.第一章線(xiàn)性方程組的解法求解線(xiàn)性方程組是科學(xué)研究和工程應(yīng)用中最普遍和最重要的問(wèn)題，超過(guò)75%的科學(xué)研謝謝閱讀究和工程應(yīng)用中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在某一階段都與線(xiàn)性方程組的求解有關(guān)．本章介紹求解線(xiàn)性方精品文檔放心下載程組的消元法及其矩陣形式．引例交通流量問(wèn)題隨著城市人口以及交通流量的增加，城市道路交通擁堵問(wèn)題已成為制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展、降低精品文檔放心下載人民生活質(zhì)量、削弱經(jīng)濟(jì)活力的瓶頸之一.為解決這個(gè)世界性難題，各國(guó)政府和民間都進(jìn)行感謝閱讀了廣泛的研究，提出了提高交通管理水平、增強(qiáng)交通參與者的素質(zhì)、擴(kuò)大道路容量、限制車(chē)感謝閱讀輛增長(zhǎng)速度等政策及車(chē)牌限行、設(shè)置單向行駛道路等措施.以上的政策和措施的一個(gè)基礎(chǔ)性謝謝閱讀工作就是各道路的車(chē)流量的統(tǒng)計(jì)與分流控制.使各道路的交通流量要達(dá)到平衡,所謂交通流量感謝閱讀平衡是指在每個(gè)路口進(jìn)入的車(chē)輛數(shù)與離開(kāi)的車(chē)輛數(shù)相等．圖1是某一城市的道路交通網(wǎng)絡(luò)感謝閱讀圖，所有車(chē)道都是單行道．箭頭給出了車(chē)輛的通行方向，數(shù)字是高峰期每小時(shí)進(jìn)入和離開(kāi)路謝謝閱讀口的車(chē)輛數(shù)．在滿(mǎn)足交通流量平衡的條件下，試問(wèn)如何分流車(chē)輛．精品文檔放心下載.圖1為了保證交通流量平衡，得線(xiàn)性方程組xx300,12x200,x23xxx300,（1.1）345x100,x46xxx300.156問(wèn)題歸結(jié)為討論線(xiàn)性方程組（1.1）是否有解？若有解，求出方程組的解．精品文檔放心下載第一節(jié)線(xiàn)性方程組的消元法一、線(xiàn)性方程組的概念設(shè)x,x,L,x為實(shí)未知量，a,a,L,a,b為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．方程精品文檔放心下載1 2 n 1 2 naxaxLaxb1 1 2 2 n n稱(chēng)為含未知量x,x,L,x的線(xiàn)性方程．由m個(gè)含未知量x,x,L,x的線(xiàn)性方程組成的方謝謝閱讀1 2 n 1 2 n.程組axaxLaxb,精品文檔放心下載1111221nn1axaxLaxb,2112222nn2LLLLLLLLLLLa xa xLa xb,謝謝閱讀m1 1 m2 2 mn n m稱(chēng)為n元線(xiàn)性方程組，其中a,b(i1,2,L,m;j1,2,L,n)為實(shí)數(shù)．若感謝閱讀ij ixc,xc,L,xc謝謝閱讀1 1 2 2 n n使（1.2）中的每一個(gè)方程都成立，則稱(chēng)（1.3）為方程組（1.2）的解．精品文檔放心下載

