專題11勾股定理及逆定理之十大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一用勾股定理解三角形】 1【考點(diǎn)二以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積】 3【考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題】 5【考點(diǎn)四勾股定理與折疊問(wèn)題】 7【考點(diǎn)五勾股定理的證明方法】 10【考點(diǎn)六勾股樹(shù)(數(shù))問(wèn)題】 15【考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】 16【考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角三角形】 18【考點(diǎn)九利用勾股定理的逆定理求解】 20【考點(diǎn)十勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】 23【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 27【典型例題】【考點(diǎn)一用勾股定理解三角形】例題：（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，長(zhǎng)方形中，，，，則______．

【答案】4.8【分析】利用長(zhǎng)方形的性質(zhì)得到，利用勾股定理計(jì)算出，利用面積法計(jì)算出即可．【詳解】解：∵四邊形長(zhǎng)方形，∴，在中，，∵，∴．故答案為：4.8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等積法求直角三角形的高，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理求出．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·湖南郴州·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，，求BC邊上的高AD的長(zhǎng)．

【答案】12【分析】為高，那么題中有兩個(gè)直角三角形．在這兩個(gè)直角三角形中，設(shè)為未知數(shù)，可利用勾股定理都表示出長(zhǎng)．求得長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得長(zhǎng)即可．【詳解】解：設(shè)，則，在中，，在中，，∴，，解得，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解決本題的關(guān)鍵在于利用兩個(gè)直角三角形的公共邊找到突破點(diǎn)．主要利用了勾股定理進(jìn)行解答．2.（2023春·廣東云浮·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，，于．求：

(1)的長(zhǎng)和的面積；(2)的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)；利用三角形的面積公式可求出的面積；（2）再根據(jù)三角形的面積公式是一定值求得即可．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，∴．（2）解：，，．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積】例題：（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面積分別為6，18，則正方形A的面積是（

）

A． B． C．12 D．24【答案】D【分析】由正方形的面積得，，再由勾股定理得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，

正方形，的面積分別為6，18，，，，，正方形的面積，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及正方形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，以的三邊為邊向外作正方形，其面積分別是，，，且，，則（

）

A．20 B．12 C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，字母B所代表的正方形的面積是（

）

A．12 B．15 C．144 D．306【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出字母B所代表的正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求出面積答案．【詳解】解：如圖，

在中，由勾股定理得，，字母代表的正方形的邊長(zhǎng)為，字母B所代表的正方形的面積為：．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用、正方形的面積，熟知如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是和，斜邊長(zhǎng)為，那么是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題】例題：（2023·云南楚雄·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A，B，C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則邊上的高為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用等積法求解即可．【詳解】解：由正方形網(wǎng)格圖可知，，，邊上的高為2，∴根據(jù)三角形面積公式可得，邊上的高．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，由單位長(zhǎng)度為1的4個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形網(wǎng)格，連接三個(gè)小格點(diǎn)，可得，則邊上的高是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)邊上的高為，由題意知，，則，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：設(shè)邊上的高為，由題意知，，∴，即，解得，∴邊上的高為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握割補(bǔ)法求面積以及等面積法．2.（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在的方格中，小正方形的邊長(zhǎng)是1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，求：(1)的長(zhǎng)；(2)邊上的高．【答案】(1)(2)【分析】(1)運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可．(2)運(yùn)用三角形面積不變性列式計(jì)算即可．【詳解】（1）由圖可得，，即的長(zhǎng)為．（2）由圖可得，，設(shè)邊上的高為x，則，即，解得，即邊上的高為．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格上的勾股定理與圖形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四勾股定理與折疊問(wèn)題】例題：（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一張直角三角形紙片ABC中，，將它沿折痕折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則___________．

【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)得出，設(shè)，則．在中運(yùn)用勾股定理列方程，解方程即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，則．在中，由勾股定理得：，解得：．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題和勾股定理的綜合運(yùn)用．解題時(shí)，設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)，用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，把矩形紙條沿，同時(shí)折疊，，兩點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，若的度數(shù)恰好為，，，則矩形的邊的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】12【分析】利用折疊的性質(zhì)得到，，再利用勾股定理得到，即可求解．【詳解】解：矩形紙條沿，同時(shí)折疊，，兩點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，，，，，，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理和折疊的性質(zhì)求出，，．2.（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)是____________________．【答案】【分析】先利用勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，進(jìn)一步求出，設(shè)，則，由勾股定理得，解得，則．【詳解】解：在中，由勾股定理得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，∵，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得∴，解得∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，正確利用勾股定理結(jié)合方程的思想求解是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五勾股定理的證明方法】例題：（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)公式；在推得這個(gè)公式的過(guò)程中，主要運(yùn)用了A．分類(lèi)討論思想

