第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用§4.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的概念:稱函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率

=

為函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f'(x0)或y'

,即f'(x0)=

.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率,即k=①

f'(x0)

.相應(yīng)地,切線方程為②

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)

.3.導(dǎo)數(shù)的物理意義:函數(shù)s=s(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)s'(t0)是物體的運(yùn)動(dòng)方程s=s(t)

在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v,即v=s'(t0);v=v(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)v'(t0)是物體的運(yùn)動(dòng)方

程v=v(t)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a,即a=v'(t0).考點(diǎn)清單考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))f'(x)=0f(x)=xn(n∈Q*)f'(x)=③

nxn-1

f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=④-sinx

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=⑤

axlna

f(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=⑥

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=y'u·u'x,

即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.運(yùn)算法則加減[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)積[f(x)·g(x)]'=⑦

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

商

'=⑧

(g(x)≠0)

考法一與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的問題知能拓展例1已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f'(1)ex-1-f'(0)x+

x2,求f(x)的解析式.解題導(dǎo)引要求f(x)的解析式,需要求哪些量?解抽象函數(shù)問題常用哪些方

法?f'(1),f'(0)是常數(shù),先對(duì)f(x)求導(dǎo),再賦值,利用方程思想求出f'(0)及f'(1).解析∵f(x)=f'(1)ex-1-f'(0)x+

x2,∴f'(x)=f'(1)ex-1-f'(0)+x.分別令x=1,x=0,得

解得

因此f(x)=2e·ex-1-x+

x2=2ex-x+

x2.方法總結(jié)與含參數(shù)問題相結(jié)合,類似于抽象函數(shù)問題,用賦值法求解.例2設(shè)函數(shù)f(x)=xm+ax的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=2x+1,則數(shù)列

(n∈N*)的前n項(xiàng)和是

()A.

B.

C.

D.

解題導(dǎo)引要求

的前n項(xiàng)和,應(yīng)先求出f(n),由f'(x)=mxm-1+a,f'(x)=2x+1,可得

進(jìn)而得f(x)=x2+x,因此

=

=

=

-

,裂項(xiàng)相消法求和.解析∵f(x)=xm+ax,∴f'(x)=mxm-1+a,又f'(x)=2x+1,∴

∴f(x)=x2+x,∴

=

=

-

,∴數(shù)列

的前n項(xiàng)和為

+

+…+

=1-

=

,故選A.答案

A考法二與曲線的切線相關(guān)的問題例3

(2019廣東深圳二模,5)已知函數(shù)f(x)=ax2+(1-a)x+

是奇函數(shù),則曲線y=f(x)在x=1處的切線的傾斜角為

()A.

B.

C.

D.

解題導(dǎo)引由f(x)是奇函數(shù),先求出a的值,再求導(dǎo)函數(shù)f'(x),當(dāng)x=1時(shí),導(dǎo)函數(shù)

值f'(1)是曲線y=f(x)在x=1處切線的斜率,進(jìn)而求出傾斜角.解析由函數(shù)f(x)=ax2+(1-a)x+

是奇函數(shù),得f(-x)=-f(x),可得a=0,則f(x)=x+

,則f'(x)=1-

,故曲線y=f(x)在x=1處的切線斜率k=1-2=-1,可得所求切線的傾斜角為

,故選B.答案

B方法總結(jié)求曲線的切線斜率的方法步驟:求導(dǎo)數(shù)——求斜率——根據(jù)范

圍得斜率.例4

(2016課標(biāo)Ⅱ,16,5分)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y

=ln(x+1)的切線,則b=

.解題導(dǎo)引與例3的不同之處是:有兩條曲線,且兩切點(diǎn)未知,因此轉(zhuǎn)化為求

兩條曲線上兩個(gè)點(diǎn)處的切線方程問題.第一步,先設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn);第二步,用k

表示出兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo);第三步,建立方程組,求解.解析直線y=kx+b與曲線y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1,y1),

B(x2,y2),由y=lnx+2得y'=

,由y=ln(x+1)得y'=

,∴k=

=

,∴x1=

,x2=

-1,∴y1=-lnk+2,y2=-lnk.即A

,B

.∵A、B在直線y=kx+b上,∴

?

