電磁場與電磁波1第

1

章

矢量分析主要內(nèi)容：標量和矢量坐標系標量的梯度矢量的通量、散度、高斯定理矢量的環(huán)流、旋度、斯托克斯定理

亥姆霍茲定理電磁場與電磁波3m4mAB路程？位移？電磁場與電磁波31.1

標量場與矢量場標量:只有大小而沒有方向的量.Scalar矢量:

不但有大小而且有方向特征的量.

Vector矢量描述有向線段、單位矢量、分量表示標量、矢量舉例標量：電壓、溫度….矢量：作用力、場強….場:在指定的時刻，空間每一點如果可以用一個量唯一地描述，則該量函數(shù)定出了場.Field電磁場與電磁波+Q+Q2+Q1場標量場和矢量場一、標量場定義：空間某一區(qū)域內(nèi)存在一標量函數(shù)u，它的值隨空間的位置而定，同時可能是時間的函數(shù)：u=u（x.y.z;t）。

例如：溫度場，勢場等值面：標量場中量值相等的點構(gòu)成的面，稱為等值面。例如：等溫面，等勢面。電磁場與電磁波5標量場和矢量場一、標量場定義：空間某一區(qū)域內(nèi)存在一標量函數(shù)u，它的值隨空間的位置而定，同時可能是時間的函數(shù)：u=u（x.y.z;t）。

例如：溫度場，勢場等值面：標量場中量值相等的點構(gòu)成的面，稱為等值面。例如：等溫面，等勢面。方向性導數(shù)對于一個標量場除了了解標量場u的總體分布情況，還要討論其等值面隨空間的變化。方向性導數(shù)：等值面沿某一給定方向l0的變化率，

稱為該標量場沿l0方向的方向性導數(shù)。電磁場與電磁波6例：溫度場：電磁場與電磁波7二、矢量場矢量場的定義：設(shè)空間某一區(qū)域存在一矢量函數(shù)，它的大小及方向隨空間位置變化（可能還是時間的函數(shù)），則稱該區(qū)域存在一矢量場：例如：速度場，電場，磁場。為形象的描述矢量場，通常在矢量場中作一些曲線。使曲線上每一點的切線方向與該點相應的場矢量方向一致。該點附近曲線的疏密和該點矢量的大小成正比，這樣的曲線族稱為矢量場的“力線”和“場線”。我們可以通過“力線”形象的描述和分析矢量場的分布和性質(zhì)。電磁場與電磁波8矢量線：表示矢量在空間分布的有向線段。矢量線的疏密表征矢量場的大??；矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向。9電磁場與電磁波場的重要特性電磁場與電磁波10占有一個空間，客觀存在可以用數(shù)學模型來描述除個別點和表面，物理狀態(tài)連續(xù)靜態(tài)場：物理狀態(tài)與時間無關(guān)動態(tài)場：…………隨時間變化而變化——時變場“電磁場”的概念電磁學：研究電荷效應——運動/靜止電荷運動電荷產(chǎn)生電流，電流產(chǎn)生磁場“場”——空間分布的量時變的磁場和電場是同時存在的——電磁場

電磁場可以產(chǎn)生“波”——“發(fā)射/輻射”電磁場與電磁波111.2

矢量的運算A+B1.

矢量的“和/差”計算：作圖法、分量法(2)分量法電磁場與電磁波122.矢量的“乘積”計算：點積、叉積2.1

點積——標量積(Scalar

Product)…(是標量)大小、符號：“正交”：電磁場與電磁波13例題：證明“三角形余弦定理”思路：C長度~矢量C的“?！保菏噶緾是矢量A和B的矢量和：電磁場與電磁波14解題：電磁場與電磁波152.2矢量的叉積叉積是矢量積(Vector

Product)

…(是矢量)O

“模”：O方向：

“右手螺旋法則”O(jiān)物理含義：“平行四邊形面積”“右手法則”——電磁場與電磁波161.2.3.標量三重積

Scalar

Triple

Product矢量三重積

Vector

Triple

Product矢量叉乘的性質(zhì)電磁場與電磁波17標量三重積記憶1：“循環(huán)互換規(guī)律”

