北京市第三十五中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中測試北京市第三十五中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中測試高三數(shù)學(xué)行政班教學(xué)班姓名學(xué)號(hào)試卷說明：試卷分值150分，考試時(shí)間120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．I卷10440．．．．確答案填在機(jī)讀卡相應(yīng)的題號(hào)處）．．．．．．．．．．．．．．．已知集合P{∣xN},Q2x8則PQ(A){x(B)x(C)(D)．下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為1(A)yx1(B)y(C)yxcosx(D)yx|x|x1i1i．已知復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為(C)1(D)1(A)i(B)i1113．已知a23，blog2，c，則123(A)abc(B)acb(C)cab(D)cba．在等腰梯形中,,M為BC的中點(diǎn),則112312314134(A)ABAD(B)ABAD(C)ABAD(D)ABAD2442π．“a1是“函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間]上最大值為的2(A)充分不必要條件(C)充要條件(B)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件(4,0)M為曲線yx2M在軸上的射影為N的y最小值為(A)13(B)14(C)15(D)16第1頁共4頁{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}北京市第三十五中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中測試f(x)sin(2x)．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到一個(gè)偶函數(shù)6的圖象則(A)(B)(C)(D)63362x22m,mf(x)當(dāng)x2時(shí),f(x)取得最小值,則m的取值范2x1,x圍為(A)[(B)[2(C)[2](D)[x3x5x7．十八世紀(jì)早期,英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式sinxx5!7!x2n1(2n(n1，(其中x,nN*,n!123,0!1).1111(n1的值,下列選項(xiàng)中與該值最接現(xiàn)用上述公式求12!4!6!(2n2)!近的是(A)(B)(C)(D)II卷二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．f(x)x2a的定義域?yàn)镽，請寫出滿足題意的一個(gè)實(shí)數(shù)a的值．．函數(shù)1．二項(xiàng)式(2x)6展開式的常數(shù)項(xiàng)為．x13．已知定義在)上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，且當(dāng)xy時(shí)，f(x)f(y)，請寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)f(x)．π．已知函數(shù)y2sin(x)0,|).2f(0)1，則_______；xR，使f(xf(x)4成立，則的最小值是__________.第2頁共4頁{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}北京市第三十五中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中測試1．已知函數(shù)f(x)sin，給出下列4個(gè)結(jié)論：x①函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇②存在正數(shù)m，函數(shù)f(x)在區(qū)間(,)上無零點(diǎn)1③函數(shù)f(x)的周期為④對任意正數(shù)m，函數(shù)f(x)在區(qū)間m)上有無窮多個(gè)零點(diǎn)其中正確的結(jié)論序號(hào)有．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．．（本小題13分）3π3已知函數(shù)f(x)2sinxsin(x)(0πf()．222Ⅰ)求的值；Ⅱ)求f(x)在π]內(nèi)的所有零點(diǎn)之和．．（本小題14分）,,C三道題目的概率以及做對時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如表所示．題目ABC,,C才有資格做下一題．341214做對的概率[注：甲最終獲得的獎(jiǎng)金為答對的題目相對應(yīng)的獎(jiǎng)金總.]獲得的獎(jiǎng)金元3264128Ⅰ)求甲沒有獲得獎(jiǎng)金的概率；Ⅱ)求甲最終獲得的獎(jiǎng)金X的分布列及期望；Ⅲ)如果改變做題的順序，最終獲得的獎(jiǎng)金期望是否相同？需給出判斷）．（本小題13分）3在ABC中，AD為BC邊上的中線，AC5，．5ABC存在且唯一確定，并完成下面問題．53條件①：C；條件②：cosC條件③：的面積為2．52Ⅰ)求的長；Ⅱ)求AB的長．0按第一個(gè)解答計(jì)分．第3頁共4頁{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}北京市第三十五中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中測試．（本小題15分）1已知函數(shù)f(x)exx2，曲線yf(x)f(0))處的切線為l．在點(diǎn)2Ⅰ)求l的方程；Ⅱ)判斷曲線yf(x)與直線l的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明；Ⅲ)若a0p(x)f(x)，求證：對任意的x,x,x[，123都有p(1)p(2)p(3)成立．．（本小題15分）xa已知函數(shù)f(x)ln(x(aR)．x1Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；m,n是正整數(shù)，且1mnnmⅡ)已知，證明)).．（本小題15分）在數(shù)字,n(2)的任意一個(gè)排列(a,a)為一個(gè)逆序?qū)?記排列A中逆序?qū)Φ膫€(gè)jAa,a,,a：中，如果對于12naaiN,ij，有，那么就稱i,jji數(shù)為S().如n=4時(shí)，在排列：3,2,4,1中，逆序?qū)τ?)，，(2,1)，(4,1)，S(B)4.則（Ⅰ）設(shè)排列：a,a,a,a，寫出兩組具體的排列C，分別滿足：1234①SC)5，②SC)4；（Ⅱ）對于數(shù)字1，2，，n的一切排列，求所有S()的算術(shù)平均值；A：a,a,,a中兩個(gè)數(shù)字a,aij)12nij置保持不變，那么就得到一個(gè)新的排列：b,b,,b，求證：S()S()為奇數(shù).12n第4頁共4頁{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}北京市第三十五中學(xué)2023-2024年度第一學(xué)期期中試卷高三數(shù)學(xué)參考答案：一、選擇題共10小題，每小題分，共40分．