答案1-ln2例5設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2,若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為x+y=0,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

()A.(0,0)

B.(1,-1)C.(-1,1)

D.(1,-1)或(-1,1)解析∵f(x)=x3+ax2,∴f'(x)=3x2+2ax.∵曲線在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為x+y=0,∴3

+2ax0=-1.由題意得x0+

+a

=0,∴

或

當(dāng)x0=1時(shí),f(x0)=-1,當(dāng)x0=-1時(shí),f(x0)=1.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-1)或(-1,1).故選D.答案

D方法總結(jié)若已知曲線y=f(x)過點(diǎn)P(x0,y0),求曲線過點(diǎn)P的切線方程,則需分

點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解.(1)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)時(shí),切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)不是切點(diǎn)時(shí),可分以下幾步完成:第一步:設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P'(x1,f(x1));第二步:寫出曲線在點(diǎn)P'(x1,f(x1))處的切線方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);第三步:將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)代入切線方程求出x1;第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),可得過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程.注意切點(diǎn)(x0,y0)的三重身份的靈活應(yīng)用,即①切點(diǎn)在切線上;②切點(diǎn)在曲

線上;③切線斜率k=f'(x0).例

(2019四川綿陽月考)過點(diǎn)A(2,1)作曲線f(x)=x3-3x的切線,最多有

(

)A.3條

B.2條

C.1條

D.0條創(chuàng)新思維解題導(dǎo)引本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查方式有所創(chuàng)新,求符合條件的切線最多有幾條.創(chuàng)新之一:點(diǎn)A(2,1)不在曲線上,本質(zhì)上是切點(diǎn)未知,因此設(shè)出切點(diǎn),轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)未知的求切線方程問題;創(chuàng)新之二:體現(xiàn)了解法的靈活性,要確定切線的條數(shù)就是確定切線上切點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,可以用零點(diǎn)存在性定理求解,也可以用導(dǎo)數(shù)法,轉(zhuǎn)化為確定方程根的個(gè)數(shù)問題;創(chuàng)新之三:對(duì)切線定義的考查,切線與曲線相切時(shí),切線與曲線的切點(diǎn)未必唯一,充分理解曲線的切線定義.解析解法一:∵f(x)=x3-3x,∴f'(x)=3x2-3.設(shè)切點(diǎn)P(x0,

-3x0),則切線斜率k=f'(x0)=3

-3,則曲線在點(diǎn)P處的切線方程是y-(

-3x0)=(3

-3)(x-x0),∵點(diǎn)A(2,1)在切線上,∴上式可化簡(jiǎn)為2

-6

+7=0.設(shè)g(x)=2x3-6x2+7,因?yàn)間(-1)=-1<0,g(0)=7>0,g(2)=-1<0,g(3)=7>0,所以y=g(x)有3個(gè)零點(diǎn),分別位于區(qū)間(-1,0),(0,2),(2,3)內(nèi),即g(x)=0有3個(gè)根,從而有3個(gè)切點(diǎn),所以最多有3條切線.解法二:因?yàn)閒(x)=x3-3x,所以f'(x)=3x2-3.設(shè)切點(diǎn)為P(x0,

-3x0),則切線的斜率為f'(x0)=3

-3,切線方程為y-(

-3x0)=(3

-3)(x-x0).∵點(diǎn)A(2,1)在切線上,∴2

-6

+7=0.設(shè)g(x)=2x3-6x2+7,則g'(x)=6x2-12x.令g'(x)=0,得x=0或x=2.當(dāng)x=0時(shí),g(0)=7>0;當(dāng)x=2時(shí),g(2)=-1<0.結(jié)合三次函數(shù)圖象的特征可知有3個(gè)切點(diǎn),所以最多有3條切線,選A.解法三:由于本題是選擇題,未涉及具體的切點(diǎn),切線方程的求解,故可以畫

