第34講割補(bǔ)法與等積法

一、知識概要

1割補(bǔ)法

割補(bǔ)法包括分割法和補(bǔ)體法，求一個幾何體的體積可以將這個幾何體分割成幾個柱體，錐體，分

別求出雉體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積，這種方法稱為分割法.用于直接解題較困

難，分割后化繁為簡,使問題較易獲得解快，但有時候，所給的幾何體并不復(fù)雜，卻很難直接計算求

解,這類幾何體實際上是一個常規(guī)幾何體的一部分.通過添補(bǔ)適當(dāng)?shù)膸缀误w，將其擴(kuò)展為新的、

其特征為我們比較熟悉的幾何體，以便于從整體上宏觀把握，處理局部問題的一種方法稱為補(bǔ)體

法，體現(xiàn)了拓展空間，從更廣閣的范圍內(nèi)處理局部問題的整體思想.

分割法與補(bǔ)體法合在一起稱為割移法.

2等積法（又稱等積變換法）

（1）利用三棱錐的“等積性”,即體積計算時可以任一個面作為三棱雉的底面.（1）求體積時，可選

擇“容易計算''的方式來計算；（2）利用“等積法”可求“點到面的吟離”，關(guān)鍵是在面中選取3個點,

與已知點構(gòu)成三棱錐.

（2）等積變換法充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，在運用過程中要充分注意距離之間的等價轉(zhuǎn)換.

二、題型精析

圖3-84

【例11（1）如圖3-84所示，已知多面體ABC-DEFG中，AB,AC,

AD兩兩互相垂直，平面ABC//平面DEFG,平面BEF//平面

ADGC,AB=AD=DG^2,AC=EF^l,則該多面

體的體積為（）.

A.2

B.4

C.6

D.8

圖3-85

(2)如圖3-85所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且

VADENBCF均為正三角形.EF//AB,EF=2,則該多面體的體

積為().

A.---

3

B百

3

【策略點擊】本例兩小題給出的都是不規(guī)則幾何體，直接求體積比較困難,可以將這個幾何體分

割成若干規(guī)則的幾何體，從而得出幾何體的體積(求規(guī)則幾何體的體積再合成)，也可認(rèn)運用補(bǔ)體

法補(bǔ)成一個規(guī)則幾何體再求解，如第(1)問，可把題中給出的幾何體分割成兩個三棱柱或補(bǔ)成一

個正方體;第(2)問，不同的分割可以引發(fā)一題多解與發(fā)散思維，這種解法體現(xiàn)了割補(bǔ)思想和等積

變換思想.

圖3-86

【解】：(1)【解法一】(割)如圖3-86所示，過點C作S_LOG于“，聯(lián)結(jié)

把多面體分割成一個直三棱柱DEH-ABC和一個斜三

棱柱BEF-CHG.

于是所求幾何體的體積為

-D￡=f|x2xlJx2+f|x2xljx

,A。+5丫際

2=4.

【解法二】（補(bǔ)）如圖3-87所示.將多面體補(bǔ)成棱長為2的正方

體.顯然所求的多面體的體積為該正方體體積的一半.

于是所求幾何體的體積V=1X23=4.

2

圖3-88

（2）【解法一】（分割法一）如圖3-88所示,分別過A,B作EF的垂

線，垂足分別為點G,H.聯(lián)結(jié)DG,CH.

則原幾何體分割為兩個三棱雉和一個直三棱柱，錐高

；，柱高1.AG=J12-^=亭，取AD中點M,則

MG=—

2

V2也xl+2xk也x

434

1V2

2-V

【解法二】（分割法二）如圖3-89所示，取EF中點

P,則原幾何體分割為兩個三棱雉和一個四棱雉，易知三棱雉P-AED和三棱雉P-BCF

都是棱長為1的正四面體,四棱雉P-ABCD為棱長為1的正四棱雉.

323433

【例2】已知直三棱柱ABC-AMG中，452G是用一平面截得的截面，且AA2=h,,

，若7ABC的面積為S.求證:介于截面與下底面之間的幾何體的體積

為短=：5（4+4+為）.