（1.2）（1.3）如果線(xiàn)性方程組（1.2）有解，則稱(chēng)方程組（1.2）是相容的；否則，稱(chēng)方程組（1.2）謝謝閱讀是不相容的．線(xiàn)性方程組解的全體所構(gòu)成的集合稱(chēng)為該線(xiàn)性方程組的解集．顯然，如果線(xiàn)性方程組不精品文檔放心下載相容，其解集必為空集．能表示線(xiàn)性方程組全部解的表達(dá)式稱(chēng)為方程組的通解或一般解．感謝閱讀具有相同解集的線(xiàn)性方程組稱(chēng)為同解方程組或等價(jià)方程組．精品文檔放心下載二、線(xiàn)性方程組的消元法中學(xué)所學(xué)的解線(xiàn)性方程組的消元法是求解線(xiàn)性方程組簡(jiǎn)單有效的方法．現(xiàn)在我們回憶消感謝閱讀元法的過(guò)程．1利用消元法求解線(xiàn)性方程組x2x3,(1)126.(2)4x5x12解將方程（1）乘以4加到方程（2）上，得等價(jià)方程組x2x3,(3)126.(4)3x2由方程（4）解得x2，再代入方程（3），得x1，則原方程組的解為x1,x2．該2112方程組有唯一解．.2利用消元法求解線(xiàn)性方程組5x6x7x5,(1)xxx1,(1)123123（I）4x8x4x5,(2)；（II）x2xx3,(2)1231233x6x3x9.(3)5x8xx11.(3)123123解（I）方程（3）的兩邊乘以不為零的常數(shù)1，得35x6x7x5,(4)1234x8x4x5,(5)123x2xx3.(6)123交換方程（4）與（6）的位置，得x2xx3,(7)1234x8x4x5,(8)1235x6x7x5.(9)123方程（7）乘以4加到方程（8）上；方程（7）乘以5加到方程（9）上，得x2xx3,(10)12307,(11)4x2x10.(12)23交換方程（11）與（12）的位置，得x2xx3,(13)1234x2x10,(14)2307.(15)方程（15）是矛盾方程，則方程組（I）無(wú)解．（II）方程（1）乘以1加到方程（2）上；方程（1）乘以5加到方程（3）上，得謝謝閱讀xxx1,(4)123x2x2,(5)233x6x6.(6)23方程（5）乘以3加到方程（6）上，得xxx1,(7)123x2x2,(8)2300.(9).解得x3x1,13x2x2,23令x3c，得方程組的通解為x3c1,12c2,x2c,x3其中c為任意常數(shù)．此時(shí)方程組有無(wú)窮多解．總結(jié)例1與例2，我們發(fā)現(xiàn)利用消元法求解線(xiàn)性方程組的過(guò)程，本質(zhì)上是對(duì)線(xiàn)性方程組精品文檔放心下載的方程進(jìn)行下列三種變換：（1）交換任意兩個(gè)方程的位置；（2）某一方程兩邊乘以不為零的常數(shù)；（3）把某一方程的倍數(shù)加到另一方程上去．上述三種變換稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的同解變換．另外，我們還可以看到，線(xiàn)性方程組可能無(wú)解、可能有解，在有解時(shí)可能是唯一解或無(wú)精品文檔放心下載窮多解，關(guān)于這方面的更深入的研究可參考下一節(jié)與第三章第六節(jié)．謝謝閱讀思考題一1．在例1與例2中，細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，這里用消元法求解線(xiàn)性方程組與中學(xué)所介紹的形精品文檔放心下載式上有所不同，您能指出它們各自的優(yōu)點(diǎn)所在嗎？2．線(xiàn)性方程組的解與未知量的符號(hào)表示有關(guān)嗎？x2y3,3．給定方程組4x5y6.

