1.一個旅行社有36人,其中會英語的有24人,會法語的有18人,兩樣都不會的有4人.兩樣都會的有多少人?2.四年級參加合唱隊的有40人,參加舞蹈隊的有20人,兩項都參加的有14人,兩項都沒有參加的有10人,這個年級有多少人?例4.光明小學舉辦書法展覽.各個年級均有展品,其中24幅不是五年級的,有22幅不是六年級的,五六年級的參展作品共有10幅,其他年級參展的作品一共有多少幅?簡析這是一道需要簡單推理的學習內(nèi)容.數(shù)量關系比擬復雜,應該列舉:其他年級作品數(shù)+六年級作品數(shù)=24(幅)其他年級作品數(shù)+五年級作品數(shù)=22(幅)五年級作品數(shù)+六年級作品數(shù)=10(幅)其它年級作品數(shù)(22+24-10)÷2=18(幅)答:其他年級參展的作品一共有18幅.做完后思考:下面的解法有什么道理?①(24+10+22)÷2-10=18(幅)②24-(24-22+10)÷2=18(幅)③22-[10-〔24-22〕]÷2=18(幅)注意:“和差問題〞沒學好的同學抓緊復習公式.家庭作業(yè)1.復習前五節(jié)學習內(nèi)容2.六一兒童節(jié)那天,學校的畫廊展出了每個年級的圖畫作品,其中有25幅不是三年級的,有19幅作品不是四年級的,三四年級的參展作品共有10幅.其它年級的參展作品一共有多少幅?3.甲乙共有100元.甲的錢數(shù)是乙的4倍.甲有多少元?4.某年級40名學生參加興趣小組活動情況如下:19人參加了數(shù)學和科技兩個興趣小組,11人兩個小組都沒參加,25人參加數(shù)學小組,有多少人參加科技小組?本次作業(yè)評分:值得注意的地方:第七講一.闊步課堂例1:數(shù)平行四邊形個數(shù)(圖略)簡析:此題屬于技巧性學習內(nèi)容.根本方法是一個個地數(shù),這過于繁瑣,而且容易重復與遺漏.其次是按照“一個一個地數(shù),兩個兩個地數(shù),…〞,根據(jù)個數(shù)分類數(shù),仍然費時費力.因此有必要簡化,用數(shù)學的方法解決問題.本教材使用“橫加×豎加〞的方法計算個數(shù),快捷簡便.配套練習求平行四邊形個個數(shù).圖略例2:一個梯形的上底長度是下底的3倍,如果將梯形的下底延長6厘米,這個梯形就變成了-平行四邊形.這個梯形的上下底各是多少厘米?簡析:此題屬于與操作相關的學習內(nèi)容.重點通過畫圖觀察,找到解題突破口.是差倍問題的具體應用.①畫圖②解答:6÷〔3-1〕=3(厘米)…….下底長度上底長度:3×3=9(厘米)配套練習:梯形的上底長度是下底的4倍.如果下底延長12厘米,就變成了平行四邊形.那么上底長度是多少?二.假定法解題例1:今有雞、兔共居一籠,雞頭和兔頭共35個,雞腳和兔腳共94只.雞和兔各有多少只?簡析:此題屬于中國古代“雞兔同籠〞問題.有畫圖法,列表法,假定法等多種解題方法.用假定法解題需要把兩個量看成同一個量,根據(jù)總量和單一量的變化求解.①qq上流傳的方法:假定雞和兔一起跳舞,第一節(jié):拎起一只腳,大家都做到,這時還有94-35=59只腳,第二節(jié):大家表現(xiàn)都不錯,歡送再拎一只腳,這時還有59-35=24只腳.只是雞兒耐不住,撲通撲通全跌倒(偷笑:雞兒早已沒有腳,只能屁股著地冷汗冒).這時出來數(shù)一遍,一雙腳來一只兔,數(shù)來數(shù)去不混淆.一個字:妙!②假定法:假定全是兔:共有幾只腳?4×35=140〔只〕多算幾只腳?140-94=46(只)每只雞多算幾只腳?4-2=2(只)有幾只雞?46÷2=23(只)兔有幾只?35-23=12〔只〕答:雞有23只,兔有12只.配套練習:假定全是雞呢?例2:兔媽媽采蘑菇,晴天每天采32個,雨天每天采22個.兔媽媽一共采了390個,平均每天采26個,這些天有幾天下雨?簡析:此題是雞兔同籠問題的變式.