策略點擊由于幾何體A2B2C2-ABC是一個不規(guī)則的幾何體，為求得其體積不妨采用分割

或補(bǔ)體的方法來求解和證明.

【證法一】（分割）為了討論方便，不妨設(shè)礴呢%,可將幾何體ABC-A2B2C2分割成一

個小直三棱柱與兩個三

B

圖3-90

棱雉.如圖3-90所示，過A作A2B3//AB交B2B

于％過力作B3C3//BC交c2c于C3.聯(lián)結(jié)AC3,

不。3，則幾何體ABC-482G被分割成直三棱柱ABC—483G、三棱雉

巴―A233c3、二棱錐4—B1C3c2

設(shè)BC=x,A至IJBC的距離為d,則S=-xd.由于

2

-A263c3=；S（為一九）,

匕804%二M，5

匕2一當(dāng)Gq=jSv瑪c3G=§.5（4_//!）.x.d=1S（0一4）.

故KtBC-AjBjCj=K\BC-A,B,CJ++匕2-%C3c2=qS（4+為+a）.

【證法二】（補(bǔ)體）將幾何體ABC-A2B2C2以7ABe為底面進(jìn)行兩次等幾何體補(bǔ)形，使側(cè)

棱的長均為4+a+%,這樣就將不規(guī)則的幾何體補(bǔ)形為新的直三棱柱.

而原幾何體的體積等于這個新直三棱柱體積的-,

3

故-A,B、C,二3v新直三植柱=/$（%+H+4）.

M

f\i\

C

圖3-91

［例3］如圖3—91所示,三棱錐A-BCD中，AB±平面BCD,

CDA.BD

(1)求證：CD±平面ABD;

⑵若AB=BD=CD=1,M為AD中點，求三棱雉

A-MBC的體積.

【策略點擊】利用三棱錐的“等積法”，即體積計算時，可以任一個面作為三棱錐的底面，利用“等

積法'’可求“點到面的距離”,關(guān)鍵是在面中選取三個點，與已知,點構(gòu)成三棱錐.等積變換法充分體

現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，在運用過程中要充分注意距離之間的等價轉(zhuǎn)換.

解：⑴證明：：平面BCD,CDLBD,CDu平面ABD,BDu平面ABD,

：.CD1平面ABD.

⑵【解法一】由AB_L平面BCD,得ABVBD,

QAB-BD=1,SVABD=~-

QM為AD中點，SVABM=萬5丫?=z

由(1)知,CC平面ABD,

三棱錐C-A8W的高h(yuǎn)=CD=\.

因此三棱雉A-MBC的體積匕一

1

~n'

M

圖3-92

【解法二】由AB_L平面BCD知，平面ABDI.平面BCD.

又平面ABDc平面BCD=BD,過點M作MN1BD交BD于點N,如圖

3-92

所示，則MNX.平面BCD,且MN=LAB=L

22

又CDJ.BD,BD=CD=1,;.SVBCD=3?

???三棱傕A-MBC的體積VA_MBC=VA_BCD-VM_BCD=^AB-SVfiCD-^MN.

S^BCD~,

【方法提煉】

1割補(bǔ)法

割補(bǔ)法是高中數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一，是割法與補(bǔ)法的總稱.割法是把復(fù)雜的幾何體切割

成簡單的幾何體，把復(fù)雜的幾何圖形切割成規(guī)范的幾何圖形.補(bǔ)法是把不熟悉的（或復(fù)雜的）幾

何體延伸或補(bǔ)成熟悉（或簡單的）幾何體，把不完整的圖形補(bǔ)成完整的圖形.割與補(bǔ)是對立統(tǒng)一的,

是一個問題的兩個相反方向.“割”就是"分解"，"補(bǔ)"就是“合成從哲學(xué)的角度分析，分與合是矛

盾對立的雙方，因此，完整地說，割補(bǔ)法的實質(zhì)是分解O合成，分割日拼補(bǔ)的辯證思考,屬于整

體與局部數(shù)學(xué)思想范疇.