將每個(gè)方程交換未知量x

與y

2xy3,的位置，得方程組5x4y6..試問(wèn)這兩個(gè)方程組同解嗎？第二節(jié) 矩陣及其初等行變換一、矩陣3利用消元法求解線(xiàn)性方程組x2y3,(1)(2)4x5y6.解 將方程（1）乘以4加到方程（2）上，得x2y3,(3)3y6.(4)由方程（4）解得y2，代入方程（3），得x1，則原方程組的解x1,y2．精品文檔放心下載仔細(xì)比較例1和例3兩個(gè)方程組，我們發(fā)現(xiàn)線(xiàn)性方程組的解是由未知量系數(shù)a和方程謝謝閱讀ij右邊的常數(shù)b所決定，而與線(xiàn)性方程組的未知量用哪個(gè)符號(hào)表示無(wú)關(guān)．鑒于此，在討論線(xiàn)精品文檔放心下載j性方程組（1.2）的求解時(shí)，我們可以舍棄未知量（但把未知量牢記于心中），建立方程組（1.2）精品文檔放心下載與m行n1列的數(shù)表aaLaMb1112L1n1aaaMb（1.4）21222n2MMMMMaaLaMbm1m2mnm的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：該數(shù)表的第j(j1,2,L,n)列是未知量x前的系數(shù)，第n1列是方程右謝謝閱讀j邊的常數(shù)bi(i1,2,L,m)；第i行代表方程組（1.2）的第i個(gè)方程．我們稱(chēng)該數(shù)表為方程組（1.2）的增廣矩陣，簡(jiǎn)記為B．而把數(shù)表謝謝閱讀.aaLa1112L1naaa（1.5）21222nMMMaaLam1m2mn稱(chēng)為方程組（1.2）的系數(shù)矩陣，簡(jiǎn)記為A．例4 寫(xiě)出線(xiàn)性方程組xxx1,123xxx,123xxx2123的系數(shù)矩陣與增廣矩陣．解 方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別為1111M1A11；B11M．1111M2以上討論啟發(fā)我們，為了簡(jiǎn)化線(xiàn)性方程組的求解，在代數(shù)上給出了數(shù)表——矩陣的概感謝閱讀念．（名詞“矩陣（Matrix）”是由Sylvester首先使用的）感謝閱讀定義1由mn個(gè)數(shù)a(i1,2,Lm;j1,2,Ln)排成的m行n列的數(shù)表ijaaLa1112L1naaa21222nMMMaaLam1m2mn稱(chēng)為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)mn矩陣，其中a稱(chēng)為矩陣A的第i行第j列的元素．mn矩ij陣可以表示為(a)，一般用大寫(xiě)的英文字母A,B,C,L等表示矩陣．ijmn元素為實(shí)數(shù)的矩陣稱(chēng)為實(shí)矩陣，元素為復(fù)數(shù)的矩陣稱(chēng)為復(fù)矩陣．本書(shū)如無(wú)特殊聲明，所精品文檔放心下載討論的矩陣都是指實(shí)矩陣．二、矩陣的初等行變換.矩陣的初等行變換起源于求解線(xiàn)性方程組的消元法．由方程組的同解變換可知，對(duì)線(xiàn)性精品文檔放心下載方程組作同解變換相當(dāng)于對(duì)方程組的增廣矩陣的行作相應(yīng)的變換．由此有謝謝閱讀定義2 以下對(duì)矩陣的三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換：謝謝閱讀（1）交換矩陣兩行的位置；（2）不為零的數(shù)k乘以矩陣的某一行中所有元素；（3）將矩陣的某一行乘以數(shù)k加到另一行上去．為了說(shuō)明方便，通常用r表示矩陣的第i行．用r謝謝閱讀

