PAGEPAGE41991年全國高考數(shù)學(xué)（理科

）試題考生注意：本試題共三道大題（26個小題），滿分120分．選擇題（共15小題，每小題3分，滿分45分．每小題都給出代號為A，B，C，D的四個結(jié)論，其中只有一個結(jié)論是正確的，把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)．每一個小題選對得3分，不選或選錯一律得0分）1．已知，并且是第二象限的角，那么的值等于A．B．C．D．【答案】A【解析】由題設(shè)，所以．2．焦點在，頂點在的拋物線方程是A．B．C．D．【答案】D【解析】拋物線開口向左，且，所以．3．函數(shù)的最小正周期是A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以最小正周期是．4．如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有A．12對B．24對C．36對D．48對【答案】B【解析】每一條側(cè)棱與不共點的其余底面4條邊均異面，所以共有24對．5．函數(shù)的圖象的一條對稱軸的方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】對稱軸的方程滿足，則，顯然時．6．如果三棱錐的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等，且頂點在底面的射影在內(nèi)，那么是的A．垂心B．重心C．外心D．內(nèi)心【答案】D【解析】由題設(shè)可知點到三邊的距離相等，所以是的內(nèi)接圓的圓心．7．已知是等比數(shù)列，且，那么的值等于A．5B．10C．15D【答案】A【解析】設(shè)公比為，則由題設(shè)可得，即，則，即．8．如果圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為，那么它的焦點的極坐標(biāo)為A．B．C．D．【答案】D【解析】曲線是橢圓，當(dāng)時得時得，∴，故焦點的極坐標(biāo)為．9．從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法共有A．140種B．84種C．70種D．35種．14．圓上到直線的距離為A．B．C．D．【答案】C【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心到直線的距離為直線平行的直徑上和與直線平行的切線上滿足條件的點分別有2個和1個．．設(shè)全集為，，，那么集合等于A．B．C．D．【答案】D【解析】由題設(shè)，則，．二．填空題：本大題共5小題；每小題3分，共15分．把答案填在題中橫線上．16．的值是．【答案】【解析】由于，所以．17．不等式的解集是．【答案】【解析】，得，解得解集是．18．已知正三棱臺上底面邊長為2，下底面邊長為4，且側(cè)棱與底面所成的角是，那么這個正三棱臺的體積等于．【答案】【解析】延長正三棱臺的三條母線，交于一點，可得一個正三棱錐，根據(jù)比例關(guān)系可得棱臺的高為，故正三棱臺的體積為．19．在的展開式中，的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項．若實數(shù)，那么．【答案】【解析】由題設(shè)可得的系數(shù)分別為，則，化簡得，由于，所以．20．在球面上有四個點，如果兩兩互相垂直，且，那么這個球面的面積是．【答案】【解析】因為球的直徑等于以為棱的長方體的對角線的長，從而，故球面的面積為．三．解答題：本大題共6小題；共60分．21．（本小題滿分8分）求函數(shù)的最小值，并寫出使函數(shù)取最小值的的集合．【解】本小題考查三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的性質(zhì)．滿分8分．——1分——3分．——5分當(dāng)時取得最小值．——6分使取最小值的的集合為．——8分22．（本小題滿分8分）已知復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的模和輻角的主值．【解】本小題考查復(fù)數(shù)基本概念和運算能力．滿分8分．——2分．——4分的模．因為對應(yīng)的點在第四象限且輻角的正切，所以輻角的主值．——8分23．（本小題滿分10分）已知是邊長為4的正方形，分別是的中點，垂直于所在的平面，且．求點到平面的距離．【解】本小題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，以及邏輯推理和空間想象能力．滿分10分．如圖，連結(jié)，分別交于．因為是正方形，分別為和的中點，故，為的中點．不在平面上．否則，平面和平面重合，從而點在平面上，與題設(shè)矛盾．由直線和平面平行的判定定理知平面，所以和平面的距離就是點到平面的距離．——4分∵，∴．∵平面，∴，∴平面．∴平面平面，是這兩個垂直平面的交線．——6分作交于點，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知平面，所以線段的長就是點到平面的距離．——8分∵正方形的邊長為4，，∴．∴在中，．由于和有一個銳角是公共的，故．∴．即點到平面的距離為．——10分注：未證明“不在平面上”不扣分．【編者注】本題用“等積代換”，即亦可．24．（本小題滿分10分）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是減函數(shù)．【解】本小題考查函數(shù)單調(diào)性的概念，不等式的證明，以及邏輯推理能力．滿分10分．證法一：在上任取且，——1分則——3分∵，∴．——4分當(dāng)時，有；——6分當(dāng)時，有；∴．——8分即．所以，函數(shù)在上是減函數(shù)．——10分證法二：在上任取且，——1分則．——3分∵，∴．——4分∵不同時為零，∴．又∵，∴，∴．——8分即．所以，函數(shù)在上是減函數(shù)．——10分25．（本小題滿分12分）已知為自然數(shù)，實數(shù)，解關(guān)于的不等式．【解】本小題考查對數(shù)、數(shù)列、解不等式等基本知識，以及分析問題的能力．滿分12分．利用對數(shù)換底公式，原不等式左端化為故原不等式可化為．①當(dāng)為奇數(shù)時，，不等式①等價于．②因為，②式等價于——6分因為，，所以，不等式②的解集為．——8分當(dāng)為偶數(shù)時，，不等式①等價于．③因為，③式等價于或——10分因為——12分所以，不等式③的解集為．綜合得：當(dāng)為奇數(shù)時，原不等式的解集是；當(dāng)為偶數(shù)時，原不等式的解集是．26．（本小題滿分12分）雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交雙曲線于兩點．若，求雙曲線的方程．【解】本小題考查雙曲線性質(zhì)，兩點距離公式，兩直線垂直條件，代數(shù)二次方程等基本知識，以及綜合分析能力．滿分12分．解法一：設(shè)雙曲線的方程為．依題意知，點的坐標(biāo)滿足方程組將②式代入①式，整理得．③——3分設(shè)方程③的兩個根為，若，則，即直線②與雙曲線①的兩條漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個交點，與題設(shè)矛盾，所以．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有——6分由于在直線上，可記為．由得，整理得．⑥將④，⑤式及代入⑥式，并整理得，．因為，解得，所以．——8分由，得．整理得．⑦將④，⑤式及，代入⑦式，解得．——10分將代入 得．故所求雙曲線方程為．——12分解法二：④式以上同解法一．——4分解方程③得，④——6分由于在直線上，可記為．由，得．⑤將④式及代入⑤式并整理得，即．因，解得．——8分由，得．即．⑥將④式代入⑥式并整理得．——10分將代入上式，得，將代入得．故所求雙曲線方程為．——12分1991年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：一、本解答指出了每題所要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種較為常見的解法，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容參照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)評分細(xì)則．二、每題都要評閱到底，不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中