有些立體幾何問題，根據(jù)已知圖形直接求解較為困難，若將幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹案睢被?補(bǔ)''后，則可

轉(zhuǎn)化為熟悉的容易求解的問題.即變整體為局部，把局部擴(kuò)展為整體,化不規(guī)則為規(guī)則,化抽象

為直觀，為順利運用公式，定理解題鋪平道路，排除障礙

割補(bǔ)法解立體幾何題，常見的方法如下.

（1）斜棱柱補(bǔ)成直棱杜.

（2）棱錐補(bǔ)成棱柱;棱柱割成棱雉.

（3）四面體、三棱雉補(bǔ)成平行六面體.

（4）某些特殊的三棱雉補(bǔ)成長方體或正方體.（5）將某些不規(guī)則幾何體補(bǔ)形為簡單幾何體，把

某些不規(guī)則且較為復(fù)雜的幾何體分割成規(guī)則的、簡單的、方便套用公式的幾何體.

2等積法

這里講的“等積”,指面積或者體積相等，對于某些平面圖形和空間圖形.其面積和體積的計算可以

有不同的表達(dá)，但作為同一個平面圖形或空間圖形，不管從哪一個角度去計算，面積或體積總是

相等的，等積法就是利用面積或體積相等，把問題轉(zhuǎn)化，化繁為簡，化難為易，從而達(dá)到解決問題

的目的.這種方法在求三角形的高或者棱雉的高，以及求點到面的距離時可達(dá)到事半功倍的效

果.

三、易錯警示

【例】正方體容器AC,中盛滿水，E,F,G分別是ABrBB「BC的中點，若3個小孔

分別位于E,F,G三點處，則正方體中的水最多會剩下原體積的（）.

7

A.

11

B.n

c.5

6

23

D.

24

【錯解】：剩下的水的最大容積是截面EFG以下幾何體的體積，如

圖3-93所示，設(shè)CG的中點為M,CR的中點為N,

則截面EFG在正方體ACt的截面是EFMN,設(shè)正方體ACt的棱長為1,則三棱柱

BXEF-CXMN的體積

1111

Vf

Vt^EFC'MN=—X—X—X1=—.

2228

17

于是，正方體的水最多會剩下原體積的1-已=」,故

88

選A.

圖3-94

【評析及正解】上迥解法是否正確，我們可認(rèn)考查另一種情形.考慮由B,E,C1確定的截面，如圖

3-94所示.此時，另一個小孔在截面BEC}

的上方，此時三棱錐與-喀的體積為Vi十

|-xlxl|xl=—<1.于是，正方體中的水最多會剩下原體

（22）128

積的1一-L=U,故應(yīng)選B.1.

1212

23

從選項看，還有—,那么，會不會是這個結(jié)果呢？我們可以

24

考慮一般的情形.

【正確的解法】如下：

【解】：我們注意到，當(dāng)正方體中剩下的水最多時，這時的水平面必定經(jīng)過其中的兩個小孔，不妨

設(shè)經(jīng)過小孔瓦G,如圖3-95所示，另一個小孔F在該平面的上方.設(shè)過E,G的平面與

棱BBrCCi，CR的交點分別為4,P,Q,則流出的水的最小體積是臺體B.EH-C.QP

的體積.

設(shè)正方體AC,的棱長為2,則=設(shè)掇/2),則Cf=2—x.

由YB'EHC7c\QP,得6Q=三

X

于是，臺體B}EH-C,QP的體積為

VBIEHCIQP

41

當(dāng)且僅當(dāng)％=即x=2時，臺體B.EH-C.QP的體積最小，為正方體體積的—.lit

x12

吐點H與點B重合，即截面為VB￡C,,故選B.

四，難題攻略

【例】在三棱臺ABC—A5G中，翳=；，G為CC,的中點，截面A.BG將棱臺分

成上、下兩部分，求這兩部分體積之比.

【破難析疑】由于合成的兩部分都是不規(guī)則的兒何體，故需將其分割成幾個錐體(特別是三棱

錐)的組合體才便于計算體積之比，需要提醒的是這里有等面積、等高，等體積的運用，使問題的

解答別開生面.

圖3-96

【解】：如圖3-96所示，聯(lián)結(jié)BC,,A,C