r

表示交換矩陣的第i行與第

j行；i

i

j用rk表示數(shù)k乘以矩陣的第i行；用ri謝謝閱讀

j

kr表示數(shù)k乘以矩陣的第i行加到第i

j行上去．定義3 若矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等行變換變成矩陣B，則稱(chēng)矩陣A與B行等價(jià)，記作精品文檔放心下載ArB．下面介紹消元法的矩陣形式。5利用矩陣的初等行變換求解線(xiàn)性方程組x2x3,124x5x6.12解 方程組的增廣矩陣12M312M3B，45M6r4r3M601得同解方程組x2x3,（1.6）123x6,2由第2個(gè)方程解得x2，代入第1個(gè)方程，得x1，則方程組的解為x1,x2．2112消元法的代入過(guò)程也可以對(duì)增廣矩陣作初等行變換來(lái)代替．要在（1.6）的第2個(gè)方程解出x，則x的系數(shù)必須為1．將（1.6）的第2個(gè)方程兩邊乘以1，得223.x2x3,12（1.7）x2,2得到（1.7）的過(guò)程相當(dāng)于r12M3r21)12M3B(．03M601M2將x代入（1.7）的第1個(gè)方程，即將（1.7）的第1個(gè)方程中x的系數(shù)化為零，只需將（1.7）精品文檔放心下載2 2的第2個(gè)方程兩邊乘以2加到第1個(gè)方程上去，得方程組的解精品文檔放心下載x1,1（1.8）x2.2得到（1.8）的過(guò)程相當(dāng)于r12M310M1B，01M2r1M202從而得方程組的解x1,x2．1 2現(xiàn)在我們可以給出例5的完整求解過(guò)程了．方程組的增廣矩陣謝謝閱讀12M312M3r(3)10M1Br4rr22r，5M603M601M24從而得方程組的解x1,x2．12一般地，消元法是由兩個(gè)步驟所構(gòu)成．第一個(gè)步驟是消元過(guò)程，在例5中得到矩陣B，謝謝閱讀1稱(chēng)為矩陣B的行階梯形，其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增加而嚴(yán)謝謝閱讀格增加．如下列矩陣213121310101A0105,A0015,A0015（1.9）123000000000000都是行階梯形矩陣．第二個(gè)步驟是代入過(guò)程，在例5中得到矩陣B，稱(chēng)為矩陣B的行最簡(jiǎn)謝謝閱讀2形，其特點(diǎn)是：它是特殊的行階梯形矩陣，且非零行的第一個(gè)非零元素為1，而該元素所在謝謝閱讀列的其他元素全為0．如（1.9）中的A3是行最簡(jiǎn)形矩陣．精品文檔放心下載.例6利用初等行變換，將矩陣1111A12422513化成行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣．111111111111解A1242r2r10333，323r251303312000最后一個(gè)矩陣即為行階梯形矩陣，進(jìn)一步，111111101020r3(2)0111r1r301100110，22312000000100011最后一個(gè)矩陣即為行最簡(jiǎn)形矩陣．總結(jié)例6利用初等行變換將矩陣化成行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣的方法，有謝謝閱讀定理1 任何一個(gè)矩陣都可經(jīng)有限次初等行變換變成行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣．謝謝閱讀證 設(shè)A(a)為mn矩陣，對(duì)A的行數(shù)m利用數(shù)學(xué)歸納法．感謝閱讀ijm1時(shí)該矩陣為行階梯形．不妨設(shè)a0，作行變換r1，則矩陣化為行最簡(jiǎn)形．111a11設(shè)ms1結(jié)論成立．當(dāng)ms時(shí)，不妨設(shè)a0，有11aaaLaaaaLa1112131n1112131naaaLaa0bbLb2122232nriai1r122232n．i2,3,L,s3132333n32333nMMMMMMMMaaLa0bbLbas1s2s3sns2s3sn矩陣B(b)(i2,3,L,s;j2,3,L,n)為(s1)(n1)矩陣，由歸納假設(shè)，知B可感謝閱讀ij化為行階梯形矩陣，從而A也可化為行階梯形矩陣．由歸納假設(shè)，知B可化為行最簡(jiǎn)形矩陣，有.aaaaLaaLa111213141t1,t1L1n010cL0cc242,t12n001cL0cLc343,t13nrMMMMMMM，A0000L1cLct,t1tn0000L0000MMMMMMMM0000L0000100c01014c24001cr1a1jrj,j2,3,L,t34r11MMMM0110000000MMMM0000

