奧之星中考數(shù)學(xué)類比探究類動態(tài)幾何?？碱愋蛣狱c(diǎn)問題：速度的幾何問題。解題方法研究根本圖形；2.分析起點(diǎn)、終點(diǎn)、狀態(tài)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，確定分段；3.根據(jù)幾何特征表達(dá)線段長，建等式求解。幾何綜合問題：常以三角形、四邊形為背景，結(jié)合幾何變換、幾何模型、幾何結(jié)構(gòu)等進(jìn)行考查。找特征〔中點(diǎn)、特殊角、折疊等〕、找模型〔相似結(jié)構(gòu)、三線合一、面積等〕；2.借助問與問之間的聯(lián)系，尋找條件和思路。類比探究題型特征：圖形結(jié)構(gòu)類似、問法類似，常含探究、類比等關(guān)鍵詞。解題方法：1.照搬：照搬上一問的方法、思路解決問題。如照搬字母、照搬輔助線、照搬全等、照搬相似。圖〔1〕A圖〔1〕ABCDEFMN①直角，作橫平豎直的線，找全等或相似；②中點(diǎn)，作倍長，通過全等轉(zhuǎn)移邊和角；③平行，找相似，轉(zhuǎn)比例。例題一1．問題解決如圖〔1〕，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上一點(diǎn)〔不與點(diǎn)，重合〕，壓平后得到折痕．當(dāng)時，求的值．方法指導(dǎo)：為了求得的值，可先求、的長，不妨設(shè)：=2圖〔2〕N圖〔2〕NABCDEFM在圖〔1〕中，假設(shè)那么的值等于；假設(shè)那么的值等于；假設(shè)〔為整數(shù)〕，那么的值等于．〔用含的式子表示〕N圖〔1-1〕N圖〔1-1〕ABCDEFM如圖〔2〕，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上一點(diǎn)〔不與點(diǎn)重合〕，壓平后得到折痕設(shè)那么的值等于．〔用含的式子表示〕問題解決解：方法一：如圖〔1-1〕，連接．由題設(shè)，得四邊形和四邊形關(guān)于直線對稱．∴垂直平分．∴∵四邊形是正方形，∴∵設(shè)那么在中，．∴解得，即在和在中，，，設(shè)那么∴解得即∴N圖〔1-2〕ABCDEFMG方法二：同方法一，如圖〔1－2〕，過點(diǎn)做交于點(diǎn)，連接∵∴四邊形是平行四邊形．∴N圖〔1-2〕ABCDEFMG同理，四邊形也是平行四邊形．∴∵在與中∴∵∴類比歸納：〔或〕；；聯(lián)系拓廣：例題二.在課外小組活動時，小慧拿來一道題〔原問題〕和小東、小明交流．

原問題：如圖1，△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，連接DE交AB于點(diǎn)F．探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系．

小慧同學(xué)的思路是：過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，構(gòu)造全等三角形，通過推理使問題得解．

小東同學(xué)說：我做過一道類似的題目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°．

小明同學(xué)經(jīng)過合情推理，提出一個猜測，我們可以把問題推廣到一般情況．

請你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問題：

〔1〕寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系；

〔2〕如圖2，假設(shè)∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原問題中的其他條件不變，你在〔1〕中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜測并加以證明；

〔3〕如圖3，假設(shè)∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原問題中的其他條件不變，你在〔1〕中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜測并加以證明．

答案：〔1〕DF=EF．

〔2〕猜測：DF=FE．

證明：過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，那么∠DGB=90°．

∵DA=DB，∠ADB=60°．

AG=BG，△DBA是等邊三角形．

∴DB=BA．

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴AC=AB=BG．

∴△DBG≌△BAC．

∴DG=BC．

∵BE=EC，∠BEC=60°，

∴△EBC是等邊三角形．

∴BC=BE，∠CBE=60°．

∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．

∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，

∴△DFG≌△EFB．

∴DF=EF．

〔3〕猜測：DF=FE．

證明：過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，連接HC，HE，HE交CB于K，那么∠DHB=90°．