1．D2．D3．C．C．B6．A．A8．D9．B10．B二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．(,x或x(答案不唯一)．．6013．14．①②．①②④62三、解答題共6小題，共85分．16．（本小題13分）πππ333解：(Ⅰ)因?yàn)閒()2sinsin()，所以cos，222222π6因?yàn)?π，所以．π3313(Ⅱ)f(x)2sinxsin(x)2sinx(sinxx)62222312x133sin2xsinxx3()sin2x222213πsin2xcos2xsin(2x)223π令f(x)0，即sin(2x)0，3ππ6kπ得2xπ，kZ，即x，kZ，32π2π因?yàn)閤π]，所以1,2，63π62π5π所以f(x)在[0,π]內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為．3617．（本小題14分）341解：(Ⅰ)甲沒有獲得獎(jiǎng)金為事件M，則P(M)1；4(Ⅱ)分別用,,C表示做對題目,,C的事件，則,,C相互獨(dú)立．由題意，X的可能取值為0，，96224．143413；；PX0PAPX32PAB2834123493113；PX224P．PX96P3242432所以甲最終獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為X03296224143893P3232143893EX60．032962243232(Ⅲ)不同，按照,,C的順序獲得獎(jiǎng)金的期望最大．第1頁共4頁{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}18．（本小題13分）解：選條件①：C55(Ⅰ)記，．35在ADC中，cos，C，554255所以sin1cos2，sinC1cos2C，5sinsin(πC)C)45352525sincosCcossinC5555sinCsin因?yàn)?，所?．(Ⅱ)在ADC中，DC2AD2AC224，所以2．sinsinC【或：，所以2】所以4．在ABC中，AB2222cosC，所以．選條件③：ADC的面積為2(Ⅰ)記，．345在ADC中，cos，所以sin1cos2，512Ssin2，又因?yàn)?，所以5．(Ⅱ)在ADC中，DC2AD2AC224，所以2．所以4．π法一：因?yàn)?，所以C)，23355coscos(πC)2C，即12cosC2，解得C．55在ABC中，AB2AC2BC22cosC13，所以．法二：取CD中點(diǎn)E，因?yàn)?，所以．2．可求得2，AB2294，所以第2頁共4頁{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}19．（本小題15分）(Ⅰ)f(x)exa，xf(0)1af(0)1，，所以切線方程為y1a)x，即ya)x1；11(Ⅱ)令g(x)exx2a)x1ex2xx1，22xx，令(x)g(x)ex1，h(x)ex1，xg(x)eh(x)0x0，得，令x(,0))0h(x)h(x)(g(x))g(x)0g(x)所以h(x)h(0)0，即恒成立，為R上的增函數(shù)．yf(x)又g(0)0，所以g(x)只有唯一零點(diǎn)0，即曲線與直線l的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．(Ⅲ)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)p(x)ex，由(Ⅱ)知，p(x)在(上減，在上增，x1又p(1,pep(0)1，e所以p(x)的值域?yàn)閑，對任意的x,x,x[，都有p(x)p(x)11e1p(x)，312312所以p(1)p(x2)p(3)．20．（本小題15分）ax解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)，f(x)，(x2①當(dāng)a1時(shí)，f(x)0在()上恒成立，f(x)的減區(qū)間為()，無增區(qū)間；②當(dāng)a1時(shí)，令f(x)0，解得1xa，令f(x)0，解得xa，所以f(x)的增區(qū)間為(a)，減區(qū)間為(a,)．綜上，當(dāng)a1時(shí)，f(x)的減區(qū)間為()，無增區(qū)間；當(dāng)a1時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(a)，減區(qū)間為(a,)．(Ⅱ)兩邊同時(shí)取對數(shù)，證明不等式成立等價(jià)于證明nm)mln(n，m)n)即證明，mnxx)x)x1構(gòu)造函數(shù)f(x),f(x)，xx2x令g(x)x)，由()知，當(dāng)a0時(shí)，g(x)在)上為減函數(shù)，故g(x)g(0)0，x1所以f(x)0，所以f(x)為)上的減函數(shù)，m)n)因?yàn)?mn，知f(m)f(n)，即)n)m，即．mn第3頁共4頁{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}21．（本小題15分）（Ⅰ）解：①C:②C:2,4,3,1；………………4分（Ⅱ）解：考察排列：d,d,,d,d與排列Dd,d,,d,d，12n1n1nn121(d,d)(d,d)中必有一個(gè)為逆序?qū)Γㄆ渲小躨j≤n因?yàn)閿?shù)對與ijjin(n且排列D中數(shù)對(d,d)共有C2n個(gè)，………………5分………………6分………………7分ij2n(n所以S(D)S(D).12n(n所以排列D與1的逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為.4a,a,,aa,a,,a,a1：，1而對于數(shù)字12，n的任意一個(gè)排列A：12nnn12n(n且這兩個(gè)排列的逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為.4n(n所以所有()的算術(shù)平均值為ji1，即a,aij.………………分，n94○（Ⅲ）證明：1當(dāng)相鄰時(shí)，，則排列為a,a,,a,a,a,a,,a1aa不妨設(shè)ii12i1i1ii2此時(shí)排列與排列：a,a,,a相比，僅多了一個(gè)逆序?qū)?a,a)，i12ni1S(A)S()1，所以所以S()S(A)S()1為奇數(shù).分………………○ji1，即a,aij2當(dāng)不相鄰時(shí)，之間有m個(gè)數(shù)字，記排列：a,aa,a,,a,k,k,,k,a,,a，12i12mjn假設(shè)ijaa,a,,a,k,a,k,,,k,a,,a，12i11i2mjn先將向右移動(dòng)一個(gè)位置，得到排列：i○S(A)S()與1由1，知的奇偶性不同，再將向右移動(dòng)一個(gè)位置，得到排列：aia,a,,a,k,k,a,k,,k,a,,a，12i112i3mjn○由1，知S(A2)與S(A)1的奇偶性不同，aa,a,,k,k,,k,a,a,,a，1212mijn以此類推，共向右移動(dòng)m次，得到排列A：iaa,a,,a,k,,k,a,a,,a，12i1