第42講直線與圓、圓與圓代數(shù)幾何雙管齊下

一、知識聚焦

圓是數(shù)學中優(yōu)美的圓形，具有豐富的性質(zhì)，在解決直線與圓的位置關系問題時，應盡量

聯(lián)系圓的幾何性質(zhì)、利用有關圖形的幾何特征，盡可能簡化運算.討論直線與圓的位置關系

時，若運用代數(shù)法，即通過聯(lián)立方程組消元得關于X或y的一元二次方程.由△>()、A=0,

A<0分別確定相交、相切、相離的位置關系；若運用幾何法，即通過圓心到直線的距離d

與半徑r的大小關系，由次r、*r、冷/?分別確定相交、相切、相離的位置關系.顯然，幾

何法比代數(shù)法更簡潔，在計算弦長時，要用半徑、弦心距、半弦長構成的直角三角形，兩圓

的位置可通過圓心距d與兩圓半徑間的關系進行判定，在研究這一課題時，特別要注意數(shù)形

結合，充分利用圓的性質(zhì)，如“垂直于弦的直徑必平分弦”“圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半

徑”“兩圓相切時，切點與兩圓圓心三點共線”等，尋找解題途徑，減少運算量.

在研究直線與圓、圓與圓位置關系問題時，經(jīng)常運用圓系方程，主要有以下3種.

⑴過圓+y2+Dx+Ey+F^Q與直線f.Ax+By+C=O交點的圓系方程為

Dx+Ey+F+X[Ax+By+Q=O(A為參數(shù)).

⑵過圓。:丁+_/+。1*+￡;/+八=0與圓a：x2+y2+D2X+E2y+/=2^0交點的圓系方程為

尸+y-+￡?ix+￡j/+A+R(廠+y-+Dx+Ej/+E)=O(不包括圓Q,R為參數(shù)).當久=1時，方程表示

兩圓公共弦方程.

⑶若小,%)表示圓CV+V+Dx+Ey+EnO上任意一點，則曲線系方程

222

(x+/+￡>x+￡y+F)+z[(x-x0)+(y-y0)=。(4為參數(shù)，才力-1),表示與。相切

于點(x0，%)的所有圓.

二、精講與訓練

核心例題1

⑴求經(jīng)過點R6,-4),且被圓x2+r=20截得弦長為60的直線的方程.

⑵求經(jīng)過RL-1)的圓(六3)4A2)2=4的切線方程.

⑶已知圓Cy+(y-i)2=5,直線/zm-jz+l-gO,設直線/和圓。交于48兩點，若|4q二

后,求/的傾斜角.

(4)若圓x+y-4x-4y^l0=0上至少有3個不同的點到直線f.ax+by=O的距離為2亞，求

直線/的傾斜角的取值范圍.

⑸過點不，1)的直線/與圓。/心1)?二5交于46兩點，若2%工法求直線/的方

程.

解題策略本例是一組直線與圓位置關系的習題，直線與圓的位置關系有兩種判斷方法，

在“知識聚焦”中已有介紹，此處不再重復.本例實質(zhì)是相交、相切問題的進一步研究，第(1)

問，可利用半徑、弦、弦心距之間的關系解決(即垂徑定理)；第⑵問，過圓外一點向圓可引

兩條切線，若利用點斜式求圓的切線方程，應注意斜率不存在的情況，如遇到只求得一條切

線時，要補上另一條過已知點且平行于_/軸的切線；第⑶問，直線與圓相交所得弦長問題，

可直接由弦長公式|4網(wǎng)="^^-司(若消去x得y的一元二次方程，則選擇

|A8|=也可由垂徑定理求得；第⑷問，圓上的點到直線的距離最值由圓心

到直線的距離和半徑?jīng)Q定；第⑸問，與向量結合則可抓住2年工拓得到46兩點坐標關系

求解，也可以從幾何性質(zhì)入手，若引入雙參數(shù)，解法可更顯簡捷.

解;⑴如圖42-1所示，|力5|=6夜，|。4|=2石，作OCVAB=^C,

在欣△04。中，|/=,20_0句=伉設所求直線的斜率為

k、則直線的方程為y+4=《六6),即kx-y-^k-^-Q.

圖42—1

?.,圓心到直線的距離為夜，即17公+2軟+7=0,1

k,==---.

?17

???所求直線方程為x+y-2=o或7x+17y+26=0.

⑵設所求切線方程為卜+1=依1),將y=kx-k-l代人圓的方程，

得(尸+l*-2(〃+3Z+3)x+〃+6Z+14=O.

由△=(),得狂得，求得切線方程為5六12尸17=0.

又由于外1,-1)在圓(x-3)2+S2)2=4外，過圓外一點可以向圓引兩條切線，故另一條切

線的斜率不存在，另一條切線方程為廣1,

「?經(jīng)過點61,-1）的圓（六3f+S2）2=4的切線方程為5六12尸17=0和x=/.

⑶聯(lián)立，"，消去J,得（1+〃）X2_2〃X+4—5=O,

）nx-y+1-tn=0

由弦長公式，得|AB|=^/C歸-w|,即Jl+/=拒、解得

機=±6,故/的傾斜角為￡或

33

解法二由垂徑定理，設圓心到直線的距離為a則/+（苧）=/

-：d=-fti=,則1J+[=5,整理得加=3,m=±6故/的傾斜角為J或

（4）把圓的一般方程化為標準方程得（六2）2+b2）J（30『，圓心坐標為（2.2）,

半徑為30'圓上至少有3個不同的點到直線/:ar+by=O的距離為2及，則圓心到直

線的距離應不大于血，即里二駕,，0.

