4/8第二章圓錐曲線與方程一、選擇題1．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8 D．10解析：選D根據(jù)橢圓的定義知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故選2．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是()A．2eq\r(3)B．6C．4eq\r(3) D．12解析：選C由于△ABC的周長與焦點(diǎn)有關(guān)，設(shè)另一焦點(diǎn)為F，利用橢圓的定義，|BA|＋|BF|＝2eq\r(3)，|CA|＋|CF|＝2eq\r(3)，便可求得△ABC的周長為4eq\r(3).3．命題甲：動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常數(shù))；命題乙：PA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解析：選B利用橢圓定義．若P點(diǎn)軌跡是橢圓，則|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常數(shù))，故反過來，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常數(shù))是不能推出P點(diǎn)軌跡是橢圓的．這是因?yàn)椋簝H當(dāng)2a＞|AB|時(shí)，P點(diǎn)軌跡才是橢圓；而當(dāng)2a＝|AB|時(shí)，P點(diǎn)軌跡是線段AB；當(dāng)2a＜|AB|時(shí)，P綜上，甲是乙的必要不充分條件．4．如果方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：選D由a2＞a＋6＞0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－6＞0，,a＋6＞0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜－2或a＞3，,a＞－6，))，所以a＞3或－6＜a＜－2.5．已知P為橢圓C上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，且|F1F2|＝2eq\r(3)，若|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)為|F1F2|，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1D.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,45)＝1或eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,48)＝1解析：選B由已知2c＝|F1F2|＝2eq\r(3)，得c＝eq\r(3).由2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4eq\r(3)，得a＝2eq\r(3).∴b2＝a2－c2＝9.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.6．橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(－10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(±13,0) B．(0，±10)C．(0，±13) D．(0，±eq\r(69))解析：選D由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a＝13，b＝10，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(69))．7．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長為4eq\r(3)，則C的方程為()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1解析：選A由橢圓的性質(zhì)知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2又∵△AF1B的周長＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3).又e＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.8．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1有相同的長軸，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的短軸長與橢圓eq\f(y2,21)＋eq\f(x2,9)＝1的短軸長相等，則()A．a(chǎn)2＝25，b2＝16B．a(chǎn)2＝9，b2＝25C．a(chǎn)2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a(chǎn)2＝25，b2＝9解析：選D因?yàn)闄E圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的長軸長為10，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓eq\f(y2,21)＋eq\f(x2,9)＝1的短軸長為6，所以a2＝25，b2＝9.9．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.若eq\o(AP,\s\up7(→))＝2eq\o(PB,\s\up7(→))，則橢圓的離心率是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析：選D∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝2eq\o(PB,\s\up7(→))，∴|eq\o(AP,\s\up7(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up7(→))|.又∵PO∥BF，∴eq\f(|PA|,|AB|)＝eq\f(|AO|,|AF|)＝eq\f(2,3)，即eq\f(a,a＋c)＝eq\f(2,3)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).10．過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)解析：選B法一：將x＝－c代入橢圓方程可解得點(diǎn)P－c，±eq\f(b2,a)，故|PF1|＝eq\f(b2,a)，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝eq\f(2b2,a)，根據(jù)橢圓定義得eq\f(3b2,a)＝2a，從而可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).法二：設(shè)|F1F2|＝2c，則在Rt△F1PF2中，|PF1|＝eq\f(2\r(3),3)c，|PF2|＝eq\f(4\r(3),3)c.所以|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3)c＝2a，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).11．已知雙曲線的a＝5，c＝7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1B.eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1C.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1D.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝0或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝0解析：選C由于焦點(diǎn)所在軸不確定，∴有兩種情況．又∵a＝5，c＝7，∴b2＝72－52＝24.25．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m＝________.解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)?m＝3；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)?m＝eq\f(16,3).綜上，m＝3或m＝eq\f(16,3).答案：3或eq\f(16,3)26．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為eq\f(\r(5),5)，且過P(－5,4)，則橢圓的方程為__________．解析：∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,5)，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(5y2,4a2)＝1(a＞0)，∵橢圓過點(diǎn)P(－5,4)，∴eq\f(25,a2)＋eq\f(5×16,4a2)＝1.解得a2＝45.∴橢圓的方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.答案：eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝127．設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)F(0,5)是雙曲線eq\f(y2,m)－eq\f(x2,9)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m＝________.解析：由點(diǎn)F(0,5)可知該雙曲線eq\f(y2,m)－eq\f(x2,9)＝1的焦點(diǎn)落在y軸上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：1628．