汽車振動學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用隨機(jī)振動理論5.1隨機(jī)振動概述5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計算5.4隨機(jī)振動在汽車振動分析中的應(yīng)用5.1隨機(jī)振動概述對于汽車而言，最典型的非確定性振動是由于路面不平度引起的汽車振動。這些振動的共同特征是系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)在事先都無法利用時間的確定性函數(shù)予以描述，我們稱這種不確定性的振動過程為隨機(jī)振動。

隨機(jī)振動的數(shù)學(xué)描述為隨機(jī)過程。隨機(jī)過程為大量現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，因此，需要在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行同樣的試驗。

例如，在同樣的道路以及同樣的行駛工況下進(jìn)行次道路行駛試驗，記錄車身上特定點(diǎn)加速度的時間歷程。每次的記錄稱為一個樣本函數(shù)。隨機(jī)過程為所有樣本函數(shù)的集合，記作。在任一采樣時刻，隨機(jī)過程的各個樣本函數(shù)值都不相同，構(gòu)成隨機(jī)變量。

5.1隨機(jī)振動概述對于隨機(jī)過程的研究不是局限于樣本函數(shù)本身，而是在于隨機(jī)過程的總體統(tǒng)計特性。例如，隨機(jī)過程在時刻的隨機(jī)變量的集合平均為再如，隨機(jī)過程在時刻和的兩個隨機(jī)變量和，對于各樣本的和的乘積的集合平均為5.1隨機(jī)振動概述如果隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)與采樣時刻無關(guān)，則稱隨機(jī)過程為（弱）平穩(wěn)過程。對于平穩(wěn)過程，均值為常數(shù)，即自相關(guān)函數(shù)僅僅是時間差的函數(shù)，即如果平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)可以利用任何一個足夠長的樣本函數(shù)的時間平均值來計算，即5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性5.2.1幅值域（時域）特性（1）均值對于連續(xù)的隨機(jī)過程：對于隨機(jī)過程的離散數(shù)據(jù)系列：（2）方差和標(biāo)準(zhǔn)差對于連續(xù)的隨機(jī)過程：對于隨機(jī)過程的離散數(shù)據(jù)系列：方差的計算公式為：

方差的開方值稱為標(biāo)準(zhǔn)差，計算公式為：

對于連續(xù)的隨機(jī)過程：對于隨機(jī)過程的離散數(shù)據(jù)系列：5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性（3）均方值和有效值對于連續(xù)的隨機(jī)過程：對于隨機(jī)過程的離散數(shù)據(jù)系列：均方值的計算公式為：

在工程應(yīng)用中，經(jīng)常希望利用一個當(dāng)量幅值來表示信號的大小，即稱為有效值，它是均方值的根值，也稱為均方根值。計算公式為：對于連續(xù)的隨機(jī)過程：對于隨機(jī)過程的離散數(shù)據(jù)系列：（4）均值、方差和均方值之間的關(guān)系均方值等于方差與均值的平方之和，即5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性圖5.1所示的三角波的方程為：

計算得均值為：

均方值為：

方差為：5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性5.2.2相關(guān)域特性自相關(guān)函數(shù)表征隨機(jī)過程在一個時刻和另外一個時刻采樣值之間的相互依賴程度，即表征信號隨機(jī)變化的程度。表征隨機(jī)過程在時刻和的相關(guān)性的自相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式為5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性5.2.3頻率域特性對于隨機(jī)過程在頻率域內(nèi)的描述，主要是應(yīng)用功率譜密度函數(shù)來表征隨機(jī)振動過程在各頻率成分上的統(tǒng)計特性。平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即其逆變換為以上兩式構(gòu)成傅里葉變換對，稱為維納—辛欽關(guān)系式。如果，則

5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性在隨機(jī)振動中，表示能量在各圓頻率上的分布密度。根據(jù)其物理意義可知，。

由此可知，為的偶函數(shù)。5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性在整個頻率域內(nèi)定義的為雙邊功率譜。在非負(fù)頻率范圍內(nèi)定義的功率譜稱為單邊功率譜，記作。

