本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，考試時間120分鐘，滿分150分．第Ⅰ卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<2}，B＝{x|lg(x－1)>0}，則A∩(?UB)＝()A．{x|1<x<2} B．{x|1≤x<2}C．{x|x<2} D．{x|x≤1}答案C解析B＝{x|x>2}，∴?UB＝{x|x≤2}，∴A∩(?UB)＝{x|x<2}，故選C.2．定義運算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，則符合條件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋i,－i2i))＝0的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析由題意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，則z＝eq\f(－i1＋i,2i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(i,2)，∴eq\x\to(z)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(i,2)，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，故選B.3．下列說法中，不正確的是()A．已知a，b，m∈R，命題：“若am2<bm2，則a<b”為真命題B．命題：“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0>0”的否定是：“?x∈R，x2－x≤0”C．命題“p或q”為真命題，則命題p和命題q均為真命題D．“x>3”是“x>2”的充分不必要條件答案C解析本題考查命題真假的判斷．命題“p或q”為真命題，則命題p和命題q中至少有一個為真命題，C錯誤，故選C.4．函數(shù)y＝(x3－x)2|x|的圖象大致是()答案B解析易判斷函數(shù)為奇函數(shù)，由y＝0得x＝±1或x＝0.且當(dāng)0<x<1時，y<0；當(dāng)x>1時，y>0，故選B.5．sin2α＝eq\f(24,25)，0<α<eq\f(π,2)，則eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值為()A．－eq\f(1,5) B.eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5) D.eq\f(7,5)答案D解析eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosα＋\f(\r(2),2)sinα))＝sinα＋cosα，又∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝eq\f(49,25)，0<α<eq\f(π,2)，∴sinα＋cosα＝eq\f(7,5)，故選D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入t的值為5，則輸出的s的值為()A.eq\f(9,16) B.eq\f(5,4)C.eq\f(21,16) D.eq\f(11,8)答案D解析依題意，當(dāng)輸入t的值是5時，執(zhí)行題中的程序框圖，s＝1，k＝2<5，s＝1＋eq\f(1,2)，k＝3<5，s＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,22)，k＝4<5，s＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)，k＝5≥5，此時結(jié)束循環(huán)，輸出的s＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＝eq\f(11,8)，選D.7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．2π－eq\f(2,3) B．2π－eq\f(4,3)C.eq\f(5π,3) D．2π－2答案A解析本題考查幾何體的三視圖和體積．由三視圖得該幾何體為底面半徑為1，高為2的圓柱體挖去一個底面邊長為eq\r(2)的正方形，高為1的正四棱錐后剩余的部分，則其體積為2×π×12－eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝2π－eq\f(2,3)，故選A.8．將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象向右平移eq\f(π,12)個單位后的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為()A．0 B．－1C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)答案D解析f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移eq\f(π,12)個單位后得到g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)＋φ))的圖象，又g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴g(0)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋φ))＝±1，∴－eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，∴φ＝eq\f(2π,3)＋kπ(k∈Z)，又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，∴f(x)min＝－eq\f(\r(3),2).9．設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤\r(2)，,x－y≥－\r(2),y≥0))，所表示的區(qū)域為M，函數(shù)y＝eq\r(1－x2)的圖象與x軸所圍成的區(qū)域為N，向M內(nèi)隨機投一個點，則該點落在N內(nèi)的概率為()A.eq\f(2,π) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,8) D.eq\f(π,16)答案B解析本題考查不等式組表示的平面區(qū)域、幾何概型．在平面直角坐標系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域為以(eq\r(2)，0)，(－eq\r(2)，0)，(0，eq\r(2))為頂點的三角形區(qū)域，函數(shù)y＝eq\r(1－x2)的圖象與x軸圍成的區(qū)域如圖中的陰影部分所示，則所求概率為eq\f(\f(1,2)π×12,\f(1,2)×2\r(2)×\r(2))＝eq\f(π,4)，故選B.10．