第第頁專題7.2等比數(shù)列及求和題型一基本量的計算題型二等比中項及等比數(shù)列項的性質(zhì)題型三等比數(shù)列的判定與證明題型四等比數(shù)列前項和的性質(zhì)題型五等比數(shù)列中的單調(diào)，最值問題題型六等比數(shù)列的簡單應用題型七等差、等比數(shù)列的綜合應用題型一 基本量的計算例1．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）在等比數(shù)列中，，則“”是“數(shù)列的公比為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】結合等比數(shù)列的通項公式，充分、必要條件的定義判斷即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由，，得，則；由，，得．故“”是“數(shù)列的公比為”的必要不充分條件．故選：B例2．（2023春·高三課時練習）在等比數(shù)列中，公比為q，前n項和為.(1)，，求n；(2)，求及.【答案】(1)6(2)，【分析】（1）由等比數(shù)列前n項和公式與通項公式可解；（2）等比數(shù)列前n項和公式列方程組，解方程組可解.【詳解】（1）顯然，由，即，解得，又，即，所以.（2）由知，由題意得

，兩式相除得，得，，所以，.練習1．（2023春·高二課時練習）在等比數(shù)列中．(1)若，，，求和；(2)已知，，求.【答案】(1)，.(2)或【分析】（1）（2）由等比數(shù)列通項公式和前項和公式列方程組求解即可.【詳解】（1）由得，解得，又由得，解得.所以，.（2）顯然，則，，兩式相除得，解得，時可解得，則；時可解得，則.所以或練習2．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預測）已知正項等比數(shù)列{}的前n項和為，若，則=（

）A．64 B．81 C．128 D．192【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)結合求和公式，基本量運算，寫出通項公式即得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，所以，由，得，所以，解得或（舍去），所以.故選：B.練習3．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高級中學?？计谥校┮阎缺葦?shù)列滿足，，若的前n項和，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比與，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式列式求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，解得，所以.因為，所以，所以,解得.故選:A.練習4．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列中，，若其前k項和為86，則________．【答案】【分析】由題意可知是以為首項，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】由可得：，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以其前k項和為，故，即.故答案為：練習5．（2023·甘肅金昌·統(tǒng)考模擬預測）在等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和．若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及求和公式列方程求解.【詳解】設的公比為，則，解得，由，解得，所以，解得.故選：C題型二 等比中項及等比數(shù)列項的性質(zhì)例3．（2023春·高二課時練習）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，求.【答案】或【分析】設等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件求出、的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，則，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，解得，當時，，這與矛盾，所以，，則，所以，，解得.①當時，，此時；②當時，，此時.綜上所述，或.例4．（2023春·高三課時練習）已知數(shù)列為等比數(shù)列.(1)若，且，求的值；(2)若數(shù)列的前三項和為168，，求，的等比中項.【答案】(1)6(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可；（2）利用等比數(shù)列前n項和公式結合等比通項公式求出，再利用等比中項定義求解即可.【詳解】（1）因為，所以，即，又，所以；（2）設等比數(shù)列{a}的公比為q，因為，所以.由已知得，即，解得，若G是，的等比中項，則有，所以，所以，的等比中項為.練習6．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知數(shù)列為等比數(shù)列，則（

