專題10模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型——共頂點的等腰三角形之三大類型【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一共頂點的等邊三角形】 1【類型二共頂點的等腰直角三角形】 12【類型三共頂點的一般等腰三角形】 23【典型例題】【類型一共頂點的等邊三角形】例題：（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）已知是等邊三角形，點D是直線上一點，以為一邊在的右側(cè)作等邊△ADE．(1)如圖①，點D在線段上移動時，直接寫出和的大小關系；(2)如圖②③，點D在線段（或）的延長線上移動時，猜想的大小是否發(fā)生變化．若不變請求出其大??；若變化，請說明理由．【變式訓練】1．（2023春·山東菏澤·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，點C為線段上一點，，是等邊三角形，直線、交于點E，直線、交于點F．則以下結(jié)論：①；②；③；④．正確的有．

2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？奸_學考試）如圖1，已知．以為邊向形外作等邊三角形，連接．

(1)求證：；(2)如圖2，若，點H為的中點，連接，請直接寫出與全等的所有三角形．3.（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．4．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，向外作和等邊，連接．

(1)如圖1，當也是等邊三角形時，連接，交于點．①試猜想、的關系，并說明理由；②連接，問是否平分，為什么？(2)如圖2，當是直角三角形（）時，若，．求證：．5．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┮阎€段于點，點在直線上，分別以、為邊作等邊三角形和等邊三角形，直線交直線于點．(1)當點在線段上時，如圖①，直接寫出，，之間的關系．(2)當點在線段的延長線上時，如圖②，當點在線段的延長線上時，如圖③，請分別寫出線段、、之間的數(shù)量關系，在圖②、圖③中選一個進行證明．(3)在（1）、（2）的條件下，若，，請直接寫出的值．

【類型二共頂點的等腰直角三角形】例題：（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】：如圖1，點在上，點在上，線段與的數(shù)量關系是________，位置關系是________．(2)【探究】：把繞點旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3)【拓展】：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當，，三點在同一直線上時，則的長是________．【變式訓練】1．（2023春·山東棗莊·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖：已知中，，，直角的頂點是中點，兩邊，分別交，于點，（點不與，重合），給出以下五個結(jié)論中正確的有（）①；②；③是等腰直角三角形；④

⑤；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023春·八年級課時練習）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關系為_______，、所在直線的位置關系為________；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．3．（2022秋·甘肅隴南·八年級校考期中）已知和都是等腰直角三角形，，點是直線上的一動點（點不與點重合），連接．

(1)在圖1中，當點在邊上時，求證：；(2)在圖2中，當點在邊的延長線上時，結(jié)論是否還成立？若不成立，請猜想之間存在的數(shù)量關系，并說明理由；(3)在圖3中，當點在邊的反向延長線上時，求出之問存在的數(shù)共關系及直線與直線的位置關系．4．（2023春·湖南常德·九年級統(tǒng)考期中）已知：和均為等腰直角三角形，，，，按圖1放置，使點在上，取的中點，連接．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：圖1中的數(shù)量關系是_____，位置關系是_____；(2)探究證明：將圖1中的繞點順時針轉(zhuǎn)動，再連接，取的中點（如圖2），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；(3)拓展延伸：將圖1中的繞點順時針轉(zhuǎn)動任意角度（轉(zhuǎn)動角度在到之間），再連接的中點（如圖3），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論．【類型三共頂點的一般等腰三角形】例題：（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在中，F(xiàn)為中點，分別以、為底邊向外作等腰三角形和等腰三角形，記，．(1)若，如圖，求證：，；(2)當，不等于時，若，①在圖中補全圖形；②試判斷，的數(shù)量關系，并證明．【變式訓練】1．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，．分別以、為腰在左側(cè)、右側(cè)作等腰三角形．等腰三角形，連接、．

(1)如圖1，當時，①、的形狀是____________；②求證：．(2)若，①如圖2，當時，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由；②如圖3，當時，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）定義：頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，