如圖，在正六邊形ABCDEF中，點P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的一個動點，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AF,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))B．[3,4]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))答案B解析本題考查平面向量的運算、線性規(guī)劃的應(yīng)用．以A為原點，分別以AB，AE所在的直線為x，y軸建立平面直角坐標系，設(shè)正六邊形的邊長為1，則A(0,0)，B(1,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，D(1，eq\r(3))，E(0，eq\r(3))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，設(shè)點P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0)，則由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AF,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)λ＋μ，,y＝\f(\r(3),2)λ))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2\r(3),3)y，,μ＝x＋\f(\r(3),3)y，))則λ＋μ＝x＋eq\r(3)y，又因為點P在△CDE內(nèi)，所以當(dāng)點P與點D重合時，λ＋μ取得最大值1＋eq\r(3)×eq\r(3)＝4，當(dāng)點P在線段CE上時，λ＋μ取得最小值3，所以λ＋μ的取值范圍為[3,4]，故選B.11．在平面直角坐標系xOy中，點P為橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的下頂點，M，N在橢圓上，若四邊形OPMN為平行四邊形，α為直線ON的傾斜角，α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，則橢圓C的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))答案A解析因為OP在y軸上，在平行四邊形OPMN中，MN∥OP，因此M，N的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，即M，N關(guān)于x軸對稱，|MN|＝|OP|＝a，可設(shè)M(x，－y0)，N(x，y0)．由kON＝kPM得y0＝eq\f(a,2).把點N的坐標代入橢圓方程得|x|＝eq\f(\r(3),2)b，點Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)b，\f(a,2))).因為α是直線ON的傾斜角，因此tanα＝eq\f(a,2)÷eq\f(\r(3),2)b＝eq\f(a,\r(3)b).又α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，因此eq\f(\r(3),3)<tanα≤1，eq\f(\r(3),3)<eq\f(a,\r(3)b)≤1，eq\f(\r(3),3)≤eq\f(b,a)<1，eq\f(1,3)≤eq\f(b2,a2)<1，e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3)))，選A.12．定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對任意的實數(shù)x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，則使x2f(x)－f(1)<x2－1成立的實數(shù)x的取值范圍為()A．{x|x≠±1} B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)答案B解析令g(x)＝x2f(x)－x2，則g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)－2x＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]，當(dāng)x>0時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減．又f(x)是偶函數(shù)，則g(－x)＝x2f(－x)－x2＝x2f(x)－x2＝g(x)，即g(x)是偶函數(shù)．不等式x2f(x)－f(1)<x2－1可變形為x2f(x)－x2<f(1)－1，即g(x)<g(1)，g(|x|)<g(1)，|x|>1，解得x<－1或x>1，選項B正確．第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)13．某單位有員工90人，其中女員工有36人，為做某項調(diào)查，擬采用分層抽樣法抽取容量為15的樣本，則男員工應(yīng)選取的人數(shù)是________．答案9解析男員工應(yīng)抽取的人數(shù)為eq\f(90－36,90)×15＝9.14．已知三棱錐P－ABC的頂點P、A、B、C在球O的球面上，△ABC是邊長為eq\r(3)的等邊三角形，如果球O的表面積為36π，那么P到平面ABC距離的最大值為________．答案3＋2eq\r(2)解析依題意，邊長是eq\r(3)的等邊△ABC的外接圓半徑r＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(3),sin60°)＝1，∵球O的表面積為36π＝4πR2，∴球O的半徑R＝3，∴球心O到平面ABC的距離d＝eq\r(R2－r2)＝2eq\r(2)，∴球面上的點P到平面ABC距離的最大值為R＋d＝3＋2eq\r(2).15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果△ABC的面積等于8，a＝5，tanB＝－eq\f(4,3)，那么eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________.答案eq\f(5\r(65),4)解析△ABC中，∵tanB＝－eq\f(4,3)，∴sinB＝eq\f(4,5)，cosB＝－eq\f(3,5)，又S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝2c＝8，∴c＝4，∴b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝eq\r(65)，∴eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(5\r(65),4).16．過直線l：x＋y＝2上任意一點P向圓C：x2＋y2＝1作兩條切線，切點分別為A，B，線段AB的中點為Q，則點Q到直線l的距離的取值范圍為________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2)))解析依題意，設(shè)點P(x0,2－x0)，則直線AB的方程為x0x＋(2－x0)y＝1(注：由圓x2＋y2＝r2外一點E(x0，y0)向該圓引兩條切線，切點分別為F，G，則直線FG的方程是x0x＋y0y＝r2)，直線OP的方程是(2－x0)x－x0y＝0，其中點Q是直線AB與OP的交點，因此點Q(x，y)的坐標是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0x＋2－x0y＝1，,2－x0x－x0y＝0))的解．