可以先求出采蘑菇的天數(shù).然后合理假定.①一共采了幾天?390÷26=15〔天〕②假定全是晴天一共采大多少個?32×15=480〔個〕多采多少個?480-390=90〔個〕每個雨天多采了多少個?32-22=10〔個〕雨天一共有多少天?90÷10=9(天)③假定全是雨天呢?答:這些天有9天下雨.配套練習:將問題改為“這些天有幾天是晴天?〞用兩種方法解答.例3:某次數(shù)學競賽一共有10題.答對一題得10分,答錯一題或不答倒扣5分.小明參賽得分為70分.他做對了多少題?簡析:此題的難點在于:如何計算答對一題與答錯一題的分數(shù)差異.可以借助線段圖幫助理解.①假定全答對:10×10=100〔分〕100-70=30〔分〕10+5=15〔分〕………難點所在30÷15=2〔題〕10-2=8(題)②假定全做錯:一個倒扣多少分?5×10=50〔分〕總共相差多少分?70+50=120〔分〕………注意:是加不是減,可以畫圖(略)每道對題少算多少分?10+5=15〔分〕做對幾題?120÷15=8〔題〕答:他做對了8題.家庭作業(yè)1.小明有面值2元和5元的代金券共27張,總值99元,這兩種代金券各有多少張?2.雞與兔共有100只,雞的腳比兔的腳多80只.雞與兔各有多少只?3.搬運1000只玻璃瓶,規(guī)定平安運到目的地每只可得運費3角.但打碎一只,不但不給運費,還要賠償5角.如果運完后共得運費260元,那么,打碎了多少只玻璃瓶?4.數(shù)平行四邊形的個數(shù)(圖略)本次作業(yè)評分:值得注意的地方:第八講一.闊步課堂例1:只能向下和向右,從A走到B,一共有幾種不同走法?簡析:此題屬于“找規(guī)律〞的內(nèi)容.一般采用色筆標注的方法進行,但過于繁瑣,有時無法進行.因此必須采用科學的方法甲乙解決.用對角標注數(shù)字的方法:一共6種走法.答:一共有6種不同走法.配套練習:只能向下和向右,從A走到B,一共有幾種不同走法?例2:用1,3,5,7,一共可以組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)?簡析:此題屬于排列問題,雖屬于高中數(shù)學知識,但也是小學“找規(guī)律〞的內(nèi)容.初始階段可以采用枚舉法.但現(xiàn)在應該用計算法.屬于乘法原理.千位有4種選擇,百位有3種選擇,十位有2種選擇,個位此時只有一種選擇.要組成四位數(shù),單有某位都不行,因此不能一步完成.應把每步的可能排法相乘.4×3×2×1=24〔個〕答:一共可以組成24個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).配套練習:用1,2,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)?二.邏輯推理例1:某月中,星期二的天數(shù)比星期一的天數(shù)多,而星期三的天數(shù)比星期四的天數(shù)多.那么這個月最后一天是星期幾?簡析:一周有7天,一個月最多有31天,31÷7=4〔周〕……3〔天〕.一個月里無論星期幾,最多有5個,最少4個.即此題中星期二和星期三有5個,星期一和星期四有4個.然后畫個月歷進行推算即可.圖略.答:這個月最后一天是星期三.配套練習:某年二月,星期日的天數(shù)最多,那么這個月的最后一天是星期幾?例2:下面是一個九位數(shù)密碼,相鄰三個數(shù)字的和是12.你能破解密碼嗎?43簡析:此題數(shù)字少,必須找到數(shù)字排列規(guī)律才能正確解答.借助天平原理,兩邊同時去掉相同局部,余下局部也相等.從而發(fā)現(xiàn),每隔2格數(shù)字相同,等兩個數(shù)字并排時就能算出另外數(shù)字了,從而可以解答.453453453453453453答:密碼為配套練習:下面是十一位密碼,任意三個相鄰數(shù)字之和是13,你你能破譯嗎?43例3:甲乙丙丁與瑪麗五個同學一起參加象棋比賽,每兩人賽一盤.