當時，解得一2—扇/-2+6，又k=_,即2—石《鼠2+百，得直

線/的傾斜角的取值范用為二：，當6=0時，不合題意，舍去.

⑸解法一設直線/:y-1=々（X-1）,代入圓方程得（1+%?）V-2k2x+（A?-5）=0,

2k2k2-5

令4&,,）,3（9,%），則%+々=4^，中2=~^記，①

由2Ap=尸8得2（1—七,1一,）=（赴_1,必_1）,從而得2王+馬=3,

2k2左2+3

令％=3—(%+x2)=3—②

l+k21+二

32…山口

③

2,1+k21+公

女2+3k2-3k2-5

將②③代入①得解得k=±1,

\+k2\+k21+公

故直線/的方程為x-y=O或x+y—2=0.

解法二如圖42-2所示，作COL/I8于點，則|力。二|。穌從而|力。=

3|。4由勾股定理知葉=J|C4|2-|D4|2GC0.

把|CP|=1,|C4|=J^代人，得1—|OP『=5

-9|PF|2HCP|2,解得|。「『=:，|。。|=坐，

22

設直線/：y一1=依》-1),即依一y+(l—左)=(),可得

圖42-2

故直線/的方程為x—y=0或x+y-2=0.

解法三令4(1+凡1+6),8=(1-24,1-2。)，代人圓方程得',,,

(1-2吟+(-26)-=5

解得a=l,：=±1,即一(2,2)、8(-1,T)或42,0),8(-1,3).

故直線/的方程為六片0或x+片2=0.

變式訓練1

⑴設圓V+/-4六5=0的弦力8的中點為外3,1),則直線力8的方程是.

(2)已知圓伊一動直線/過點4-1，0)與圓。交于只。兩點，例為夕。的

中點，/與直線4：x+3p+6=0相交于點/V,則|44|力2=.

變式訓練2

已知圓。(六4+(/-2)2=25,直線/(2/77+l)x+(6+l)廣7/77-4=0(06例.

⑴證明:直線/與圓。相交；

(2)當圓C截直線/所得的弦長取最小值時，求直線/的方程及相應弦長的最小值.

核心例題2

已知點f\x,勿是圓(x+2)2+"=l.上任意一點.

⑴求。點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值.

(2)求六2,的最大值和最小值.

(3)求子的最大值和最小值.

解題策略本例是求與圓有關的最值問題，當題設條件與所求結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及

意義時，可考慮運用數(shù)形結合法.第⑴問，其幾何意義是圓心到直線的距離加上半徑長即為

所求最大值.圓心到直線的距離咸去半徑即為所求最小值；第⑵問，設七六2A則可轉(zhuǎn)化為

動直線截距的最值問題；第⑶問，上心的幾何意義是圓上點Hx,M與點4L2)連線的針

X-1

率，即可轉(zhuǎn)化為求動直線斜率的最值問題.

|3x(-2)+4x0+12|6

解:⑴圓心Q-2,0)到直線3x+4j/+12=0的距離為4,——

V32+425

??,夕點到直線3x+4j/+12=0的距離的最大值為d+尸1+1=日，最小值為/一八二號一口，

⑵解法一設t=x-2y,則直線戶2片U0與圓(x+2f+/=l有公共點，

|_2_A

I—?1,解得—\[5—2W[W\/5—2,貝ljtmax——2,tfrnn——\[^—2,

712+22

即六2y的最大值為6-2,最小值為-石-2.

解法二設x=-2+cos6,%sin8,貝lj六2y=-2+cosQ2sinO=-2-逐sin(。一°),其中tan

1

。二5，

??—V5—2^x—2y^>/5—2,即六2曠的最大值為^/^一2,最小值為——2.

⑶匕二表示圓上的點Rx,切與點41，2)連線的斜率為左,設代卜絲勺W1,

I\/k2+\

旬/曰3-.34-y/3....34-y/33—y/3

解得-----WkW------.貝ljkmax二---------,,kmin----------,

4444

即二的最大值為三W，最小值為士者.

x-144

變式訓練

已知點巴X、歷在圓CV+S1)2=1上運動.

⑴求(^2),+4的最大值與最小值.

⑵求2二的最大值與最小值.

x-2

核心例題3

(1)已知圓Ci：^+^-2mx+Ay+m-5-O；圓C2.^+^+2x-2my+rn-3-0.

m為何值時，①圓G與圓G相外切；②圓G與圓G內(nèi)含.

⑵求過兩圓x+y+6x-4=0和x+y+6^28=0的交點，且圓心在直線六尸4二0上的圓的

方程.

解題策略關于圓與圓的位置關系有如下知識：

2,2r

設。O|[x-aj。+(丫一4)2=1，0O2：(%-<?2)+(>-^2)=2■

⑴+4三兩圓相離；

⑵三兩B1相外切；

(3)|4~r2\<+2三兩圓相交；

⑷|GQ|=h-目三兩圄相內(nèi)切；

⑸|qo2kh-引三兩圓內(nèi)含.

過兩圓交點的圓方程或過直線與圓交點的圓方程可以運用圓系方程來解.根據(jù)“圓不離

三”原則，用另一條件即可求出參數(shù)值，從而確定所求圓的方程.

解:⑴圓Ci,圓G的方程可化為Ci.(x-ni)2+(y+2)2-9,G:(x+l)2+(y-/77)2=4.

①若G與G外切，則有J(a+1)2+(加+2『=3+2,.,.(，〃+1)2+(〃Z+2)2=25,

整理得M+3m-10=0,解得m--5或m-2.

②若