記憶2：“平行六面體體積”平行六面體“體積”＝“底面積”ד高”“體積”——唯一性

上等式成立電磁場與電磁波18矢量與矢量場的不變性坐標系：在任一時刻，描述場的物理狀態(tài)分布的函數(shù)是唯一的?！笮?、方向是唯一的。因此，引入多種坐標系，以方便地進行分析。直角坐標系：柱坐標系：球坐標系：電磁場與電磁波19直角坐標系(笛卡兒坐標系)——Cartesian

Coordinates電磁場與電磁波20記憶技巧：結(jié)果是矢量：前一項：

“正向x-y-z-x-y-z…”(3)后一項：負號“反向”電磁場與電磁波21直角坐標系中微分長度、面積、體積電磁場與電磁波22微分長度微分面積微分體積柱面坐標系

——Cylindrical

Coordinates電磁場與電磁波23頂視圖電磁場與電磁波24柱面坐標系中微分長度、面積、體積微分長度微分面積電磁場與電磁波25微分體積電磁場與電磁波26球坐標系——Spherical

Coordinates電磁場與電磁波27微分長度微分面積電磁場與電磁波28微分體積微分長度電磁場與電磁波29微分面積電磁場與電磁波30微分體積電磁場與電磁波311.3 “三度”、“三定理”電磁場與電磁波32標量的梯度矢量的通量、散度、高斯定理矢量的環(huán)流、旋度、斯托克斯定理亥姆霍茲定理Gradient——gradDivergence——divCurl——curl1.3.1

標量的“梯度”等值面：等溫線等高線？“爬山”同樣的增量情況下

沿什么方向最“陡”？——數(shù)學模型：標量函數(shù)u，沿某個方向的變化率情況梯度是表示標量最大空間增長率的

大小和方向的矢量。電磁場與電磁波33梯度是表示標量最大空間增長率的大小和方向的矢量?！茴D算符

Gradient——grad標量沿其他方向的變化率電磁場與電磁波34不同坐標系下的表示笛卡兒坐標系中：柱面坐標系中：球坐標系中：電磁場與電磁波35如何記憶？笛卡兒坐標系中微分長度柱面坐標系中微分長度電磁場與電磁波36球坐標系中微分長度電磁場與電磁波37例

題已知：

令：求：法一：直接法——求坐標系梯度公式！電磁場與電磁波38法二：分析法——找規(guī)律！利用笛卡兒坐標系！電磁場與電磁波39答案1答案2都

對

!!電磁場與電磁波401.3.2矢量的“通量”和“散度”矢量 沿某一有向曲面 的面積分為 通過的通量.矢量沿某一有向曲面的面積分稱為通過該面的通量。通量(Flux)電磁場與電磁波41散

度散度定義：單位體積的凈流散通量Divergence——div散度表示 有向場中任一點處 通過包圍該點的單位

體積之表面的

通量。電磁場與電磁波42笛卡兒坐標系中：柱面坐標系中：球坐標系中：不同坐標系下的散度表示電磁場與電磁波43需要記住在笛卡兒坐標系中：電磁場與電磁波44散度定理散度定理：矢量場散度的體積分＝該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量也叫“高斯定理”

——Gauss’s

Law電磁場與電磁波451.3.3

矢量的環(huán)流和旋度矢量的環(huán)流：該矢量沿有向閉合路徑的線積分

矢量 沿閉合路徑 的環(huán)量＝電磁場與電磁波46矢量的

“旋度”旋度的定義Curl——curl——面環(huán)流密度——方向：與閉合路徑遵循右手螺旋法則——大小：無限小面元，單位面積上 的凈環(huán)量（環(huán)流量的面密度）電磁場與電磁波47笛卡兒坐標系中電磁場與電磁波48斯托克斯定理斯托克斯定理：矢量場旋度的面積分＝該矢量沿包圍該表面的封閉曲線的積分——Stokes’s

Law電磁場與電磁波49梯度運算的基本公式電磁場與電磁波50散度運算的基本公式電磁場與電磁波51旋度運算的基本公式電磁場與電磁波52關(guān)于“三度三定理”中的第三個定理先看兩個恒等式(1)

標量場梯度的旋度為零保守性(2)

矢量場旋度的散度為零p13電磁場與電磁波53p11亥姆霍茲定理(公理)在空間有限區(qū)域內(nèi)的任一矢量場，由它的旋度、散度和邊界條件唯一地確定。其中，邊界條件指在該有