∵DA=DB，∴AH=BH，∠1=∠HDB．∵∠ACB=90°，∴HC=HB．∵EB=EC，HE=HE，∴△HBE≌△HCE．∴∠2=∠3，∠4=∠BEH．∴HK⊥BC．∴∠BKE=90°．∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC∴∠HDB=∠BEH=∠ABC．∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°．∴DB∥HE，DH∥BE．∴四邊形DHEB是平行四邊形．∴DF=EF．解題思路：此題的解題思路是通過構(gòu)建全等三角形來求解．先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)得到一些隱含的條件，然后根據(jù)所得的條件來證明所構(gòu)建的三角形全等；再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出DF=EF．圖3例題三圖3情境觀察:圖1圖2將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、圖1圖2觀察圖2可知：與BC相等的線段是，∠CAC′=°．問題探究:向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖4拓展延伸:如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H.假設(shè)AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖4【答案】情境觀察:AD〔或A′D〕，90問題探究:結(jié)論：EP=FQ.證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ.拓展延伸:結(jié)論：HE=HF.理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AB,EA).同理△ACG∽△FAQ，∴eq\f(AG,FP)=eq\f(AC,FA).∵AB=kAE，AC=kAF，∴eq\f(AB,EA)=eq\f(AC,FA)=k，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AG,FP).∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF.綜合練習(xí)1.如下圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)〔不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合〕，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP，BH．〔1〕求證：∠APB=∠BPH．〔2〕當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論．〔3〕設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？假設(shè)存在，求出這個最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．2.數(shù)學(xué)課上，魏老師出示圖1和下面框中條件：圖1圖2〔1〕①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時，如圖2所示，可得的值為___________；②在平移過程中，的值為___________〔用含x的代數(shù)式表示〕．〔2〕將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，原題中的其他條件保持不變．當(dāng)點(diǎn)A落在線段DF上時，如圖3所示，請計算的值．〔3〕將圖1中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)度，，原題中的其他條件保持不變，如圖4所示，請計算的值〔用含x的代數(shù)式表示〕．圖3圖43.如圖1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．〔1〕探究PG與PC的位置關(guān)系及的值〔寫出結(jié)論，不需要證明〕．〔2〕如圖2，將原問題中的正方形ABCD和正方形BEFG換成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60°．探究PG與PC的位置關(guān)系及的值，寫出你的猜測并加以證明．〔3〕如圖3，將圖2中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的邊BG恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，問題〔2〕中的其他條件不變．在〔2〕中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜測并加以證明．圖1圖2圖34.如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°．【操作】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC交于點(diǎn)Q．【探究】在旋轉(zhuǎn)過程中，〔1〕如圖2，當(dāng)時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明．〔2〕如圖3，當(dāng)時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明．〔3〕根據(jù)你對〔1〕、〔2〕的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)時，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為________________________．5.：線段OA⊥OB，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，D為線段OA上一點(diǎn)．連接AC，BD交于點(diǎn)P．〔1〕如圖1，當(dāng)OA=OB，且D為OA中點(diǎn)時，求的值；〔2〕如圖2，當(dāng)OA=OB，且時，求tan∠BPC的值；〔3〕如圖3，當(dāng)AD:OA:OB=1:n:時，直接寫出tan∠BPC的值．圖1圖2圖3補(bǔ)充練習(xí)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P為斜邊AB上一動點(diǎn)．PE⊥BC，PF⊥CA，那么線段EF長的最小值為__________．第1題圖第2題圖如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是線段BC上的一個動點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，那么線段EF長度的最小值為__________．如圖，圓心角都為90°的扇形OAB與扇形OCD疊放在一起，OA=1，OC=3，將扇形OAB繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到右圖〔0°<∠AOC<90°〕，分別連接AC，BD，那么圖中陰影局部的面積為__________．第3題圖第4題圖如圖，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB為直徑的半圓O與DC相切于點(diǎn)E，那么陰影局部的面積為__________．如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，連接A