B．整體思想

C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

D．轉(zhuǎn)化思想（2）如圖2，，，且在同一直線上．求證：；（3）伽菲爾德（1881年任美國(guó)第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請(qǐng)你嘗試該證明過(guò)程．

【答案】（1）；；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）利用大正方形面積等于兩個(gè)小正方形面積與兩矩形面積之和得出即可，利用數(shù)形結(jié)合得出答案；（2）利用，得出，進(jìn)而得出，即可得出答案；（3）利用圖形面積即可證出勾股定理．【詳解】解：（1）利用大正方形面積等于兩個(gè)小正方形面積與兩矩形面積之和得出：；利用數(shù)形結(jié)合得出：在推得這個(gè)公式的過(guò)程中，主要運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想；故答案為：；；（2）∵，∴，∵，∴，∴，即．

（3）∵，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的證明，利用圖形面積由數(shù)形結(jié)合思想得出等式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有______個(gè)；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷、、的關(guān)系______．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②(2)(3)【分析】（1）①將圖中各個(gè)幾何圖形的面積用兩種方法表示出來(lái)，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：，，即可得，圖2中大正方形的面積為：，據(jù)此即可作答；（2）根據(jù)題意得：，再分別計(jì)算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；（3）結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據(jù)圖形特點(diǎn)表示出（+），結(jié)合勾股定理，即可得到答案．【詳解】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得．在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得．在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即，化簡(jiǎn)得．②在圖1中：，，圖2中大正方形的面積為：，∵，，∴，，∴，∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：，如圖4：即有：，，，∴；如圖5：，，，∵，∴；如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正的邊長(zhǎng)為u，過(guò)頂點(diǎn)x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∴，，∵∴；∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)故答案為：3；（3）關(guān)系：，理由如下：以a為直徑的半圓面積為：，以b為直徑的半圓面積為：，以c為直徑的半圓面積為：，三角形的面積為：，∴，即：，結(jié)合（1）的結(jié)論：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計(jì)算的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．【考點(diǎn)六勾股樹(shù)(數(shù))問(wèn)題】例題：（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)期末）下列各組數(shù)據(jù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．10，12，14【答案】D【分析】分別求出兩小邊的平方和和最長(zhǎng)邊的平方，看看是否相等即可．【詳解】解：A．，，，即3，4，5是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．，，，即7，24，25是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．，，，即8，15，17是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．，，，即10，12，14不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，如果兩數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方，那么這三個(gè)數(shù)叫勾股數(shù)．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東中山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）以下四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【詳解】解：A.，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B.，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C.，是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；D.，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】考查了勾股數(shù)，理解勾股數(shù)的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)．2.（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）下列是勾股數(shù)的一組數(shù)是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】B【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)逐一判斷即可．【詳解】解：A．、、不是整數(shù)，此數(shù)組不是勾股數(shù)，不合題意；B．，此數(shù)組是勾股數(shù)，符合題意；C．，此數(shù)組不是勾股數(shù)，不合題意；D．，此數(shù)組不是勾股數(shù)，不合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)的知識(shí)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知的三邊滿足，則是直角三角形．【考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】例題：（2023春·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）滿足下列條件的是直角三角形的是（

）A．8，10，7 B．2，3，4 C．5，12，14 D．1，，2【答案】D【分析】驗(yàn)證選項(xiàng)中每組數(shù)據(jù)，看兩條較短邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方，若等于則為直角三角形，否則就不是直角三角形．【詳解】解：選項(xiàng)A：兩條較短邊平方和為：，不是直角三角形，故選項(xiàng)A不合題意；選項(xiàng)B：兩條較短邊平方和為：，不是直角三角形，故選項(xiàng)B不合題意；選項(xiàng)C：兩條較短邊平方和為：，不是直角三角形，故選項(xiàng)C不合題意選項(xiàng)D：兩條較短邊平方和為：，是直角三角形，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，如果兩條較短邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，則此三角形為直角三角形．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┫铝懈鹘M數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）A．6，8，10 B．5，12，13 C．1，， D．13，14，15【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形判定即可；如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒(méi)有這種關(guān)系，就不是直角三角形，分析得出即可；【詳解】A、，此三角形是直角三角形，不符合題意；B、，此三角形是直角三角形，不符合題意；C、，此三角形是直角三角形，不符合題意；D、，此三角形是直角三角形，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．2.（2023春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)珠海市前山中學(xué)?？计谥校┫铝懈鹘M數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形三邊的一組是（