經(jīng)過點(diǎn)P(－3,2eq\r(7))和Q(－6eq\r(2)，－7)，且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________．設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25)，))故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.答案：eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝129．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝0，|PF1|·|PF2|＝2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：解析：由題意可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝0，得PF1⊥PF2.根據(jù)勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.根據(jù)雙曲線定義有|PF1|－|PF2|＝±2a.兩邊平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，從而b2＝5－4＝1，所以雙曲線方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.答案：eq\f(x2,4)－y2＝130．若雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,m)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),2)x，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________．解析：由漸近線方程為y＝±eq\f(\r(m),2)x＝±eq\f(\r(3),2)x，得m＝3，所以c＝eq\r(7)，又焦點(diǎn)在x軸上，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(7)，0)．答案：(±eq\r(7)，0)31．過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為________．解析：由題意知，a＋c＝eq\f(b2,a)，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：232．雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為________．解析：雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右頂點(diǎn)A(3,0)，右焦點(diǎn)F(5,0)，漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)x.不妨設(shè)直線FB的方程為y＝eq\f(4,3)(x－5)，代入雙曲線方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝eq\f(17,5)，y＝－eq\f(32,15)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15))).所以S△AFB＝eq\f(1,2)|AF||yB|＝eq\f(1,2)(c－a)|yB|＝eq\f(1,2)×(5－3)×eq\f(32,15)＝eq\f(32,15).答案：eq\f(32,15).三、解答題33．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)．設(shè)橢圓C上一點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．解：由點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))在橢圓上，得eq\f(\r(3)2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2,b2)＝1，又2a＝4，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－1,0)，(1,0)．34．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)).(1)求此橢圓的方程；(2)若點(diǎn)P滿足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2解：(1)由已知得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝4＝2a，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)在△PF1F2中，由余弦定理得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))2－2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))cos120°，即4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))))2－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))，∴4＝(2a)2－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝16－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝12，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))sin120°＝eq\f(1,2)×12×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).35．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2)，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由e＝eq\f(\r(2),2)知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，從而eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).由△ABF2的周長為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.36．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)是A(a,0)，其上存在一點(diǎn)P，使∠APO＝90°，求橢圓離心率的取值范圍．解：設(shè)P(x，y)，由∠APO＝90°知，點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上，圓的方程是：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2，所以y2＝ax－x2.①又P點(diǎn)在橢圓上，故eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.②把①代入②化簡，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，∴x＝eq\f(ab2,a2－b2)，又0＜x＜a，∴0＜eq\f(ab2,a2－b2)＜a，即2b2＜a2.由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，所以e＞eq\f(\r(2),2).又∵0＜e＜1，∴eq\f(\r(2),2)＜e＜1.即橢圓離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).37．已知與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1共焦點(diǎn)的雙曲線過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：已知雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.據(jù)c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，∴c＝5.設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．依題意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，故雙曲線方程可寫為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,25－a2)＝1.∵點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))在雙曲線上，∴eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)))2,a2)－eq\f(－\r(6)2,25－a2)＝1.化簡，得4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝eq\f(125,4).又當(dāng)a2＝eq\f(125,4)時(shí)，b2＝25－a2＝25－eq\f(125,4)＝－eq\f(25,4)＜0，不合題意，舍去，故a2＝1，b2＝24.∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,24)＝1.38．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別為橢圓x2＋5y2＝5的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足關(guān)系式sinB－sinA＝eq\f(1,2)sinC.(1)求線段AB的長度；(2)求頂點(diǎn)C的軌跡方程．解：(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\f(x2,