出函數(shù)圖象草圖,直觀分析即可.如圖所示,通過旋轉(zhuǎn)過A點(diǎn)的直線,可以發(fā)

現(xiàn)最多有3條切線.答案

A§4.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f'(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù),則f'(x)>0f(x)在(a,b)內(nèi)①單調(diào)遞增

f'(x)<0f(x)在(a,b)內(nèi)②單調(diào)遞減

f'(x)=0f(x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)函數(shù)考點(diǎn)清單注意(1)討論函數(shù)單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式,求解

時(shí),要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則.(2)有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí),用“,”隔開或用“和”連接,不

能用“∪”連接.2.用充分必要條件來詮釋導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件;(2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的必要不充分條件

(f'(x)=0只可能在孤立的點(diǎn)處成立).注意由函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),可得f'(x)≥0(或f'(x)≤

0)在該區(qū)間恒成立,而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立,“=”不能少.必要時(shí)

還需對(duì)“=”進(jìn)行檢驗(yàn).考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有③

f(x)<f(x0)

,則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,記作f(x)極大值=f(x0);如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有④

f(x)>f(x0)

,則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值,記作f(x)極小值=f(x0).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值結(jié)論設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).(1)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是⑤極大值

;(2)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么f(x0)是極小值;(3)如果在x0附近的左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值同號(hào),那么f(x0)不是極值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟(1)求f(x)的定義域;(2)求f'(x);(3)求方程⑥

f'(x)=0

的根;(4)判斷f'(x)在方程的根的⑦左、右兩側(cè)

值的符號(hào);(5)利用結(jié)論求出極值注:(1)在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi),函數(shù)的極值不一定唯一,在整個(gè)定義域

內(nèi)可能有多個(gè)極大值和極小值;(2)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系,極大值可能比極小值還小;(3)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)(例如:f(x)=x3,f'(x)=3x2,當(dāng)x=0時(shí),f'(0)=

0,但x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn));(4)對(duì)于處處可導(dǎo)的函數(shù),極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必為零.2.函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值與最小值:在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x),在[a,b]上必有

⑧最大值與最小值

;但在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大

值與最小值.(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在[a,b]上的最大值與最小

值的步驟如下:(i)求f(x)在(a,b)內(nèi)的⑨極值

;(ii)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)

是最小值.考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用1.不等式恒成立(有解)問題的處理方法(1)形如f(x)≥g(x)(x∈D)恒成立,主要方法如下:法1:構(gòu)造函數(shù):F(x)=f(x)-g(x)(x∈D),使F(x)≥0(x∈D)恒成立,即F(x)min≥0(x

∈D)恒成立.求F(x)的最小值即可.法2:參變量分離:a≥φ(x)或a≤φ(x)恒成立,即a≥φ(x)max或a≤φ(x)min(x∈D),

求φ(x)的最大值或最小值即可.(2)形如f(x)≥g(x)(x∈D)有解問題的求解方法:法1:構(gòu)造函數(shù):F(x)=f(x)-g(x)(x∈D),F(x)在x∈D時(shí)有解,即F(x)max≥0(x∈D)

有解,即求F(x)的最大值即可.法2:參變量分離:a≥φ(x)或a≤φ(x)(x∈D)有解,即a≥φ(x)min或a≤φ(x)max(x∈

D),即求φ(x)的最值問題.2.證明形如f(x)≥g(x)的不等式成立的方法法1:構(gòu)造函數(shù):F(x)=f(x)-g(x),即F(x)min≥0恒成立,轉(zhuǎn)化為求F(x)的最小值問題.法2:若f(x)min≥g(x)max,則f(x)≥g(x)恒成立,證明f(x)的最小值大于或等于g(x)