）A．1，1， B．1，2， C．3，5，7 D．3，4，5【答案】C【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】解：A、∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．【考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角三角形】例題：（2023春·廣東湛江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則的度數(shù)為_(kāi)________．

【答案】【分析】根據(jù)勾股定理得到，，的長(zhǎng)度，再判斷是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，

由題意，，，，∴，，∴是等腰直角三角形，且，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2021秋·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中小方格邊長(zhǎng)為1，A，B，C都是小正方形的頂點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的知識(shí)解決下面問(wèn)題．（1）求的周長(zhǎng)；（2）判斷是不是直角三角形，并說(shuō)明理由.【答案】（1）△ABC的周長(zhǎng)為；（2）△ABC不是直角三角形，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC的長(zhǎng)，然后可求周長(zhǎng)；（2）利用勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】解：（1）如圖，根據(jù)題意由勾股定理，得，，∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=，（2）△ABC不是直角三角形，理由是：∵在△ABC中，AB2+BC2=13+45=58，AC2=64，即AB2+BC2≠AC2，∴△ABC不是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．2.如圖，方格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，求：(1)的周長(zhǎng)；(2)請(qǐng)判斷是否是直角三角形，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不是直角三角形．見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得的三條邊長(zhǎng)后，再求該三角形的周長(zhǎng)；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理知，，，，故的周長(zhǎng)；（2）不是直角三角形．理由：由（1）可知，，，，，，即，∴不是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)九利用勾股定理的逆定理求解】例題：（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°．(1)求BD的長(zhǎng)．(2)判斷△BCD是什么三角形，并說(shuō)明理由？【答案】(1)5(2)直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】（1）如圖，在△ABD中，AB=3，AD=4，∠A=90°，∴由勾股定理得，即BD=5（2）△BCD是直角三角形．理由如下：在△BCD中，BC=13，CD=12，BD=5，∴，，∴，∴△BCD是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．注意：勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，于點(diǎn)D，，，．

(1)求證：是直角三角形；(2)求點(diǎn)D到的距離之和．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)己知數(shù)據(jù)利用勾股定理的逆定理即可證明．（2）根據(jù)（1）中求得的長(zhǎng)度，再利用等面積法求出點(diǎn)D到的距離，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，在中，，即，∴；在中，，即，∴，∵∴，∴是直角三角形；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作，，垂足分別為點(diǎn)E、F，

，，即，∴，，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和三角形高的問(wèn)題，熟練運(yùn)用勾股定理逆定理和等面積法求高是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·安徽六安·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖，四邊形中，，，，且．試求：

(1)四邊形的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）(2)的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，由勾股定理求出的值，結(jié)合勾股定理逆定理可推出，然后根據(jù)進(jìn)行求解，即可得到答案；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，

，，，，，，即，，；（2）解：，

，．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面積，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)十勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023春·廣西欽州·八年級(jí)浦北中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為弘揚(yáng)勞動(dòng)精神，讓同學(xué)們?cè)趯?shí)踐中體驗(yàn)勞動(dòng)、認(rèn)識(shí)勞動(dòng)，從而培養(yǎng)尊重勞動(dòng)、熱愛(ài)勞動(dòng)、尊重勞動(dòng)人民的品質(zhì)，學(xué)校準(zhǔn)備在校園的一角開(kāi)墾一塊如圖所示的四邊形土地．經(jīng)測(cè)量，，，，，，請(qǐng)計(jì)算該四邊形土地的面積．【答案】該四邊形土地的面積為【分析】連接，則為直角三角形，為斜邊，通過(guò)勾股定理求，根據(jù)判定為直角三角形，根據(jù)直角三角形面積計(jì)算可以計(jì)算該菜地的面積．【詳解】解：連接∵∴在中∴∵，

∴∴是直角三角形，且答：該四邊形土地的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，考查了直角三角形面積計(jì)算，本題中正確的根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·福建莆田·八年級(jí)統(tǒng)考期中）為響應(yīng)政府“公園城市建設(shè)”的號(hào)召，某小區(qū)進(jìn)行小范圍綠化，要在一塊如圖所示的四邊形空地進(jìn)行綠化改造，測(cè)得，，，，．