L0cLcL01,t1L1ncc2,t12nL0cLc3,t13nMMM，L1cLct,t1tnL0000MMMML0000A的行最簡(jiǎn)形矩陣．要注意的是，矩陣的行階梯形矩陣一般不唯一，而矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣是唯一的．感謝閱讀由例5可得，利用初等行變換求解線(xiàn)性方程組的方法（也稱(chēng)為Gauss-Jordan消元法），其步驟是：謝謝閱讀（1）寫(xiě)出線(xiàn)性方程組的增廣矩陣；（2）將增廣矩陣用初等行變換化成行階梯形（等價(jià)于消元法的消元過(guò)程）；精品文檔放心下載（3）判斷線(xiàn)性方程組是否有解．如果行階梯形的最后一個(gè)非零行代表矛盾方程感謝閱讀0d0，則方程組無(wú)解；否則線(xiàn)性方程組有解，并進(jìn)行下一步；感謝閱讀（4）將行階梯形矩陣用初等行變換化成行最簡(jiǎn)形矩陣（等價(jià)于代入過(guò)程）；感謝閱讀（5）由行最簡(jiǎn)形矩陣得線(xiàn)性方程組的解．7利用Gauss-Jordan消元法求解線(xiàn)性方程組謝謝閱讀.2x x x2x1,1234xx2xx0,1234xx2x2x3,12344x2x4.6x123解對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化為行階梯形：2112M11122M3r1r3B1121M0r411121M0210M26420M4321122M3r2r31122M3r1r20003M3r10156M7r32r1330156M70001M141420156M70000M0其最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)的不是矛盾方程，則方程組有解．進(jìn)一步，1120M11030M0r2r0150M10150M1B——行最簡(jiǎn)形rrr6r10001M1230001M120000M00000M0得對(duì)應(yīng)的方程組為x3x0,1x31,5x231.x4解得x3x,13x5x1,23x1,4其中x為自由變量．令xk，則方程組的通解為感謝閱讀3 3.x3k,15k1,x2其中k為任意常數(shù)．x3k,1,x4例8 利用Gauss-Jordan消元法求解線(xiàn)性方程組精品文檔放心下載xxx1,123x2x4x2,1233.5xx2x123解 方程組的增廣矩陣111M1111B124M2r2r1033r2r251M3033因?yàn)?2，矛盾，所以方程組無(wú)解．