的最大值.法3:中間變量法:f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x),則f(x)≥g(x)(h(x)為中間函數(shù),且為

一次函數(shù)較多).3.函數(shù)零點(diǎn)問題的處理f(x)=0的根等價(jià)于f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或轉(zhuǎn)化為g(x)與h(x)圖象交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)或轉(zhuǎn)化為y=a與y=φ(x)圖象的交點(diǎn)問題處理.4.生活中的優(yōu)化問題(1)生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題,導(dǎo)數(shù)在這一類問題中有著重要的作用,它是求函數(shù)最大

(小)值的有力工具.(2)解決優(yōu)化問題的基本思路:考法一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題知能拓展例1

(2019湖南郴州二模,21)已知函數(shù)f(x)=ex(ax2+x+a).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)≤ex(ax2+2x)+1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解題導(dǎo)引

解析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f'(x)=(ax+a+1)·(x+1)ex,當(dāng)a=0時(shí),f'(x)=ex(x+1),當(dāng)x>-1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x<-1時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1).當(dāng)a≠0時(shí),f'(x)=a(x+1)

ex,則方程f'(x)=0有兩根-1,-

.①當(dāng)a>0時(shí),-1>-

,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為

和(-1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為

.②當(dāng)a<0時(shí),-1<-

,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為

,單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1),

.綜上可知,當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為

和(-1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為

;當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1);當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為

,單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1),

.(2)函數(shù)f(x)≤ex(ax2+2x)+1恒成立轉(zhuǎn)化為a≤x+

在R上恒成立.令h(x)=x+

,則h'(x)=

,易知h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),在(-∞,0)上為減函數(shù).

∴h(x)min=h(0)=1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].方法總結(jié)用導(dǎo)數(shù)法求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟:

例2已知函數(shù)f(x)=ex-1-xlnx.求證:f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.解題導(dǎo)引要證f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),可轉(zhuǎn)化為證其導(dǎo)函數(shù)f'(x)≥0在

(0,+∞)上恒成立.證明∵f(x)=ex-1-xlnx,∴f'(x)=ex-1-lnx-1.要證f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,只要證f'(x)≥0對(duì)x>0恒成立,令i(x)=ex-1-x,則i'(x)=ex-1-1,當(dāng)x>1時(shí),i'(x)>0,當(dāng)x<1時(shí),i'(x)<0,故i(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以i(x)

≥i(1)=0,即ex-1≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立),令j(x)=x-1-lnx(x>0),則j'(x)=

,當(dāng)0<x<1時(shí),j'(x)<0,當(dāng)x>1時(shí),j'(x)>0,故j(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單

調(diào)遞增,所以j(x)≥j(1)=0,即x≥lnx+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),∴f'(x)=ex-1-lnx-1≥x-(lnx+1)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立),∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.方法總結(jié)用導(dǎo)數(shù)法證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟(1)求f'(x).(2)確定f'(x)在(a,b)內(nèi)的符號(hào).(3)得出結(jié)論.f'(x)≥0(或>0)時(shí)為增函數(shù),f'(x)≤0(或<0)時(shí)為減函數(shù).考法二與函數(shù)極值或最值有關(guān)的導(dǎo)數(shù)問題例3

(2019吉林第一次調(diào)研(改編))已知函數(shù)f(x)=x3-6ax2+9a2x(a∈R).(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;(2)當(dāng)a≥1時(shí),若f(x)在x∈[0,3]上的最大值為27,求實(shí)數(shù)a的值.解題導(dǎo)引(1)求f'(x)→求方程f'(x)=0的根→判斷根左、右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值