(1)若要在B，D兩點(diǎn)間鋪一條鵝卵石路，鋪設(shè)成本為120元/m，求鋪設(shè)這條鵝卵石路的最低花費(fèi)．(2)如果種植草皮的費(fèi)用是200元，那么在整塊空地上種植草皮共需投入多少元？【答案】(1)鋪設(shè)這條鵝卵石路的最低花費(fèi)為元．(2)整塊空地上種植草皮共需投入元．【分析】（1）如圖，連接，再利用勾股定理先求解，從而可得答案；（2）先利用勾股定理的逆定理證明，可得整塊空地的面積為：，再計(jì)算總費(fèi)用即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，

∵，，，∴，∵鋪設(shè)成本為120元/m，∴鋪設(shè)這條鵝卵石路的最低花費(fèi)為（元）．（2）∵，，．∴，∴，∴整塊空地的面積為：，∵種植草皮的費(fèi)用是200元，∴整塊空地上種植草皮共需投入（元）．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，確定勾股定理與勾股定理的逆定理是使用情境是解本題的關(guān)鍵．2.（2023春·廣東汕頭·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H，（A，H，B在一條直線上），并修一條路．測(cè)得千米，千米，千米．

(1)問(wèn)是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．(2)求原來(lái)的路線的長(zhǎng)．【答案】(1)是，見(jiàn)解析(2)千米【分析】（1）先根據(jù)勾股定理逆定理證得是直角三角形，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離中，垂線段最短即可解答；（2）設(shè)，則AH=x-3，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）∵，∴∴∴是從村莊C到河邊的最近路（2），則在中∴解得：∴原來(lái)的路線的長(zhǎng)為千米【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的最短距離，靈活應(yīng)用勾股定理的逆定理和定理是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若直角三角形兩邊長(zhǎng)為12和5，則第三邊長(zhǎng)為（

）A．13 B．13或 C．13或15 D．15【答案】B【分析】分長(zhǎng)為12的邊是斜邊還是直角邊兩種情況討論解題．【詳解】當(dāng)長(zhǎng)為12的邊是斜邊時(shí)，則第三邊是另一直角邊，其長(zhǎng)為．當(dāng)長(zhǎng)為12的邊是直角邊時(shí)，則第三邊是斜邊，其長(zhǎng)為．所以第三邊的長(zhǎng)為13或．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與計(jì)算，在直角三角形中，斜邊是最大的邊，故本題中長(zhǎng)5的邊只能為直角邊，二邊長(zhǎng)為12的邊可能是斜邊，也可能是直角邊，因此分兩種情況討論．2．（2023春·福建莆田·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小肖同學(xué)有4根長(zhǎng)度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一個(gè)直角三角形的是（

）

A．4cm，5cm，8cm B．3cm，4cm，5cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，5cm，8cm【答案】B【分析】由勾股定理的逆定理可判斷A，B，由三角形的三邊關(guān)系可判斷C，D不能組成三角形，從而可得答案．【詳解】解：∵，故A不符合題意；∵，故B符合題意；∵，不能組成三角形，故C不符合題意；∵，不能組成三角形，故D不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形三邊的關(guān)系，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟記三角形的三邊關(guān)系與勾股定理的逆定理是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足，則這個(gè)三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不確定【答案】B【分析】將原式整理為，即可判斷.【詳解】解：∵，∴，∴，∴這個(gè)三角形是直角三角形；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟練掌握勾股定理逆定理、得出是解題的關(guān)鍵.4．（2023春·廣東云浮·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，將折疊，使點(diǎn)C與的中點(diǎn)D重合，折痕交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則線段的長(zhǎng)為（）

A． B． C．4 D．【答案】B【分析】先求出，由折疊的性質(zhì)可得，則，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵D是中點(diǎn)，，∴，∵將折疊，使點(diǎn)C與的中點(diǎn)D重合，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，正確理解題意利用方程的思想求解是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)珠海市第九中學(xué)?？计谥校┫铝杏扇龡l線段、、構(gòu)成的三角形：①，，；②，，；③；④，，（為大于1的整數(shù)）；其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，將題目中的各題一一作出判斷即可．【詳解】解：①，，故能構(gòu)成直角三角形，符合題意；②，，故能構(gòu)成直角三角形，符合題意；③，令，，，，、、不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；④，，，，故能構(gòu)成直角三角形，符合題意；綜上所述：①②④正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)注意是兩較短邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方．二、填空題6．（2023春·吉林·八年級(jí)期中）如圖，在中，，以和為邊向兩邊分別作正方形，面積分別為和，已知，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【答案】5【分析】利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∵，∴，∵在中，，∴，∴（負(fù)值已舍去）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理．正確的識(shí)圖，熟練掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上則邊上的高為_(kāi)__________．