比賽一點時間后,甲賽了4盤,乙賽了3盤,丙賽了2盤,丁賽了1盤.那么瑪麗賽了多少盤?簡析:此題必須進行必要的轉化.用五個點表示五個人,兩人比賽過的,用線段連接.通過畫圖可以很好解決問題.解答:見圖答:瑪麗賽了2盤.家庭作業(yè)1.只能向下和向右,從A走到B,一共有多少種不同的走法?2.用0,1,2,3,4可以組成多少個不同的三位數(shù)?3.某月中.星期四的天數(shù)比星期五的天數(shù)多,星期二的天數(shù)比星期一的多.這個月的第一天是星期幾?4.甲有600元,比乙的3倍多60元.乙有多少元?(提示:替換法)本次作業(yè)評分:值得注意的地方:第九講一.闊步課堂例1:用簡便方法計算:99×37+37101×57-5765×38+36×38-38簡析:四年級簡便計算一般要在計算過程中湊整十,整百,整千……,如果沒有出現(xiàn),一般意味著簡算失敗.①99×37+37=99×37+37×1…熟練時可以省略不寫.理解成99個37再加一個37=〔99+1〕×37……正好湊成100個37=100×37=3700②101×57-57=〔101-1〕×57……與第一題同樣道理=100×57=5700③65×38+36×38-38=〔65+36-1〕×38…不要把最后的38忽略.加減號不能隨意更改.=100×38=3800配套練習:用簡便方法計算:36×52+63×52+52201×93－93例2:有8個大小完全一樣的球,其中一個是次品,并且較輕.用一架沒有砝碼的天平秤,最少稱幾次可以找出次品?簡析:找次品是訓練學生語言表達能力和動手操作能力的良好素材.關鍵是:三個球一個次品如何找.解答:隨便拿6個，三個一邊，稱重后，兩種情況：

一樣重的話，次品一定在剩下的兩個球里，所以剩下的兩個小球再稱一次,上翹的那端的托盤里是次品。一共兩次.

如果不一樣重，次品一定在較輕的3個球里，再在3個球里，拿兩個稱一下，如果一樣重，那沒放進去的第三個就是次品，如果不一樣重，上翹的托盤里放的就是次品。也是兩次答:至少要稱兩次.配套練習:有9個大小完全一樣的球,其中一個是次品,并且較輕.用一架沒有砝碼的天平秤,最少稱幾次可以找出次品?二.進制問題計算法那么:0+0=0,0+1=1,1+1=100×0=0,1×0=0,1×1=1例1:把十進制數(shù)18改寫成二進制數(shù).簡析:二進制就是只用1和0兩個數(shù)字,表示各個數(shù).滿二進一.即每兩個相同的單位組成和它相鄰的較高的單位.18÷2=9…09÷2=4…14÷2=2…02÷2=1…0此法叫做二除取余法.18〔10〕=10010〔2〕也可以用短除法完成.注意:余數(shù)為0也要寫上.配套練習:把下面的十進制數(shù)改寫成二進制數(shù):1924例2:把二進制數(shù)110〔2〕改寫成十進制數(shù).簡析:二進制數(shù)改寫成十進制數(shù),只要把它寫成2的冪之和的形式.〔冪,指的是某數(shù)自乘,例如3自乘4次,即3×3×3×3,寫成34〕這是一個三位的二進制數(shù),它的最高計數(shù)單位是23-1=22.110〔2〕=1×22+1×21+0×2o=1×4＋1×2＋0×1=4+2+0=6配套練習:11011〔2〕改寫成十進制數(shù)是多少?例3:計算:1101〔2〕＋101〔2〕簡析:任何進制數(shù)的運算,都可以根據(jù)十進制數(shù)的運算法那么來進行.二進制加減法只要注意滿二進一和借一算二即可.1101〔2〕+101〔2〕10010〔2〕1101〔2〕＋101〔2〕=10010〔2〕配套練習:計算以下各題:110〔2〕＋11〔2〕10101〔2〕－1111〔2〕例4:計算:1011〔2〕×11〔2〕簡析:二進制的乘法也可列豎式解決.