的正負(fù)→確定極值.(2)先判斷f(x)在[0,3]上的單調(diào)性,此處a與3的大小關(guān)系不定,分兩種情況討

論,再分別求解.解析(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x3-12x2+36x,則f'(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6),令f'(x)=0,得x=2或x=6.所以當(dāng)x∈(-∞,2)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈(2,6)時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù),當(dāng)x∈(6,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),所以f(x)極大值=f(2)=32,f(x)極小值=f(6)=0,(2)f'(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)(a≥1),所以f(x)在(0,a)上單調(diào)遞增;在(a,3a)上單調(diào)遞減;在(3a,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)a≥3時(shí),函數(shù)f(x)在[0,3]上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在[0,3]上的最大值是f(3)=27-54a+27a2,由題意得27-54a+27a2=27,解得a=2或a=0,因?yàn)閍≥3,所以此時(shí)a的值不存在,當(dāng)1≤a<3時(shí),a<3≤3a,此時(shí)f(x)在(0,a)上遞增,在(a,3)上遞減,所以函數(shù)f(x)在

[0,3]上的最大值是f(a)=a3-6a3+9a3=4a3,由題意得4a3=27,解得a=

.綜上,a=

.方法總結(jié)解決函數(shù)極值問題的一般思路

考法三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題例4

(2018課標(biāo)Ⅱ,21,12分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn),求a.解題導(dǎo)引(1)要證f(x)≥1,只要證ex-x2-1≥0,即(x2+1)e-x-1≤0,設(shè)g(x)=(x2+1)e

-x-1,證明g(x)max≤0即可.(2)若使f(x)在(0,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn),可以考慮使函數(shù)y=f(x)的圖象在(0,+∞)

上與x軸有一個(gè)交點(diǎn),由于a為參數(shù),其取值變化影響著y=f(x)的單調(diào)性,因此,

首先對(duì)a分類討論,由于f(x)=ex-ax2的導(dǎo)數(shù)f'(x)=ex-2ax不易判斷函數(shù)值符號(hào),

所以將其轉(zhuǎn)化為f(x)=ex

,即討論h(x)=1-a·

的零點(diǎn)問題,結(jié)合單調(diào)性分類討論.解析(1)證明:當(dāng)a=1時(shí),f(x)≥1等價(jià)于(x2+1)e-x-1≤0.設(shè)g(x)=(x2+1)e-x-1,則g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.當(dāng)x≠1時(shí),g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.而g(0)=0,故當(dāng)x≥0時(shí),g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)設(shè)h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn).(i)當(dāng)a≤0時(shí),h(x)>0,h(x)沒有零點(diǎn).(ii)當(dāng)a>0時(shí),h'(x)=ax(x-2)e-x.當(dāng)x∈(0,2)時(shí),h'(x)<0;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增.故h(2)=1-

是h(x)在[0,+∞)的最小值.①若h(2)>0,即a<

,h(x)在(0,+∞)沒有零點(diǎn);②若h(2)=0,即a=

,h(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn);③若h(2)<0,即a>

,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn).由(1)知,當(dāng)x>0時(shí),ex>x2,所以h(4a)=1-

=1-

>1-

=1-

>0.故h(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn).因此h(x)在(0,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上,f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),a=

.方法總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,可以先構(gòu)造函數(shù),然后對(duì)構(gòu)造

的新函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含

參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可以先分離變量,再構(gòu)造函數(shù),直接

把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,可以通過導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)的單調(diào)性、最值等.具體地,可畫出函數(shù)圖象,根據(jù)函數(shù)圖象的走勢(shì)

規(guī)律,標(biāo)出函數(shù)極值點(diǎn)、最值點(diǎn)的位置求解.這種用數(shù)形結(jié)合思想分析問題

的方法,可以使問題有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).考法四利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題例5