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111M132033M3，rr000M2參考例5、例7、例8，對(duì)線(xiàn)性方程組有如下重要結(jié)論：精品文檔放心下載定理2 對(duì)于n元線(xiàn)性方程組，當(dāng)增廣矩陣的行階梯形最后一個(gè)非零行代表矛盾方程謝謝閱讀時(shí)，則方程組無(wú)解；否則方程組有解，且（1）當(dāng)增廣矩陣的行階梯形有n個(gè)非零行時(shí)，方程組有唯一解；精品文檔放心下載（2）當(dāng)增廣矩陣的行階梯形少于n個(gè)非零行時(shí)，方程組有無(wú)窮多解．謝謝閱讀思 考 題 二1．為什么說(shuō)對(duì)線(xiàn)性方程組作同解變換相當(dāng)于對(duì)該方程組的增廣矩陣作相應(yīng)的初等行變換？精品文檔放心下載2．比較行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)．感謝閱讀3．回憶利用Gauss-Jordan消元法求解線(xiàn)性方程組的過(guò)程．精品文檔放心下載4．怎樣判別線(xiàn)性方程組有解或無(wú)解？在有解時(shí)是唯一解還是無(wú)窮多解？除了這三種情形，精品文檔放心下載線(xiàn)性方程組的解還有其它情形嗎？.第三節(jié)應(yīng)用舉例一、引例解答（1.1）的增廣矩陣110000M300100011M300011000M200r010011M0B001110M300001011M200，000101M100000101M100100011M300000000M0由定理2得方程組有無(wú)窮多解，且方程組的通解為xkk300, 1 1 2kk,212200,其中k,k3k212為任意常數(shù)．x4100,12xk,51xk,62要注意的是，方程組的解不一定都是實(shí)際問(wèn)題的解．由未知量的實(shí)際意義，應(yīng)滿(mǎn)足謝謝閱讀xkk3000,112xkk0,212312x4k21000,xk0,510,xk62即有k,k還需滿(mǎn)足0kk300,k100的非負(fù)整數(shù)．12212二、化學(xué)方程式的平衡.當(dāng)丙烷（C3H8）氣體燃燒時(shí),會(huì)產(chǎn)生二氧化碳和水，該反應(yīng)的化學(xué)反應(yīng)式具有下列反應(yīng)謝謝閱讀式C3H8+O2CO2+H2O，試平衡此化學(xué)反應(yīng)式。為了使反應(yīng)式平衡，選取適當(dāng)?shù)膞,x,x,x，使得感謝閱讀1 2 3 4xCH+xOx3CO+xHO．13822242由質(zhì)量守恒定律，對(duì)碳原子，有3xx；同理，對(duì)氫原子，有8x2x；對(duì)氧原子，有13142x2xx．從而得線(xiàn)性方程組2343xx0,132x0,8x12x40,2xx234方程組的通解為xk,x5k,x3k,x4k．取k1，則化學(xué)反應(yīng)式為1234C3H8+5O23CO2+4H2O．三、封閉的列昂惕夫(WassilyLeontief)投入-產(chǎn)出模型精品文檔放心下載設(shè)某個(gè)封閉的產(chǎn)業(yè)鏈有n個(gè)工廠(chǎng)生產(chǎn)n種不同的產(chǎn)品，每個(gè)工廠(chǎng)需要投入自己的產(chǎn)品和精品文檔放心下載其它工廠(chǎng)的產(chǎn)品．所謂封閉，是指每個(gè)工廠(chǎng)需要的產(chǎn)品該產(chǎn)業(yè)鏈內(nèi)部可以提供，而不需要其謝謝閱讀它產(chǎn)業(yè)鏈提供．試問(wèn)在滿(mǎn)足總需求的條件下，每個(gè)工廠(chǎng)的產(chǎn)出各是多少？感謝閱讀xj表示第j個(gè)工廠(chǎng)的產(chǎn)出量，aij表示第j個(gè)工廠(chǎng)生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，需要投入第i個(gè)工廠(chǎng)的產(chǎn)品數(shù)量（i,j1,2,L,n）．此處一個(gè)單位的投入或產(chǎn)出，是指價(jià)值為1元人民幣謝謝閱讀的產(chǎn)品．由于產(chǎn)業(yè)鏈的封閉，第j個(gè)工廠(chǎng)的總投入等于第j個(gè)工廠(chǎng)的產(chǎn)出，則感謝閱讀xaxaxLax, 1 11 1 12 2 1n nxaxaxLax,謝謝閱讀 2 21 1 22 2 2n nLLLLLLLLLLLxaxaxLax,感謝閱讀n n11 n2 2 nn n問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求（1.10）的非負(fù)整數(shù)解．（1.10）可以化為精品文檔放心下載(a 1)xaxLax0,謝謝閱讀 11 1 12 2 1n nax(a 1)xLax0,感謝閱讀 21 1 22 2 2n nLLLLLLLLLLLLL精品文檔放心下載axaxL(a 1)x0.謝謝閱讀n11 n2 2 nn n現(xiàn)給出n4時(shí)，各個(gè)工廠(chǎng)相互之間的需求有向圖（圖2）．謝謝閱讀圖2我們得到線(xiàn)性方程組

.（1.10）（1.11）.1x1x1x0,21428344感謝閱讀1x3x1x1x0,感謝閱讀4283441謝謝閱讀1x1x3x1x0,感謝閱讀41424384精品文檔放心下載1x1x5x0.422384方程組的增廣矩陣1111484213114484B113144481150428

M01M0r0M00M00

0026M0233910M046，1901M023000M0得方程組的解為x26x，x39x，x19x，其中x為自由變量．令xk，得12342464323444方程組的通解為x26k，x39k，x19k，xk．所以四個(gè)工廠(chǎng)的產(chǎn)出量分別123246323452m,39m,38m,46m，其中m為非負(fù)整數(shù)．謝謝閱讀題一（A）1．用消元法解下列線(xiàn)性方程