獨立測角網(wǎng)條件方程的線性化刻畫

一、條件方程的對比極端條件方程是獨立測角網(wǎng)條件公式差法平差時需要列出的條件方程之一。列立極條件方程是獨立測角網(wǎng)條件公式和條件規(guī)律的重要內(nèi)容之一。該條件方程對比其它類型的條件方程,如圖形條件(內(nèi)角和條件)方程和圓周條件(水平條件)方程,冗長、繁雜,不容易一眼看出。因此,如何在復(fù)雜的表象下尋求規(guī)律和利用規(guī)律成為高效準(zhǔn)確列立極條件方程的關(guān)鍵。二、極條件平差值方程的運用圖1為一測角中點三角形,A、B為已知點,C、D為待求點,網(wǎng)中觀測了9個角度。該圖形必要觀測數(shù)為4,多余觀測數(shù)為5,應(yīng)列5個條件方程,這5個條件方程分別由3個圖形條件(內(nèi)角和條件)方程、1個圓周條件(水平條件)方程和1個極條件方程組成。3個圖形條件(內(nèi)角和條件)方程和1個圓周條件(水平條件)方程很容易列出,這里不再贅述。極條件是一種邊長條件,以中心D點為頂點,有三條邊:DA、DB和DC。從其中任意一條邊開始依次推算其它各邊的長度,最后又回到起始邊,得出推算起始邊長度,而推算起始邊長度理應(yīng)等于起始邊長度,即這兩個長度構(gòu)成幾何邊長約束條件。如圖1所示,以DA邊為起算邊,應(yīng)用正弦定理,依次推算DB、DC,最后轉(zhuǎn)了一圈,推算出DA,推算起始邊長度理應(yīng)等于起始邊長度,整理后得:式中為觀測角度Li(i=1,2…,9)的平差值。將上述非線性形式的極條件平差值方程化為線性形式,通常有兩種方法:用臺勞公式展開取至一次項或先取對數(shù),再按臺勞公式展開成線性形式。兩種方法的線性化結(jié)果一致:其中,極條件閉合差ρ為1弧度所對應(yīng)的秒數(shù),即206265″。通過對上述獨立測角網(wǎng)列立極條件的過程和極條件形式進(jìn)行分析、總結(jié),我們可得出以下明顯規(guī)律:(一)需要線性化，平差極條件的方程需要線性化條件平差中,法方程系數(shù)需根據(jù)線性形式條件方程的系數(shù)和權(quán)組成,所以非線性形式的極條件方程需轉(zhuǎn)化成線性形式。(二)以中心為極的邊界值，無論從哪個邊界點開始計算，得到的極條件公式都是一致的如圖1所示,無論以DA、DB或DC哪條邊為起算邊,依次推算轉(zhuǎn)一圈,得出的極條件方程一致。(三)在極條件方程中，修正數(shù)的系數(shù)是相應(yīng)觀測值的剩余切割如圖1所示,極條件方程的系數(shù)分別為相應(yīng)觀測值的余切cotL1、cotL2等。(四)在極條件方程中,增加了重要的觀如圖1所示,平差值極條件方程中,出現(xiàn)在分子位置的觀測值,如L1、L4、L7,在極條件方程式中符號為“+”,出現(xiàn)在分母位置的觀測值,如,L2、L5、L8在極條件方程式中符號為“-”。(五)極條件閉合差式如圖1所示,平差值極條件方程中,出現(xiàn)在分子位置的觀測值,如L1、L4、L7,在極條件閉合差中在分母位置;出現(xiàn)在分母位置的觀測值,如,L2、L5、L8在極條件閉合差表達(dá)式中處在分母位置。以上規(guī)律可整理為口訣:“極條件要線性化,審核需要轉(zhuǎn)個圈,系數(shù)為其余切值,只出現(xiàn)相關(guān)角度值,符號正負(fù)相交替,相似位置符號同。常數(shù)項,閉合差,分子分母換位置?！比⑾鄬ζ讲钪禈O條件方程例1:如圖1所示,9個同精度獨立觀測值分別為:試列出極條件方程。解:根據(jù)上述分析和規(guī)律,列出的極條件方程為:(根據(jù)規(guī)律,可直接列出線性形式的極條件方程,用推算轉(zhuǎn)圈的過程規(guī)律審核即可。)該極條件方程中,改正數(shù)vi(i=1,2…,9)前的系數(shù)為其相應(yīng)觀測值的余切值,符號“+”、“-”交替,且只出現(xiàn)和正弦定理推算相關(guān)的角度值,如L1、L2、L4、L5、L7、L8這6個角度。以D為頂點,相似位置符號相同,如L1、L4、L7位置(推算方向前進(jìn)邊對應(yīng)角度)對應(yīng)符號均為“+”,L2、L5、L8位置(推算方向后視邊對應(yīng)角度)對應(yīng)符號均為“-”。閉合差表達(dá)式中,相對平差值方程表達(dá)式,分子分母換位置,符合規(guī)律口訣所述。根據(jù)已知觀測值,得:1.67v1-1.10v2+1.50v4-2.61v5+2.27v7-1.85v8-33.12=0(單位為″)例2:寫出如圖2所示中點五邊形P-ABCDE極條件方程式。