青海省大通縣教學(xué)研究室2024屆高三開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)（文科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4．本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義與運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：B．2.已知，，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算出，得到其所在象限.【詳解】，故所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D3.已知滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)最大值為（）A. B. C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先畫(huà)出可行域，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可【詳解】畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件的平面區(qū)域，如圖所示，易得直線(xiàn)與的交點(diǎn)，平移直線(xiàn)，當(dāng)經(jīng)過(guò)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即．故選：C．4.乒乓球是中國(guó)的國(guó)球，擁有廣泛的群眾基礎(chǔ)，老少皆宜，特別適合全民身體鍛煉．某小學(xué)體育課上，老師讓小李同學(xué)從7個(gè)乒乓球（其中3只黃色和4只白色）中隨機(jī)選取2個(gè)，則他選取的乒乓球恰為1黃1白的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用組合數(shù)計(jì)算古典概型即可.【詳解】根據(jù)古典概型，從7個(gè)乒乓球中隨機(jī)選取2個(gè)，基本事件總數(shù)有個(gè)，其中恰為1黃1白基本事件有個(gè)，所以概率．故選：A．5.已知為第四象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】，且為第四象限角，，，，故選：C6.在等差數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則的前23項(xiàng)的和為（）A. B. C.92 D.184【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合求和公式即可求解.【詳解】，是方程的兩個(gè)根，所以，所以的前23項(xiàng)的和．故選:C．7.已知，是兩個(gè)不重合的平面，且直線(xiàn)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由線(xiàn)面、面面關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷線(xiàn)面關(guān)系，根據(jù)面面垂直的判定判斷線(xiàn)面是否平行，再由充分、必要性定義判斷條件間的充分、必要關(guān)系.【詳解】解：由，若，則可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.8.函數(shù)的圖象有可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判定函數(shù)的奇偶性，再求其單調(diào)性即可判定選項(xiàng).【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)镽，又，可得為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可排除選項(xiàng)B、D；易知的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，則在處取得極小值，可排除選項(xiàng)C．故選:A．9.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與圖像性質(zhì)及與特殊值（0，1）的比對(duì)，易知三者的大小關(guān)系.【詳解】由于在上單調(diào)遞增，故，即；由于在上單調(diào)遞減且，故，即；由于在上單調(diào)遞增，故，即；所以.故選：A.10.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定其首項(xiàng)和公比，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，所以，，，又是等比?shù)列，所以，即，解得，所以．當(dāng)時(shí)，，又滿(mǎn)足，所以，，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以．故選：A.11.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，且，直線(xiàn)交于另一點(diǎn)，記坐標(biāo)原點(diǎn)為，則（）A.5 B.-4 C.3 D.-3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的焦半徑可得，進(jìn)而可得，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程可得點(diǎn)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】由題意得，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)，且，所以，解得，故拋物線(xiàn)，焦點(diǎn)為，所以的方程為，代入，得，整理得，解得或，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)，則，由于A在第一象限，所以，所以，所以.故選:D.12.已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義找出所滿(mǎn)足的關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)工具求的最小值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則其離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由漸近線(xiàn)方程得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以，雙曲線(xiàn)的離心率為.故答案為：.14.在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，點(diǎn)滿(mǎn)足，若，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算可用表示，結(jié)合平面向量基本定理求出的值后可得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，所以，所以．又，所以，所以．故答案為：.15.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則的解析式為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換計(jì)算即可.【詳解】解：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，可得．故答案為：.16.某幾何體的直觀(guān)圖如圖所示，是由一個(gè)圓柱體與兩個(gè)半球?qū)佣傻慕M合體，其中圓柱體的底面半徑為2，高為4．現(xiàn)要加工成一個(gè)圓柱，使得圓柱的兩個(gè)底面的圓周落在半球的球面上，則圓柱的最大體積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)加工成的圓柱底面半徑為，圓柱的高為，圓柱的體積用含有h的代數(shù)式表示，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可.