）A．數(shù)列，，成等比數(shù)列B．數(shù)列，，成等比數(shù)列C．數(shù)列，，成等比數(shù)列D．數(shù)列，，成等比數(shù)列【答案】BD【分析】根據(jù)比數(shù)列的定義，逐一判斷選項.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，A.由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，當時，，故A錯誤；B.可知數(shù)列，，每項都不為0，且，故B正確．C.當數(shù)列為1，，1，，1……時，，故C錯誤；D.數(shù)列，，的每一項都不為0，且，故D正確.故選：BD練習7．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列、滿足.其中是等差數(shù)列，若，則_____________.【答案】1011【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及對數(shù)的運算求得，進而求解結論.【詳解】數(shù)列、滿足.其中是等差數(shù)列，，為等差數(shù)列，設公差為，則，，則，故為等比數(shù)列，，.故答案為：1011.練習8．（2022·高三課時練習）已知等比數(shù)列的首項為2，前項滿足，，則正整數(shù)m＝______.【答案】4【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)先求出公比，再由等比數(shù)列前項和列出，即可得到答案【詳解】解：因為等比數(shù)列的前項滿足，，所以，所以公比，所以，解得，故答案為：4練習9．（2022·全國·高三專題練習）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，若，，，數(shù)列的前項和為，則數(shù)列前n項和為______.【答案】【分析】由已知求的通項公式，進而可得的通項公式，再求的通項公式并判斷數(shù)列的性質(zhì)，應用等差數(shù)列前n項和公式求前n項和.【詳解】由題意，，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，∴，解得，，則，則數(shù)列為等差數(shù)列，，故，，故答案為：練習10．（2023·全國·高三專題練習）已知一個等比數(shù)列的前項和?前項和?前項和分別為??，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】主要考察等比數(shù)列的性質(zhì)，字母為主，對學生的抽象和邏輯思維能力要求比較高?！驹斀狻慨敃r，當時，對于A,當時，故A錯，對于B,當時，，故B錯，對于C,當時，，故C錯，對于D,當時，，，當時，則，故選項正確，故選：D題型三 等比數(shù)列的判定與證明例5．（2023·山東濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：和都是等比數(shù)列；(2)求的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，兩式相加、相減，結合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）可得，，即可求出和的通項公式，從而得到，再利用分組求和法及等邊數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】（1）因為，，所以，，又由，得，，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）得，，所以，，所以，所以．例6．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，．證明：數(shù)列是等比數(shù)列；【答案】證明見解析【分析】由可得，即可證明結論.【詳解】由得：，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.練習11．（2023春·湖北·高三武漢市第四十九中學校聯(lián)考期中）記為數(shù)列的前項和，給出以下條件，其中一定可以推出數(shù)列為等比數(shù)列的條件是（

）．A． B． C． D．是等比數(shù)列【答案】C【分析】用與的關系，求出通項公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可判斷正誤.【詳解】對于A，已知，所以，所以，，不符合上式，A選項錯誤；對于B，已知，當首項為零時，不符合題意，B選項錯誤；對于C，已知，所以，則所以，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，C選項正確；對于D，已知是等比數(shù)列，則設的通項公式為則，不符合等比數(shù)列的通項公式，D選項錯誤；故選：C.練習12．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，．證明：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】證明見解析【分析】由已知及，求得的遞推關系，可證得為等比數(shù)列.【詳解】（1）由題意，當時，，得，解得．由題意知，①

當時，，②①-②得，因為，所以．則，∵，∴所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．練習13．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足：.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設，利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）先利用（1）中結論求出數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）設，則，且，因為，所以，即是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列.（2）由（1）知，則，即，則，，兩式相減得：，所以.練習14．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，若．(1)證明：為等比數(shù)列．(2)求的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用條件變形化簡得到，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可得到證明；（2）利用（1）中的條件，求出，再結合條件即可得出結果.【詳解】（1）由題意知，所以為等比數(shù)列．其首項，．（2）由（1）可知，又，所以．練習15．（河南省部分重點中學2022-2023學年高三下學期5月質(zhì)量檢測數(shù)學試題）（多選）數(shù)列中，．則下列結論中正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．C． D．【答案】AC【分析】由已知遞推關系式，可得，則可得到是等比數(shù)列，進而得到，再利用累加法得到，然后逐項判斷．【詳解】因為數(shù)列中，，所以，即，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，故A正確；由累加法得，所以，從而，故B不正確；當為奇數(shù)時，是遞增數(shù)列，所以，當為偶數(shù)時，是遞減數(shù)列，所以，所以，故C正確；又，，所以，故D不正確.故選：AC.題型四 等比數(shù)列前項和的性質(zhì)例7．（2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的公比，且，則___________.【答案】120【分析】在等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則，結合所求，化簡計算，即可得答案.【詳解】因為在等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則，所以.故答案為：120例8．（2023春·高二課時練習）在等比數(shù)列中，若，則________.【答案】28【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)：也成等比數(shù)列可解此題.【詳解】由數(shù)列是等比數(shù)列，且易知公比，所以也構成等比數(shù)列，即構成等比數(shù)列，從而可得，解得或，又，所以.故答案為：28練習16．（2022春·遼寧·高三遼陽縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）（多選）已知等比數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是（