解:如圖所示中點五邊形P-ABCDE,以P為極,PB為起算邊,分別按△PAB、△PEA、△PDE、△PCD、△PBC順序轉(zhuǎn)個圈,推算出PB邊,推算出的PB邊應(yīng)等于PB,經(jīng)整理,得平差值極條件方程式為:以上步驟可只用來審核,事實上,可直接寫出線性形式的極條件方程如下:其中,極條件閉合差該極條件方程中,改正數(shù)vi(i=1,2…,9)前的系數(shù)為其相應(yīng)觀測值的余切值,符號“+”、“-”交替,以P為頂點,相似位置符號相同,如L1、L3、L5、L7、L9位置(推算方向前進(jìn)邊對應(yīng)角度)對應(yīng)符號均為“+”,L2、L4、L6、L8、L10位置(推算方向后視邊對應(yīng)角度)對應(yīng)符號均為“-”。閉合差表達(dá)式中,相對平差值方程表達(dá)式,分子分母換位置,符合規(guī)律口訣所述。例3:寫出圖3所示大地四邊形的極條件方程式。解:以D點為極,BD為起算邊,分別按△DAB、△DCA、△DCB順序轉(zhuǎn)個圈,推算出的BD邊應(yīng)等于BD,平差值極條件方程式為:同樣,以上步驟用來審核即可,直接寫出線性形式的極條件方程如下:[cot(L7+L8)](v7+v8)-(cotL1)v1+(cotL2)v2-[cot(L3+L4)](v3+v4)+(cotL4)v4-(cotL7)v7+w極=0整理可得:-(cotL1)v1+(cotL2)v2-[cot(L3+L4)]v3+[(cotL4)-cot(L3+L4)]4+[cot(L7+L8)-(cotL7)]v7-(cotL7+cotL8)v8+w極=0其中,極條件閉合差還可以對角線交點O為極點(虛擬的極點,此時,大地四邊形相當(dāng)于中點四邊形),OA為起算邊,按△OAB、△OBD、△ODC、△OCA轉(zhuǎn)個圈推算,推算邊應(yīng)等于起算邊,建立平差值極條件方程式為:以上步驟可只用來審核,直接列出的線性形式極條件方程如下:(cotL1)v1-(cotL2)v2+(cotL3)v3-(cotL4)v4+(cotL5)v5-(cotL6)v6+(cotL7)v7-(cotL8)v8+w極=0其中,極條件閉合差該極條件方程中,改正數(shù)vi(i=1,2…,8)前的系數(shù)為其相應(yīng)觀測值的余切值,符號“+”、“-”交替,以虛交點0為頂點,相似位置符號相同,如L1、L7、L5、L3位置(推算方向前進(jìn)邊對應(yīng)角度)對應(yīng)符號均為“+”,L8、L6、L4、L2位置(推算方向后視邊對應(yīng)角度)對應(yīng)符號均為“-”。閉合差表達(dá)式中,相對平差值方程表達(dá)式,分子分母換位置,符合規(guī)律口訣所述。例4:寫出如圖4所示基線條件方程,并寫出CE邊平差值C^E的權(quán)函數(shù)式。解:基線條件,即邊長附和條件。如圖所示,從AB一條已知邊出發(fā),根據(jù)正弦定理,沿如圖所示箭頭方向推算至另一條已知邊EF,用AB表示的推算EF邊理應(yīng)等于已知邊長,整理得基線平差值方程:式中,AB、EF為已知邊長。上述推導(dǎo)過程和基線平差值方程可僅用來審核,事實上,可直接根據(jù)規(guī)律寫出基線條件方程:其中,極條件閉合差該極條件方程中,改正數(shù)vi(i=1,2…,12)前的系數(shù)為其相應(yīng)觀測值的余切值,符號“+”、“-”交替,且只出現(xiàn)和正弦定理推算相關(guān)的角度值,如L1、L2、L4、L5、L7、L8、L10、L11這8個角度。以AB為起算邊推算,相似位置符號相同,如L1、L5、L7、L11位置(推算方向前進(jìn)邊對應(yīng)角度)對應(yīng)符號均為“+”,L2、L4、L8、L10位置(推算方向后視邊對應(yīng)角度)對應(yīng)符號均為“-”。閉合差表達(dá)式中,相對平差值方程表達(dá)式,分子分母換位置,符合規(guī)律口訣所述。在平差中,經(jīng)常需要求出未知邊平差值的相對中誤差以評定精度,而要想求定未知邊平差值的相對中誤差必須寫出其權(quán)函數(shù)式,利用線性化的權(quán)函數(shù)式中的系數(shù)求相對中誤差。如題目要求寫出CE邊平差值C^E的權(quán)函數(shù)式,如圖,從一條已知邊AB(也可從EF)出發(fā),根據(jù)正弦定理,從左到右推算至CE:式中,AB為已知邊長,C^E為CE邊長的平差值。上述推導(dǎo)過程和平差值方程可僅用來審核,事實上,可直接根據(jù)規(guī)律寫出權(quán)函數(shù)式:dF=(cotL1)dL1-(cotL2)dL2+(cotL5)dL5-(cotL4)dL4+(cotL7)dL7-(cotL8)dL8+(cotL12)dL12-(cotL10)dL10該權(quán)函數(shù)式中,改正數(shù)dLi(i=1,2…,12)前的系數(shù)為其相應(yīng)觀測值的余切值,符號“+”、“-”交替,且只出現(xiàn)和正弦定理推算相關(guān)的角度值,如L1、L2、L4、L5、L7、L8、L10、L12這8個角度。以為起算邊推算,相似位置符號相同,如L1、L5、L7、L12位置(推算方向前進(jìn)邊對應(yīng)角度)對應(yīng)符號均為“+