單邊譜和雙邊譜的關(guān)系為

實際計算功率譜時，通常利用頻率代替圓頻率，則維納—辛欽關(guān)系式變化為（5-25）式（5-25）變化為5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性5.2.4隨機(jī)振動的概率分布（1）基本概念如圖5.2所示的隨機(jī)過程，中小于的概率，記為，即

圖5.2累積概率的計算方法5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性由此可以得到圖5.3所示的累積概率分布函數(shù)，取值在0~1之間。圖5.3累積概率和概率密度函數(shù)5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性如果要求取值位于和之間的概率，應(yīng)為引入概率密度函數(shù)，為

與二者存在以下關(guān)系：

另外

這說明，曲線下面的面積總和為1。5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性隨機(jī)過程時域統(tǒng)計特性與概率密度函數(shù)的關(guān)系為均值

方差均方值

5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性（2）概率分布正態(tài)分布和瑞利分布是兩種最常見的概率分布，數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為正態(tài)分布

瑞利分布

5.2隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性兩種概率分布的函數(shù)如圖5.4和5.5所示。圖5.4正態(tài)分布圖5.5瑞利分布5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計算5.3.1線性系統(tǒng)隨機(jī)激勵響應(yīng)統(tǒng)計特性線性系統(tǒng)在任意激勵下的解可以根據(jù)杜哈梅積分寫出：將積分的上、下限擴(kuò)展為和不影響積分結(jié)果，即5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計算因為激勵為平穩(wěn)隨機(jī)過程，因此，響應(yīng)也是平穩(wěn)隨機(jī)過程，其統(tǒng)計特性可以按照以下的方法進(jìn)行計算。（1）均值（2）自相關(guān)函數(shù)5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計算（3）激勵與響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)（4）響應(yīng)自譜5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計算（5）均方值當(dāng)激勵為白噪聲時，激勵譜為常數(shù)，所以積分，其中，的求解見表5.1。5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計算（6）激勵與響應(yīng)的互譜對激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)作傅里葉變換得到互譜，即（7）譜相干函數(shù)對于線性系統(tǒng)：5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計算上述的分析結(jié)果對于SISO（單輸入單輸出）、SIMO（單輸入多輸出）和MIMO（多輸入多輸出）系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)問題同樣適用。

對于MIMO系統(tǒng)相對比較復(fù)雜，假設(shè)自由度線性系統(tǒng)受到個平穩(wěn)隨機(jī)激勵，則第個坐標(biāo)對于沿第個坐標(biāo)的激勵的的脈沖響應(yīng)函數(shù)為，頻率響應(yīng)函數(shù)為，它們構(gòu)成脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣和頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣，即

5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計算將和排成陣列，即忽略中間的推導(dǎo)過程，得到響應(yīng)統(tǒng)計特性的計算公式為：（1）響應(yīng)的自相關(guān)矩陣（2）響應(yīng)的自譜矩陣（3）響應(yīng)的自相關(guān)矩陣（4）激勵與響應(yīng)的互譜矩陣5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計算5.3.2線性系統(tǒng)傳遞特性頻率響應(yīng)函數(shù)是指初始條件為零時系統(tǒng)的輸出與輸入的傅里葉變換的比值。其求解的基本過程為：1）列出系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程；2）假設(shè)全部初始條件為零，對微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換；3）求系統(tǒng)的輸出量與輸人量之比；4）將代入輸出量與輸入量的比值，得到頻率響應(yīng)函數(shù)。5.3線性振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計算圖5.6所示的為汽車車身單質(zhì)量系統(tǒng)振動模型：圖5.6汽車車身單質(zhì)量振動系統(tǒng)（1）系統(tǒng)的微分方程為（2）拉氏變換（3）輸入輸出比值（4）頻率響應(yīng)函數(shù)5.4隨機(jī)振動在汽車振動分析中的應(yīng)用對于圖5.6所示的汽車單質(zhì)量系統(tǒng)振動模型，若路面不平度的激勵譜為，其中，為車速

求得頻率響應(yīng)函數(shù)為：

則

所以，響應(yīng)的均方值為其中：得到5.4隨機(jī)振動在汽車振動分析中的應(yīng)用圖5.7所示的為汽車雙質(zhì)量系統(tǒng)振動模型：