）A．數(shù)列為等比數(shù)列B．數(shù)列，，，…為等比數(shù)列C．數(shù)列，，，，…為等比數(shù)列D．數(shù)列，，，…為等比數(shù)列【答案】AB【分析】按照等比數(shù)列的定義及性質(zhì)依次判斷4個選項即可.【詳解】由等比數(shù)列的定義可知，數(shù)列每項乘以一個不為0的常數(shù)構成的數(shù)列為等比數(shù)列，A正確；等比數(shù)列中等距離項構成的數(shù)列為等比數(shù)列，B正確；因為構成一個等差數(shù)列，所以當時不能構成等比數(shù)列，C錯誤；，此時不能構成等比數(shù)列，D錯誤.故選：AB.練習17．（2023春·安徽宿州·高三江西省泰和中學校聯(lián)考期中）（多選）已知等比數(shù)列中，滿足，，則（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列 B．數(shù)列是遞增數(shù)列C．數(shù)列是等差數(shù)列 D．數(shù)列中，，，仍成等比數(shù)列【答案】AC【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義以及性質(zhì)即可根據(jù)選項判斷ABC,由，成等比數(shù)列即可判斷D.【詳解】由題意可知，對于A,,所以，故，所以為等比數(shù)列，故A正確，對于B,，，所以為等比數(shù)列，且公比為，首項為1，故是遞減數(shù)列，對于C,，所以為公差為1的等差數(shù)列，故C正確，對于D,所以，成等比數(shù)列，，，不成等比數(shù)列，故D錯誤，故選：AC練習18．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式，求由其奇數(shù)項所組成的數(shù)列的前項和．【答案】．【分析】判斷出是等比數(shù)列，所以其奇數(shù)項也成等比數(shù)列，確定其首項和公比，直接利用等比數(shù)列的前項公式求和即可．【詳解】由，得．又因為，所以是等比數(shù)列，其公比，首項．所以的奇數(shù)項也成等比數(shù)列，公比為，首項為，所以．練習19．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知實數(shù)數(shù)列的前n項和為，下列說法正確的是（

）．A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則恒成立B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，…為等差數(shù)列C．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，，…為等比數(shù)列【答案】BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判定AB選項，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判定CD選項.【詳解】若數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設其公差為d,則,顯然當才相等，故A錯誤，而，作差可得成立，故B正確；若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設其公比為q，則，作商可得或所以或，故C錯誤；由題意得各項均不為0，而實數(shù)范圍內(nèi)，，即且，結合選項B的計算可得，故D正確.故選：BD.練習20．（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期中）已知為等比數(shù)列的前n項和，，，則的值為（