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0x＋2－x0y＝1，,2－x0x－x0y＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2－x02＋x\o\al(2,0))，,y＝\f(2－x0,2－x02＋x\o\al(2,0))，))即點Qeq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2－x02＋x\o\al(2,0))，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－x0,2－x02＋x\o\al(2,0))))，點Q到直線l的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,2－x02＋x\o\al(2,0))－2)),\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x\o\al(2,0)－2x0＋2)－2)),\r(2)).注意到0<eq\f(1,x\o\al(2,0)－2x0＋2)＝eq\f(1,x0－12＋1)≤1，－2<eq\f(1,x\o\al(2,0)－2x0＋2)－2≤－1,1≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x\o\al(2,0)－2x0＋2)－2))<2，所以eq\f(\r(2),2)≤eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x\o\al(2,0)－2x0＋2)－2)),\r(2))<eq\r(2)，即點Q到直線l的距離的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2))).三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S3＝39，且2a2是3a1與a3的等差中項．(1)求數(shù)列{an}的通項an；(2)若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，bn＝eq\f(1,log3an·log3an＋2)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，問是否存在正整數(shù)n使得Tn>eq\f(1,2)成立？若存在，求出n的最小值；若不存在，請說明理由．解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由S3＝39得a1(1＋q＋q2)＝39.①因為2a2是3a1與a3的等差中項，則3a1＋a3＝4a2.即q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3.代入①式得：當(dāng)q＝1時，a1＝13，{an}的通項公式為an＝13；當(dāng)q＝3時，a1＝3，{an}的通項公式為an＝3×3n－1＝3n.(2)因為數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以an＝3n，bn＝eq\f(1,log33n·log33n＋2)＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2))).由Tn>eq\f(1,2)得n2－n－4>0，即n>eq\f(1＋\r(17),2).又n∈N*，所以存在最小正整數(shù)n＝3，使得Tn>eq\f(1,2)成立．18．(本小題滿分12分)2016年1月19日，習(xí)近平主席開啟對沙特、埃及、伊朗為期5天的國事訪問．某校高二文科一班主任為了解同學(xué)們對此事的關(guān)注情況，在該班進行了一次調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在全班50名同學(xué)中，對此事關(guān)注的同學(xué)有30名．該班在本學(xué)期期末考試中政治成績(滿分100分)的莖葉圖如下：(1)求“對此事不關(guān)注者”的政治期末考試成績的中位數(shù)與平均數(shù)；(2)若成績不低于60分記為“及格”，從“對此事不關(guān)注者”中隨機抽取1人，該同學(xué)及格的概率為P1，從“對此事關(guān)注者”中隨機抽取1人，該同學(xué)及格的概率為P2，求P2－P1的值；(3)若成績不低于80分記為“優(yōu)秀”，請以是否優(yōu)秀為分類變量．①補充下面的2×2列聯(lián)表；政治成績優(yōu)秀政治成績不優(yōu)秀合計對此事關(guān)注者(單位：人)對此事不關(guān)注者(單位：人)合計②是否有90%以上的把握認為“對此事是否關(guān)注”與政治期末成績是否優(yōu)秀有關(guān)系？參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)“對此事不關(guān)注者”的20名同學(xué)，成績從低到高依次為：42,46,50,52,53,56,61,61,63,64,66,66,72,72,76,82,82,86,90,94，中位數(shù)為eq\f(64＋66,2)＝65，平均數(shù)為eq\f(42＋46＋50＋52＋53＋56＋61＋61＋63＋64＋66＋66＋72＋72＋76＋82＋82＋86＋90＋94,20)＝66.7.(2)由條件可得P1＝eq\f(20－6,20)＝eq\f(7,10)，P2＝eq\f(30－5,30)＝eq\f(5,6)，所以P2－P1＝eq\f(5,6)－eq\f(7,10)＝eq\f(2,15).(3)①補充的2×2列聯(lián)表如下：政治成績優(yōu)秀政治成績不優(yōu)秀合計對此事關(guān)注者(單位：人)121830對此事不關(guān)注者(單位：人)51520合計173350②由2×2列聯(lián)表可得K2＝eq\f(5012×15－18×52,30×20×17×33)＝eq\f(225,187)≈1.203<2.706，所以，沒有90%以上的把握認為“對此事是否關(guān)注”與政治期末成績是否優(yōu)秀有關(guān)系．19．[2016·福建質(zhì)檢](本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中點．(1)求證：B1C∥平面A1BD；(2)若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱錐A1－ABD的體積．解解法一：(1)證明：連接AB1交A1B于點O，則O為AB1的中點，∵D是AC的中點，∴DO為△ACB1的中位線，∴OD∥B1C.又OD?平面A1BD，B1C?平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3，∴AB＝eq\r(3)，且△ABC為直角三角形．取AB的中點M，連接A1M，∵AB＝BB1＝AA1，∠A1AB＝60°，∴△ABA1為等邊三角形，∴A1M⊥AB，且A1M＝eq\f(3,2).