口訣只有兩句:一一得一和一零得零.豎式:略配套練習:計算:1101〔2〕×101〔2〕家庭作業(yè)1.簡便計算:32×25×12568×46＋33×46-462.計算:111〔2〕××11〔2〕3.將十進制數(shù)29改寫成二進制數(shù)4.將二進制數(shù)11101〔2〕改寫成十進制數(shù).本次作業(yè)評分:值得注意的地方:第十講一.闊步課堂例1:甲乙兩個車站之間有3個小站.各站之間票價各不相同.要滿足乘客需要,車站一共要配備多少種車票?有多少種票價?簡析:此題屬于排列與組合問題.車票的來與去是不同的,即有序.而票價往返是一樣的.①多少種車票?每個車站要準備其他車站的4種車票,5個站要準備:4×5=20〔種〕車票.也可先算出單程要幾種車票:1+2+3+4=10〔種〕,再乘2:10×2=20〔種〕②有幾種不同票價?1+2+3+4=10〔種〕或者5×4÷2=10(種)答:車站一共要配備20種車票.有10種票價.配套練習:甲乙之間有4個小站要停靠.從甲到乙,一共要準備多少種車票?例2:四個連續(xù)奇數(shù)之和為192.求這四個數(shù)各是多少.簡析:連續(xù)奇數(shù)相鄰兩數(shù)相差2.具體可參照第五課時的方法求解.①〔192+2+4+6〕÷4=204÷4=51……最大數(shù)51-2=49,51-4=47,51-6=45答:四個數(shù)分別是45,47,49,51.②〔192-2-4-6〕÷4=180÷4=45……最小數(shù)45+2=47,47+2=49,49+2=51答:四個數(shù)分別是45,47,49,51.③中間兩數(shù)和:192÷2=96,兩數(shù)差為2,用和差問題解題公式計算:〔96+2〕÷2=49……第三個數(shù)49+2=51……第四個數(shù)49-2=47……第二個數(shù)47-2=45……第一個數(shù)或者:〔96-2〕÷2=47……第二個數(shù),47-2=45……第一個數(shù)47+2=49……第三個數(shù)47-2=45……第一個數(shù)答:四個數(shù)分別是45,47,49,51.二.行程問題(一)例1:甲、乙兩人分別從相距20千米的兩地同時相向而行.甲每小時行6千米,乙每小時行4千米.兩人幾小時后相遇?簡析:相向而行就是面對面行走.這是行程問題中的“相遇問題〞.其根本數(shù)量關系是:速度和×時間=路程.根據(jù)公式可以派生兩個除法計算的公式.此題是為以后學習打根底.務必理解.①甲乙兩人每小時共行多少千米?6+4=10〔千米〕②幾小時相遇?20÷10=2〔小時〕答:2小時后相遇.例2:甲、乙兩人同時從相距2000米的兩地相向而行,甲每分鐘行110米,乙每分鐘行90米.如果一條狗開始于甲同行,每分鐘行500米,遇到乙后再返回向甲跑去.這樣不斷往返,直到甲乙相遇為止.狗共跑了多少米?簡析:此題也叫“蘇步青問題〞,關鍵在于“看人不看狗〞.人狗行走的時間相同.如果著眼于狗,計算繁瑣,過程復雜,可能無法求解.而著眼于人,問題迎刃而解.①甲乙?guī)仔r相遇?2000÷〔110+90〕=2000÷200=10〔分鐘〕②狗一共走了多少米?500×10=5000〔米〕答:狗共跑了5000米.配套練習:甲、乙兩個車隊同時從相距330千米的兩地相向而行.甲每小時60千米,乙每小時50千米.一個人騎摩托車以每小時80千米的速度在兩隊中間往返聯(lián)絡.當兩車隊相遇時,摩托車行駛了多少千米?例3:甲、乙兩人在環(huán)形跑道上以各自不變的速度跑步.如果兩人同時從同一地點相背而行,乙跑4分鐘后兩人第一次相遇.甲跑一周要6分鐘,乙跑一周要幾分鐘?簡析:此題是高年級的學習內(nèi)容.但此題解法有別于高年級.甲、乙各跑4分鐘相遇,甲繼續(xù)跑乙的4分鐘路程,只需6-4=2〔分鐘〕,花的時間是乙的一半,因此乙的時間是甲的兩倍.4÷〔6-4〕×6=12〔分鐘〕……倍比法配套練習:甲騎摩托車,乙騎自行車分別從兩地同時出發(fā),相向而行,5小時后相遇.