數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法．根本步驟：①證明：當(dāng)時(shí)，命題成立；②假設(shè)時(shí)命題成立，證明：當(dāng)時(shí)，命題成立．根據(jù)①②可以斷定命題對一切正整數(shù)n≥n0都成立．?dāng)?shù)學(xué)歸納法局部1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法正整數(shù)2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明步驟n＝n0n＝k(k≥n0)n＝k＋11.說明：歸納法是一種推理方法，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法．歸納法幫助我們提出猜測，而數(shù)學(xué)歸納法的作用是證明猜測．“觀察——猜測——證明〞是解答與正整數(shù)有關(guān)命題的有效途徑．利用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題范圍比較廣泛，可以涵蓋代數(shù)、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何問題、整除性問題等等，所涉及的題型主要有以下幾個(gè)方面：(1)數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和；(2)由一些恒等式、不等式改編的探究性問題，求使命題成立的參數(shù)的值或范圍；(3)猜測并證明對正整數(shù)n都成立的一般性命題．2.數(shù)學(xué)歸納法的主要應(yīng)用(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題．(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)根本步驟缺一不可．3．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的本卷須知【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋

1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．．題型一恒等式問題

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何n∈N＋都成立．證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時(shí)，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)〞，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式兩邊會增加多少項(xiàng)．難點(diǎn)在于尋找n＝k時(shí)和n＝k＋1時(shí)的等式的聯(lián)系．【例2】幾個(gè)半圓的圓心在同一條直線l上，這幾個(gè)半圓每兩個(gè)都相交，且都在直線l的同側(cè)，求證這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成的圓弧段數(shù)為f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)．題型二幾何問題用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)〞，即幾何元素從k個(gè)變成k＋1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，實(shí)在分析不出來的情況下，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧．

題型三不等式問題【例4】(12分)在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論． 歸納——猜測——證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、猜測，探索出一般規(guī)律．題型四“歸納、猜測、證明〞問題審題指導(dǎo)【題后反思】對于遞推公式求通項(xiàng)公式，可以把遞推公式變形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的知識來解決，當(dāng)用上述方法不能解決問題時(shí)，常用歸納、猜測和證明的方法來解決問題，用該法要求計(jì)算準(zhǔn)確，歸納、猜測正確．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測對任何自然數(shù)都成立．【訓(xùn)練4】設(shè)數(shù)列{an}滿足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)當(dāng)a1＝2時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜測出an的一個(gè)通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)a1≥3時(shí)，證明對所有的n≥1，有an≥n＋2.(3)在〔2〕的前提下，證明：(2)證明①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)不等式成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3.即n＝k＋1時(shí)，ak＋1≥(k＋1)＋2.由①②可知，對n≥1，都有an≥n＋2.〔3〕證明〔略〕學(xué)生證自己證【例如】當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，7n＋1能否被8整除？假設(shè)能，用數(shù)學(xué)歸納法證明；假設(shè)不能，請舉出反例．[錯(cuò)解](1)當(dāng)n＝1時(shí)，7＋1＝8能被8整除．命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即7k＋1能被8整除．那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，7k＋1＋1＝7(7k＋1)－6不能被8整除．由(1)和(2)知，n為正奇數(shù)時(shí)，7n＋1不能被8整除．題型五整除問題不要機(jī)械套用數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟，而忽略了n是正奇數(shù)的條件．證明前要看準(zhǔn)條件．[正解](1)當(dāng)n＝1時(shí)，7＋1＝8能被8整除，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即7k＋1能被8整除，那么當(dāng)n＝k＋2時(shí)，7k＋2＋1＝72(7k＋1)＋1－72＝49(7k＋1)－48，因?yàn)?k＋1能被8整除，且48能被8整除，所以7k＋2＋1能被8