又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，A1M?平面AA1B1B，∴A1M⊥平面ABC.∵S△ABD＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(\r(3),4)，∴V三棱錐A1－ABD＝eq\f(1,3)S△ABD·A1M＝eq\f(\r(3),8).解法二：(1)證明：取A1C1的中點D1，連接B1D1，CD1，DD1，∵A1D1＝eq\f(1,2)A1C1，CD＝eq\f(1,2)AC，A1C1綊AC，∴A1D1綊CD，∴四邊形A1DCD1為平行四邊形，∴CD1∥A1D.又A1D?平面A1BD，CD1?平面A1BD，∴CD1∥平面A1BD.∵BB1綊AA1綊DD1，∴四邊形D1DBB1為平行四邊形，∴B1D1∥BD.又BD?平面A1BD，B1D1?平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.又CD1∩B1D1＝D1，∴平面B1CD1∥平面A1BD.又B1C?平面B1CD1，∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3，∴AB＝eq\r(3).∴AC2＝AB2＋BC2，∴BC⊥AB.又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B.∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴AA1＝eq\r(3)，∴S△A1AB＝eq\f(1,2)AB·AA1·sin∠A1AB＝eq\f(3\r(3),4).∵D是AC的中點，∴V三棱錐A1－ABD＝V三棱錐D－A1AB＝eq\f(1,2)V三棱錐C－A1AB＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)S△A1AB·BC＝eq\f(\r(3),8).20．(本小題滿分12分)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，過點M(1,0)的直線l交橢圓C于A，B兩點，|MA|＝λ|MB|，且當(dāng)直線l垂直于x軸時，|AB|＝eq\r(2).(1)求橢圓C的方程；(2)若λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，求弦長|AB|的取值范圍．解(1)由已知e＝eq\f(\r(2),2)，得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，又當(dāng)直線垂直于x軸時，|AB|＝eq\r(2)，所以橢圓過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))，代入橢圓方程得eq\f(1,a2)＋eq\f(1,2b2)＝1，∵a2＝b2＋c2，聯(lián)立方程可得a2＝2，b2＝1，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)當(dāng)過點M的直線斜率為0時，點A，B分別為橢圓長軸的端點，λ＝eq\f(|MA|,|MB|)＝eq\f(\r(2)＋1,\r(2)－1)＝3＋2eq\r(2)>2或λ＝eq\f(|MA|,|MB|)＝eq\f(\r(2)－1,\r(2)＋1)＝3－2eq\r(2)<eq\f(1,2)，不符合題意．∴直線的斜率不能為0.設(shè)直線方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程代入橢圓方程得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－\f(2m,m2＋2)，①,y1y2＝－\f(1,m2＋2)，②))將①式平方除以②式可得：eq\f(y1,y2)＋eq\f(y2,y1)＋2＝－eq\f(4m2,m2＋2)，由已知|MA|＝λ|MB|可知，eq\f(y1,y2)＝－λ，∴－λ－eq\f(1,λ)＋2＝－eq\f(4m2,m2＋2)，又知λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴－λ－eq\f(1,λ)＋2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，∴－eq\f(1,2)≤－eq\f(4m2,m2＋2)≤0，解得m2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,7))).|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2＋1,m2＋2)))2＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,m2＋2)))2，∵m2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,7)))，∴eq\f(1,m2＋2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,16)，\f(1,2)))，∴|AB|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(9\r(2),8))).21．[2016·福建質(zhì)檢](本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)－1，a∈R.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為0，求a的值；(2)證明：ex＋(lnx－1)sinx>0.解(1)f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)－1的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2).若a≤0，則f′(x)>0，于是f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)無最小值，不符合題意．若a>0，則當(dāng)0<x<a時，f′(x)<0；當(dāng)x>a時，f′(x)>0.故f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．于是當(dāng)x＝a時，f(x)取得最小值lna.由已知得lna＝0，解得a＝1.綜上，a＝1.(2)證明：①下面先證當(dāng)x∈(0，π)時，ex＋(lnx－1)sinx>0.因為x∈(0，π)，所以只要證eq\f(ex,sinx)>1－lnx.由(1)可知eq\f(1,x)≥1－lnx，于是只要證eq\f(ex,sinx)>eq\f(1,x)，即只要證xex－sinx>0.令h(x)＝xex－sinx，則h′(x)＝(x＋1)ex－cosx.當(dāng)0<x<π時，h′(x)＝(x＋1)ex－cosx>1·e0－1＝0，所以h(x)在(0，π)上單調(diào)遞增．所以當(dāng)0<x<π時，h(x)>h(0)＝0，即xex－sinx>0.故當(dāng)x∈(0，π)時，不等式ex＋(lnx－1)sinx>0成立．②當(dāng)x∈[π，＋∞)時，由(1)知eq\f(1,