【詳解】設(shè)加工成的圓柱的底面半徑為，高為，軸截面如圖，則，則加工后所得圓柱的體積，所以可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分.17.如圖是M市某愛(ài)國(guó)主義教育基地宣傳欄中標(biāo)題為“2015～2022年基地接待青少年人次”的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)該統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解決下列問(wèn)題．①參考數(shù)據(jù)：012390330②參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：．（1）求M市愛(ài)國(guó)主義教育基地所統(tǒng)計(jì)的8年中接待青少年人次的平均值和中位數(shù)；（2）由統(tǒng)計(jì)圖可看出，從2019年開(kāi)始，M市愛(ài)國(guó)主義教育基地接待青少年的人次呈直線(xiàn)上升趨勢(shì)，請(qǐng)你用線(xiàn)性回歸分析的方法預(yù)測(cè)2024年基地接待青少年的人次．【答案】（1）平均值為：；中位數(shù)為：（2）1365【解析】【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)及中位數(shù)即可；（2）利用最小二乘法計(jì)算回歸方程并預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)即可.【小問(wèn)1詳解】由圖表數(shù)據(jù)可知：平均值為：，中位數(shù)為：．【小問(wèn)2詳解】由圖表數(shù)據(jù)得：，則，所以線(xiàn)性回歸方程，所以在2024年時(shí)，所以，預(yù)測(cè)2024年基地接待青少年的人次為．18.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，.（1）求的面積；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用切化弦，結(jié)合兩角和差正弦公式可化簡(jiǎn)已知等式得到，利用正弦定理角化邊可得，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得后，可得的值，代入三角形面積公式即可得到結(jié)果；（2）利用正弦定理可求得，代入即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，，即，，由正弦定理得：，即，，，則，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：；由正弦定理知：，則，，又，.19.如圖所示，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求多面體的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線(xiàn)面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的判定定理，結(jié)合棱錐體積公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，．又，，四邊形是平行四邊形，．又平面平面．平面．【小問(wèn)2詳解】連接．平面平面．，且平面，平面．同理可得平面．．20.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸、軸，且過(guò)、兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若，過(guò)的直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn)，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出橢圓的方程；（2）分兩種情況討論：①直線(xiàn)與軸重合，直接驗(yàn)證結(jié)論成立；②直線(xiàn)不與軸重合，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算得出，可得出軸平分，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可證得結(jié)論成立．綜合可得出結(jié)論．【解析】（1）解：設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)、坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，因此，橢圓的方程為．（2）證明：若直線(xiàn)與軸重合，則、為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，，成立；若直線(xiàn)不與軸重合，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，∴軸平分，∴．綜上所述，．【反思】求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)方程，可得，根據(jù)和，結(jié)合和分類(lèi)討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)滿(mǎn)足，，根據(jù)函數(shù)的解析式，化簡(jiǎn)，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，設(shè)方程，可得，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以在上單增；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，設(shè)方程的兩根為和，且，則，，且，①當(dāng)時(shí)，可得，，所以在上單減，在上單增；②當(dāng)時(shí)，可得，，所以在上單增，在上單減，在上單增.綜上可得：①當(dāng)時(shí)，在上單增；②當(dāng)時(shí)，在上單減，在上單增；③當(dāng)時(shí)，在和上單增，在上單減.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且滿(mǎn)足，，又由，令，可得，所以在上單減，所以，即.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程分別為，.（1）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，曲線(xiàn)和曲線(xiàn)的交點(diǎn)為，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法，即可得出曲線(xiàn)，的直角坐標(biāo)方程.（2）由題得，利用曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程得出參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，可得，根據(jù)韋達(dá)定理得出對(duì)應(yīng)參數(shù)的關(guān)系，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榍€(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，又，，所以，所以曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.因?yàn)榍€(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，所以，所以曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意知，故直線(xiàn)的一個(gè)參數(shù)方程為（為參數(shù)）