甲行完全程要15小時,乙行完全程要多少小時?家庭作業(yè)1.甲乙兩個車站之間有5個小站.各站之間票價各不相同.要滿足乘客需要,車站一共要配備多少種車票?有多少種票價?2.6個連續(xù)偶數(shù)的和是282.求最大的一個數(shù)是多少.3.甲、乙兩個車隊同時從相距18千米的兩地相向而行.丙騎自行車以每小時15千米的速度在兩隊中間往返聯(lián)絡,甲每小時5千米.乙以每小時4千米的速度行走..當兩車隊相遇時,丙騎自行車行駛了多少千米?4.甲、乙兩人分別從A,B兩地同時出發(fā),相向而行,6小時后相遇.甲行完全程要9小時,乙行完全程要多少小時?本次作業(yè)評分:值得注意的地方:第十一講一.闊步課堂例1:正方形的邊長增加3厘米,面積增加51平方厘米.求原來正方形的面積.簡析:此題表達數(shù)形結合思想.先畫出符合題意的圖形,再進行合理分割,就能求出邊長,繼而求出面積.A,B,C為增加局部,其中A,B大小相等.C是邊長為3厘米的正方形.①C的面積是多少?3×3=9〔平方厘米〕②A和B的面積是多少?51-9=42〔平方厘米〕③A或B的面積:42÷2=21〔平方厘米〕④原正方形邊長:21÷3=7〔平方厘米〕⑤原正方形面積:7×7=49〔平方厘米〕答:原來正方形的面積是49平方厘米.配套練習:正方形的邊長增加2厘米,面積增加36平方厘米.求原來正方形的面積.例2:A÷B=6……10,假設A與B都擴大2倍,那么商與余數(shù)各是多少?簡析:此題屬于“商不變性質〞的應用.注意,商雖不變,但余數(shù)卻跟著變.商是6,余數(shù)是10×2=20配套練習:A÷B=20……10,假設A和B都縮小2倍,商和余數(shù)各是多少?二.巧妙求和例1:王蕾度一本長篇小說,她第一天讀30頁,從第二天起,她每天讀的頁數(shù)都比前一天多3頁,第11天讀了60頁,正好讀完.這本書有多少頁?簡析:此題屬于等差數(shù)列求和.根本公式為:和=〔首項+尾項〕×項數(shù)÷2項數(shù)=〔尾項-首項〕÷公差+1〔30+60〕×11÷2=495〔頁〕答:這本書有495頁.配套練習:馬師傅做一批零件,第一天做了20個,以后每天都比前一天多做2個,最后一天做了42個.這批零件有多少個?例2:30把鎖的鑰匙搞亂了,為了使每把鎖都配上自己的鑰匙,至少要試多少次?簡析:此題屬于組合問題.第一把鎖要翻開,要試30-1=29〔次〕,第二把要試29-1=28〔次〕,……余此類推.29+28+27+…+2+1=〔29+1〕×29÷2=435〔次〕答:至少要試435次.配套練習:有一些鎖的鑰匙搞亂了,至少要試28次,就能使每把鎖度都配上自己的鑰匙.問:一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了?例3:求1～99個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字的和.簡析:此題求的是數(shù)字之和,不是數(shù)的和.為了湊整對數(shù),把0參加,這100個數(shù)頭尾配對后每兩個數(shù)字之和都相等,都是9+9=18,共有100÷2=50〔對〕.〔9+9〕×〔100÷2〕=900.配套練習:求1～199的199個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和.例4:求1+3+5+7+9+…+21的和.簡析:此題屬于“等差數(shù)列求和〞的應用.難度較小.重在推陳出新,用“中間數(shù)×項數(shù)〞求和.1+3+5+7+……+21=〔21+1〕×11÷2=121或者:11×11=121配套練習:求1+4+7+11+……+31的和.家庭作業(yè)1.