）A．85 B．64 C．84 D．21【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，即可計算求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由題意可知，，得，，所以.故選：A題型五 等比數(shù)列中的單調(diào)，最值問題例9．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預測）在等比數(shù)列中，若，，則當取得最大值時，_______________．【答案】6【分析】利用題意的等式得到數(shù)列的公比，繼而求出首項，即可得到通項公式，判斷數(shù)列的單調(diào)性和符號，即可求解【詳解】在等比數(shù)列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得單調(diào)遞減，且，因為，，所以當時，，當時，，所以當取得最大值時，．故答案為：6例10．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等比數(shù)列公比為，若，則“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“且”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】由等比數(shù)列及已知，要為遞增數(shù)列只需在上恒成立，討論、、，結合的符號，再根據(jù)充分必要性的定義即可得答案.【詳解】由題設且，要為遞增數(shù)列，只需在上恒成立，當，不論取何值，總存在，不滿足要求；當，，則，不滿足要求；，總存在，不滿足要求；當，，則，不滿足；，若，，顯然，即，不滿足；，則在上恒成立，滿足.所以為遞增數(shù)列有且.所以，“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“且”的充分不必要條件.故選：B.練習21．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列的前n項和，，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求的最大值和最小值．【答案】(1)，；(2)最大值16，最小值8【分析】（1）根據(jù)給定的條件，求出等差數(shù)列的首項及公差，等比數(shù)列公比求解作答.（2）由（1）可得，再分為奇數(shù)與偶數(shù)時，結合的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，因，，則，解得，即有，設等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，即，所以數(shù)列，的通項公式分別為，.（2）由（1）知，，當時，，此時數(shù)列是遞減的，恒有，此時；當時，，此時數(shù)列是遞增的，恒有，此時；綜上可得，的最大值為16，最小值為8.練習22．（2023·全國·高三專題練習）設公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．數(shù)列無最大值【答案】B【分析】由題分析出，可得出數(shù)列為正項遞減數(shù)列，結合題意分析出正項數(shù)列前項都大于，而從第項起都小于，進而可判斷出各選項的正誤.【詳解】當時，則，不合乎題意；當時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯誤；對任意的，，且有，可得，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結合可得，結合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯誤故選：B.練習23．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）已知正項等比數(shù)列滿足，則取最大值時的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的通項公式及函數(shù)的單調(diào)性，結合數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，可得.有，由數(shù)列單調(diào)遞減，所以取得最大值時的值為9，故選：B.練習24．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？级＃┮阎獢?shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．數(shù)列的最大項為 B．數(shù)列的最小項為C．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列 D．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列【答案】D【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項的正負和的正負得到最大項和最小項，知AB正誤；利用和可知CD正誤.【詳解】對于A，由題意知：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項為，A正確；對于B，當為偶數(shù)時，，，最??；當為奇數(shù)時，；綜上所述：數(shù)列的最小項為，B正確；對于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.故選：D.練習25．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）（多選）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)給定的條件分析公比q的符號和大小，再逐項分析.【詳解】由題意，同號，即與同號，，又有…①或…②；若為①，則有，即；若為②，則有，則不可能大于1，即②不成立；，并且，，即是遞減的正數(shù)列，A錯誤；所以，B正確；，即對任意的n都成立，C錯誤；當時，，當時，，是的最大值，D正確；故選：BD.題型六 等比數(shù)列的簡單應用例11．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設該馬第天行走的里程數(shù)為，分析可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式求出的值，即可求得的值.【詳解】設該馬第天行走的里程數(shù)為，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，該馬七天所走的里程為，解得.故該馬第五天行走的里程數(shù)為.故選：D.例12．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）小明的父母在他入讀初中一年級起的9月1日向銀行教育儲蓄賬戶存入1000元，并且每年在9月1日當天都存入一筆錢，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，連續(xù)存6年，每年到期利息連同本金自動轉存，在小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天一次性取出，假設教育儲蓄存款的年利率為p，不考慮利率的變化．在小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天，一次性取出的金額總數(shù)（單位：千元）為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由條件確定每年的存款的本息和，再利用錯位相減法求六年的本息和即可.【詳解】設第年的存款到取出時的本息和為（千元），，則，，，，，，所以小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天，一次性取出的金額總數(shù)為：所以，所以，所以，所以，故選：D.練習26．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學校考三模）中國古代數(shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關.”則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.【答案】6【分析】根據(jù)題意分析，看成首項，公比的等比數(shù)列，已知，繼而求出，即可得出答案.【詳解】將這個人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，，其公比，令數(shù)列的前n項和為，則，而，因此，解得，所以此人在第六天行走的路程（里）.故答案為：6練習27．（2023·貴州遵義·校考模擬預測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與前項和公式計算．【詳解】由題意記10人每人所得玉米時依次為，則時，，，即是等比數(shù)列，由已知，，（斗）．故選：A．練習28．（2023春·安徽·高三合肥市第八中學校聯(lián)考期中）某公司為慶祝公司成立9周年，特意制作了兩個熱氣球，在氣球上寫著“9年耕耘，碩果累累”8個大字，已知熱氣球在第一分鐘內(nèi)能上升30m，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的，則該氣球上升到70m高度至少要經(jīng)過（