【答案】2【分析】根據(jù)勾股定理逆定理證明是直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，∴，∴是直角三角形，且；過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，如圖，

∴，∴，即邊上的高為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及逆定理，熟記勾股定理及逆定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，垂足為D，，，則______．【答案】/【分析】根據(jù)作出輔助線，證明全等三角形，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】在上取一點(diǎn)，使得，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，則，∴在中，,即，解得，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是作出輔助線，根據(jù)勾股定理列方程求解．9．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考二模）如圖，三角形紙片中，，，．沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與的交點(diǎn)為E，則的長(zhǎng)是______．【答案】【分析】根據(jù)折疊，可知，，，，然后證明，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理即可求出答案．【詳解】根據(jù)折疊，可知，，，設(shè)，，在中，即解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理等知識(shí)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·河北滄州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B，C，D都在小正方形的頂點(diǎn)上．

（1）線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____；（2）若，則三條線段首尾順次相接______（填“能”或“不能”）構(gòu)成直角三角形．【答案】能【分析】（1）直接利用勾股定理得出的長(zhǎng)；（2）直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．【詳解】解：（1）線段的長(zhǎng)是：；故答案為：；（2）三條線段首尾順次相接能構(gòu)成直角三角形．理由：∵，∴，∴三條線段首尾順次相接能構(gòu)成直角三角形．故答案為：能．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．三、解答題11．（2023春·湖北十堰·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a，b，c滿足，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】直角三角形，見(jiàn)解析【分析】利用絕對(duì)值以及偶次方的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)得出a，b，c的值進(jìn)而求出即可．【詳解】解：是直角三角形，理由：∵，∴，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出a，b，c的值是解題關(guān)鍵．12．（2023春·黑龍江大慶·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，折疊長(zhǎng)方形紙片的一邊，使點(diǎn)D落在邊的處，是折痕．已知，，求的長(zhǎng)．【答案】cm【分析】證明，，由是由折疊得到，可得，，再利用勾股定理可得，設(shè)，則，再建立方程即可．【詳解】∵四邊形為長(zhǎng)方形，∴，，又∵是由折疊得到，∴，，在中，，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，即．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的利用軸對(duì)稱的性質(zhì)再利用勾股定理建立方程是解本題的關(guān)鍵．13．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)期中）如圖，已知等腰的底邊，是腰上一點(diǎn)，連接，且．

(1)求證：是直角三角形；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可得到答案；（2）設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【詳解】（1）證明：，，，即為直角三角形；（2）解：設(shè)，是等腰三角形，．為直角三角形，為直角三角形，，即，解得：，故的長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．14．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是，四邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（格點(diǎn)：小正方形的頂點(diǎn)）．(1)四邊形的邊的長(zhǎng)；(2)連接，試判斷的形狀．【答案】(1)；(2)是直角三角形．【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）利用勾股定理求得，，的值，再利用勾股定理的逆定理即可判斷．【詳解】（1）解：；（2）解：如圖，∵，，，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理．熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．15．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，．

(1)如圖（1），把沿直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，求的長(zhǎng)；(2)如圖（2），把沿直線折疊，使點(diǎn)C落在邊上G點(diǎn)處，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)x，則，在中用勾股定理求解即可；（2）設(shè)x，則，先根據(jù)勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵直線是對(duì)稱軸，∴，∵，設(shè)，則在中，，∴，∴，解得，∴（2）解：∵直線是對(duì)稱軸，∴，，∵，設(shè)，則，∴在中，，，∴，在中，，∴，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊與三角形的問(wèn)題，勾股定理，掌握折疊性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)用含t的代數(shù)式表示①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，________．②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，________．(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求t的值；【答案】(1)①；②(2)或【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后再根據(jù)圖形求解即可；（2）當(dāng)為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)為直角時(shí)，②當(dāng)為直角時(shí)，分別求出此時(shí)的t值即可．【詳解】（1）∵，，，∴．∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速