(2019陜西第二次質(zhì)量檢測(cè),21)函數(shù)f(x)=lnx+

,k∈R.(1)若k=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)≥2+

恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(3)設(shè)g(x)=f(x)-

+1,A(x1,y1),B(x2,y2)為曲線y=g(x)上兩點(diǎn),且0<x1<x2,設(shè)直線AB斜率為k,x0=

,證明:k>g'(x0).解題導(dǎo)引(1)求f'(x),判斷f'(x)在(0,+∞)上的正負(fù),從而得單調(diào)區(qū)間,找出

使f'(x)=0的x是確定單調(diào)區(qū)的關(guān)鍵.(2)將恒成立問題等價(jià)變形,轉(zhuǎn)化為求確定函數(shù)的最值問題,分離常數(shù)k時(shí)注

意變量x∈(0,+∞)的限定.(3)將要證不等式明確為證明不等式

>

成立(x2>x1>0),再考慮如何變兩元x1,x2為一元,此處是證明的關(guān)鍵,由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)lnx2-lnx1=ln

不妨設(shè)

=t,再構(gòu)造函數(shù)證明即可.解析(1)當(dāng)k=1時(shí),函數(shù)f(x)=lnx+

,x>0.f'(x)=

-

=

.當(dāng)f'(x)>0時(shí),x>1,當(dāng)f'(x)<0時(shí),0<x<1,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+

∞).(2)f(x)≥2+

恒成立,即lnx+

≥2+

恒成立,整理得k≥2x-xlnx+1-e恒成立,令h(x)=2x-xlnx+1-e,x>0,則h'(x)=1-lnx,令h'(x)=0,得x=e,所以h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.所以當(dāng)x=e時(shí),函數(shù)h(x)取得最大值h(e)=1,因此k≥1.(3)k=

=

,因?yàn)閤0=

,所以g'(x0)=(lnx+1)'

=

=

.要證k>g'(x0),即證

>

,因?yàn)?<x1<x2,即證lnx2-lnx1>

,設(shè)t=

>1,即證lnt>

=2-

,也就是要證lnt+

-2>0,其中t∈(1,+∞),設(shè)k(t)=lnt+

-2(t∈(1,+∞)),則k'(t)=

-

=

=

>0,所以k(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,因此k(t)>k(1)=0.即k>g'(x0).方法總結(jié)解決不等式恒成立問題的常見方法:①分離參數(shù),化為a≥f(x)恒

成立(a≥f(x)max即可)或a≤f(x)恒成立(a≤f(x)min即可);②數(shù)形結(jié)合(y=f(x)圖

象在y=g(x)圖象上方(或下方)即可);③討論最值f(x)min≥0或f(x)max≤0恒成

立;④討論參數(shù),排除不合題意的參數(shù)范圍,篩選出符合題意的參數(shù)范圍.例為了滿足廣大人民群眾日益增長(zhǎng)的體育需求,為了紀(jì)念北京奧運(yùn)會(huì)成

功舉辦,國務(wù)院批準(zhǔn)從2009年起,將每年8月8日設(shè)置為“全民健身日”,為

響應(yīng)國家號(hào)召,各地利用已有土地資源建設(shè)健身場(chǎng)所.如圖,有一個(gè)長(zhǎng)方形

地塊ABCD,邊AB為2km,AD為4km.地塊的一角是草坪(圖中陰影部分),其

邊緣線AC是以直線AD為對(duì)稱軸,以A為頂點(diǎn)的拋物線的一部分.現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線AC上一點(diǎn)P的直線型隔離帶EF,E,F分別在邊AB,BC上(隔離帶不能穿越草坪,且占地面積忽略不計(jì)),將隔離出的△BEF作為健身場(chǎng)所.則△BEF面積S的最大值為

(單位:km2).實(shí)踐探究解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,可得C

(2,4).設(shè)邊緣線AC所在的拋物線為y=ax2,把C(2,4)代入得a=1,所以拋物線的

方程為y=x2.設(shè)點(diǎn)P(t,t2),因?yàn)閥'=2x,所以過點(diǎn)P的切線EF的方程為y=2tx-t2,令y=0,得E

;令x=2,得F(2,4t-t2),所以△BEF的面積為S=