廣東省佛山市禪城區(qū)佛山實驗中學2024屆數(shù)學高一上期末考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.2．下列各選項中的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱的是（）A.與 B.與C.與 D.與3．2022年北京冬奧會將于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕．北京冬奧會新增7個小項目，女子單人雪車為其中之一．下表是某國女子單人雪車集訓隊甲、乙兩位隊員十輪的比賽成績，則下列說法正確的是()隊員比賽成績第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪第六輪第七輪第八輪第九輪第十輪甲1分51秒741分51秒721分51秒751分51秒801分51秒901分51秒811分51秒721分51秒941分51秒741分51秒71乙1分51秒701分51秒801分51秒831分51秒831分51秒801分51秒841分51秒901分51秒721分51秒901分51秒91A.估計甲隊員的比賽成績的方差小于乙隊員的比賽成績的方差B.估計甲隊員的比賽成績的中位數(shù)小于乙隊員的比賽成績的平均數(shù)C.估計甲隊員的比賽成績的平均數(shù)大于乙隊員的比賽成績的平均數(shù)D.估計甲隊員的比賽成績的中位數(shù)大于乙隊員的比賽成績的中位數(shù)4．將函數(shù)的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的3倍，再向右平移個單位，得到的函數(shù)的一個對稱中心是A. B.C. D.5．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于方程有個不同實根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.6．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的一條對稱軸為A. B.C. D.7．若不等式對一切恒成立，那么實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.8．若，則是（）A.第一象限或第三象限角 B.第二象限或第四象限角C.第三象限或第四象限角 D.第二象限或第三象限角9．將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖像向左平移個單位，得到的圖像對應的解析式為（）A. B.C. D.10．已知全集，，，則等于（）A. B.C. D.11．冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（4，2），則冪函數(shù)y=f（x）的圖象是A. B.C. D.12．若實數(shù)滿足，則的最小值為（）A.1 B.C.2 D.4二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為______14．函數(shù)f(x)＝＋的定義域為____________15．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為__________16．東方設(shè)計中的“白銀比例”是，它的重要程度不亞于西方文化中的“黃金比例”，傳達出一種獨特的東方審美觀．折扇紙面可看作是從一個扇形紙面中剪下小扇形紙面制作而成（如圖）．設(shè)制作折扇時剪下小扇形紙面面積為，折扇紙面面積為，當時，扇面看上去較為美觀，那么原扇形半徑與剪下小扇形半徑之比的平方為________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知（）.（1）當時，求關(guān)于的不等式的解集；（2）若f（x）是偶函數(shù)，求k的值；（3）在（2）條件下，設(shè)，若函數(shù)與的圖象有公共點，求實數(shù)b的取值范圍18．如圖，已知矩形，，，點為矩形內(nèi)一點，且，設(shè).（1）當時，求證：；（2）求的最大值.19．已知函數(shù)fx=-x2（1）求不等式cx（2）當gx=fx-mx在20．已知是定義在上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)和的值；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明：在定義域上為增函數(shù).21．觀察下列各等式：，，.（1）請選擇其中的一個式子，求出a的值；（2）分析上述各式的特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并進行證明.22．某網(wǎng)上電子商城銷售甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤，甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤保修期均為3年，現(xiàn)從該商城已售出的甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤中各隨機抽取50個，統(tǒng)計這些固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的數(shù)據(jù)如下：型號甲乙首次出現(xiàn)故障的時間x(年)硬盤數(shù)(個)212123假設(shè)甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障相互獨立.