）A．3分鐘 B．4分鐘 C．5分鐘 D．6分鐘【答案】B【分析】設表示熱氣球在第n分鐘內(nèi)上升的高度，由條件求出數(shù)列的通項公式，再由求前項和，由條件求氣球上升到70m高度時所需時間即可.【詳解】設表示熱氣球在第n分鐘內(nèi)上升的高度，由已知．所以前秒熱氣球上升的總高度，因為，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，又，，所以該氣球至少要經(jīng)過4分鐘才能上升到70高度，故選：B．練習29．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）“勾股樹”，也被稱為畢達哥拉斯樹，是根據(jù)勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹形圖形．如圖所示，以正方形的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長向外作兩個正方形，如此繼續(xù)，若共得到127個正方形，且，則這127個正方形的周長之和為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】確定不同邊長的正方形的個數(shù)，構成等比數(shù)列，求出不同正方形的種數(shù)，結合正方形的邊長構成以8為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求得答案.【詳解】依題意可知，不同邊長的正方形的個數(shù)，構成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故令，即，即有7種邊長不同的正方形，又因為正方形的邊長構成以8為首項，為公比的等比數(shù)列，故邊長為8的正方形有1個，邊長為的正方形有2個，邊長為4的正方形有4個，邊長為的正方形有8個，邊長為2的正方形有16個，邊長為的正方形有32個，邊長為1的正方形有64個，這127個正方形的周長之和為，故選：A練習30．（2023春·湖北孝感·高三校聯(lián)考階段練習）為響應國家號召，某地出臺了相關的優(yōu)惠政策鼓勵“個體經(jīng)濟”.個體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進貨，因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應求.據(jù)測算：他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預計到2023年5月底他的年所得收入（扣除當月生活費且還完貸款）為（

）元（參考數(shù)據(jù)：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．32000【答案】D【分析】根據(jù)題意，由條件可得數(shù)列是首項為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式即可得到結果.【詳解】設2022年6月底小王手中有現(xiàn)款為元，設2022年6月底為第一個月，以此類推，設第個月底小王手中有現(xiàn)款為，第個月月底小王手中有現(xiàn)款為，則，即，所以數(shù)列是首項為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，∴，即，年所得收入為元.故選：D.題型七 等差、等比數(shù)列的綜合應用例13．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）在正項等比數(shù)列中，若是與的等差中項，則數(shù)列的公比______.【答案】5【分析】設正項等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式整理得，解得即可.【詳解】解：設正項等比數(shù)列的公比為，，因為是與的等差中項，所以，即，即，解得或（舍去）；故答案為：.例14．（2023·北京·北京八十中?？寄M預測）已知是首項為正數(shù)，公比不為的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，那么（

）A． B． C． D．的大小關系不能確定【答案】C【分析】由基本不等式可得，由等號取不到可得答案.【詳解】由題意可得四個正數(shù)滿足，，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，由基本不等式可得，又公比，故，上式取不到等號，所以，即.故選：C練習31．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？寄M預測）若分別從下表的第一、二、三列中各取一個數(shù)，依次作為等比數(shù)列{}的，，；分別從下表的第一、二、三行中各取一個數(shù)，依次作為等差數(shù)列的，，．第一列第二列第三列第一行147第二行369第三行258(1)請寫出數(shù)列{}，{}的一個通項公式；(2)若數(shù)列{}單調(diào)遞增，設，數(shù)列{}的前n項和為．求證：．【答案】(1)，（或、、）(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結合等差、等比數(shù)列定義分別寫出一個通項公式即可；（2）應用錯位相減法、等比數(shù)列前n項和公式求，