（1）從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，試估計首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；（2）某人在該商城同時購買了甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤各一個，試估計恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年(即)的概率.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】由函數(shù)單調(diào)性的定義，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，可以得到函數(shù)在每一個子區(qū)間上都是單調(diào)遞減的，且當時，，求解即可【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得.故選C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．嚴格根據(jù)定義解答，本題保證隨的增大而減小，故解答本題的關(guān)鍵是的最小值大于等于的最大值2、A【解析】根據(jù)題意，逐一分析各選項中兩個函數(shù)的對稱性，再判斷作答.【詳解】對于A，點是函數(shù)圖象上任意一點，顯然在的圖象上，而點與關(guān)于y軸對稱，則與的圖象關(guān)于y軸對稱，A正確；對于B，點是函數(shù)圖象上任意一點，顯然在的圖象上，而點與關(guān)于原點對稱，則與的圖象關(guān)于原點對稱，B不正確；對于C，點是函數(shù)圖象上任意一點，顯然在的圖象上，而點與關(guān)于x軸對稱，則與的圖象關(guān)于x軸對稱，C不正確；對于D，點是函數(shù)圖象上任意一點，顯然在的圖象上，而點與關(guān)于直線y=x對稱，則與的圖象關(guān)于直線y=x對稱，D不正確.故選：A3、B【解析】根據(jù)表格中甲乙成績特征，可去掉成績里面的分和秒后進行比較．根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、方差的計算方法求出中位數(shù)、平均數(shù)、方差比較即可得到答案【詳解】根據(jù)表格中甲乙成績特征，可去掉成績里面的分和秒后進行比較，作莖葉圖如圖：由圖可知，甲的成績主要集中在70－75之間，乙的成績主要集中在80－90之間，∴甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)，故C錯誤；由圖可知甲的成績中位數(shù)為74.5，乙成績的中位數(shù)為83，故甲隊員的比賽成績的中位數(shù)小于乙隊員的比賽成績的中位數(shù)，故D錯誤；甲隊員比賽成績平均數(shù)為：，乙隊員比賽成績平均數(shù)為：，∴甲隊員的比賽成績的中位數(shù)小于乙隊員的比賽成績的平均數(shù)，故B正確；甲隊員的比賽成績的方差為：＝57.41，乙隊員的比賽成績的方差為：＝46.61，∴甲隊員的比賽成績的方差大于乙隊員的比賽成績的方差，故A錯誤故選：B4、A【解析】由函數(shù)的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的3倍得到，向右平移個單位得到，將代入得，所以函數(shù)的一個對稱中心是，故選A5、B【解析】等價于，即或，轉(zhuǎn)化為與和圖象交點的個數(shù)為個，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示變形得，由此得或，方程只有兩根所以方程有三個不同實根，則，故選：B【點睛】易錯點點睛：本題的易錯點為函數(shù)的圖像無限接近直線，即方程只有兩根，另外難點在于方程的變形，即因式分解6、C【解析】，所以，所以，所以是一條對稱軸故選C7、D【解析】由絕對值不等式解法，分類討論去絕對值，再根據(jù)恒成立問題的解法即可求得a的取值范圍【詳解】根據(jù)絕對不等式，分類討論去絕對值，得所以所以所以選D【點睛】本題考查了絕對值不等式化簡方法，恒成立問題的基本應用，屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】由已知可得即可判斷.【詳解】，即，則且，是第二象限或第三象限角.故選：D.9、B【解析】由三角函數(shù)的平移變換即可得出答案.【詳解】函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得，再將所得的圖象向左平移個單位可得故選：B.10、D【解析】利用補集和并集的定義即可得解.【詳解】，，，，，.故選：D.【點睛】本題主要考查集合的基本運算，熟練掌握補集和并集的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】設(shè)出函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（4，2），構(gòu)造方程求出指數(shù)的值，再結(jié)合函數(shù)的解析式研究其性質(zhì)即可得到圖象【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為y=xa，∵冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（4，2），∴2=4a，解得a=∴，其定義域為[0，+∞），且是增函數(shù)，當0＜x＜1時，其圖象在直線y=x的上方．對照選項故選C【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求解及冪函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關(guān)系，其中對于已經(jīng)知道函數(shù)類型求解析式的問題，要使用待定系數(shù)法12、C【解析】先根據(jù)對數(shù)的運算得到，再用基本不等式求解即可.【詳解】由對數(shù)式有意義可得，由對數(shù)的運算法則得，所以，結(jié)合，可得，所以，當且僅當時取等號，所以.故選：.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】由基本不等式求得的最小值，解不等式可得的范圍【詳解】∵，，，，∴，當且僅當，即時等號成立，∴的最小值為8，由解得，故答案為：14、【解析】根據(jù)題意，結(jié)合限制條件，解指數(shù)不等式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由，解得且，因此定義域為.故答案為：.15、【解析】如圖可知函數(shù)的最大值，當時，代入，，當時，代入，，解得則函數(shù)的解析式為16、##【解析】設(shè)原扇形半徑為，剪下小扇形半徑為，，由已知利用扇形的面積公式即可求解原扇形半徑與剪下小扇形半徑之比【詳解】解：由題意，如圖所示，設(shè)原扇形半徑為，剪下小扇形半徑為，，則小扇形紙面面積，折扇紙面面積，由于時，可得，可得，原扇形半徑與剪下小扇形半徑之比的平方為：故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）（2）1（3）【解析】（1）根據(jù)條件列指數(shù)不等式，直接求解即可；（2）利用偶函數(shù)定義列直接求解即可；（3）根據(jù)題意列方程，令，得到方程，構(gòu)造，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)討論方程的根即可.【詳解】（1）因為所以原不等式的解集為（2）因為的定義域為且為偶函數(shù)，所以即所以.經(jīng)檢驗滿足題意.（3）有（2）可得因為函數(shù)與的圖象有公共點所以方程有根即有根令且（）方程可化為（*）令恒過定點①當時，即時，（*）在上有根（舍）；②當時，即時，（*）在上有根因為，則（*）方程在上必有一根故成立；③當時，（*）在上有根則有④當時，（*）在上有根則有綜上可得：的取值范圍為【點睛】本題重點考查了函數(shù)方程的求解及二次函數(shù)根的分布，用到了換元和分類討論的思想，考查了學生的計算能力，屬于難題.18、（1）見解析（2）【解析】（1）以為坐標原點建立平面直角坐標系，求出各點的坐標，即得，得證；（2）由三角函數(shù)的定義可設(shè)，，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解.【詳解】以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，，，.當時，，則，，∴.∴.（2）由三角函數(shù)的定義可設(shè)，則，，，從而，所以，因為，故當時，取得最大值2.【點睛】本題主要考查平面向量的坐標表示和運算，考查向量垂直的坐標表示，考查平面向量的數(shù)量積運算和三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）x∈（2）m≥1【解析】（1）由不等式fx>0的解集為x1<x<2可得x2-bx-c=0的兩根是1,2，根據(jù)根系數(shù)的關(guān)系可求b=3和c=-2，代入不等式cx2【詳解】（1）由fx>0的解集為x1<x<2，則-x2+bx+c>0的解集為x1<x<2則1+2=b1×2=-c由cx則解集為x∈（2）由gx=-x則3-m2解出m≥1【點睛】本題考查了三個二次的關(guān)系，（1）二次函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標，二次不等解集的端點值，一元二次方程的根是同一個量的不同表現(xiàn)形式；（2）二次函數(shù)、二次不等式，二次方程常稱作“三個二次”，其中的某類的問題?？梢赞D(zhuǎn)化為另兩類問題加以解決，所以三者的關(guān)系密切而重要．其中二次函數(shù)是“三個二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖像使它們貫穿一體，使得數(shù)形結(jié)合思想在此類問題的解決中十分有效20、（1）；（2）見詳解2.【解析】（1）由可得，再求值.（2）設(shè)，作差與零比較.【小問1詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，，，【小問2詳解】設(shè)，則，，，，所以，，故在定義域上為增函數(shù).21、（1）（2）證明見詳解【解析】（1）利用第三個式子，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可；（2）用兩角和正弦公式展開，代入化簡，結(jié)合，即得解【小問1詳解】由題意，【小問2詳解】根據(jù)題干中各個式子的特點，猜想等式：證明：左邊即得證22、（1）；（2）【解析】（1）由頻率表示概率即可求出；（2）先分別求出從甲、乙兩種品牌隨機抽取一個，首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年的概率，即可求出恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年的概率.【詳解】解：（1）在圖表中，甲品牌的個樣本中，首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為：，設(shè)從該商城銷售的