專訓(xùn)14.2.1平方差公式應(yīng)用+與面積有關(guān)問題一、單選題1．下列各式中能使用平方差公式的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)，兩項(xiàng)的和與兩項(xiàng)的差的乘積，逐項(xiàng)分析即可．【詳解】A.，能使用平方差公式，符合題意；B.，不能使用平方差公式，不符合題意；C.，不能使用平方差公式，不符合題意；D.，不能使用平方差公式，不符合題意故選A【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，牢記平方差公式是解題的關(guān)鍵．2．下列算式能用平方差公式計(jì)算的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式“”可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：A、由可知不符合平方差公式的特征，故A不符合題意；B、由可知不符合平方差公式的特征，故B不符合題意；C、由可知不符合平方差公式的特征，故C不符合題意；D、由可知符合平方差公式的特征，故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式的特征是解題的關(guān)鍵．3．下面計(jì)算正確的是（）A．原式B．原式C．原式D．原式【答案】C【分析】根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn)，利用平方差公式進(jìn)行求解即可．【詳解】故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．4．若，則的值為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】先利用平方差公式，得=，再整體代入化簡(jiǎn)求值即可．【詳解】解：∵，∴=====．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則以及平方差公式是解題的關(guān)鍵．5．若一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“好數(shù)”．下列正整數(shù)中能稱為“好數(shù)”的是（）A．205 B．250 C．502 D．520【答案】D【分析】利用平方差公式計(jì)算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n?2＝8n，得到兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的“好數(shù)”是8的倍數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)平方差公式得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．所以兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的“好數(shù)”是8的倍數(shù)205，250，502都不能被8整除，只有520能夠被8整除．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了新概念和平方差公式．熟練掌握平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b）是解題關(guān)鍵．6．在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（）A．a(chǎn)2+2ab+b2＝（a+b）2B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a(chǎn)2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）【答案】C【分析】第一個(gè)圖形中陰影部分的面積是邊長(zhǎng)是a的正方形的面積減去邊長(zhǎng)是b的小正方形的面積，等于a2﹣b2；第二個(gè)圖形陰影部分是一個(gè)長(zhǎng)是（a+b），寬是（a﹣b）的長(zhǎng)方形，面積是（a+b）（a﹣b）；這兩個(gè)圖形的陰影部分的面積相等．【詳解】解：∵圖甲中陰影部分的面積＝a2﹣b2，圖乙中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），而兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，∴陰影部分的面積＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到兩部分的陰影面積相等．二、填空題7．已知m2﹣n2＝24，m比n大8，則m+n＝___．【答案】3【分析】根據(jù)平方差公式將已知等式變形，根據(jù)已知條件m比n大8，可得代數(shù)式m+n的值．【詳解】m2﹣n2＝24，m比n大8，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．8．觀察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……根據(jù)這一規(guī)律計(jì)算：22020+22019+22018+…+22+2+1的結(jié)果是___________________．【答案】22021﹣1【分析】觀察一系列等式得到一般性規(guī)律，利用得出的規(guī)律（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1，把x=2，n=2020代入計(jì)算即可，【詳解】解：根據(jù)題意得：（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1，

把x=2，n=2020代入得，

22020+22019+22018+…+22+2+1

=（2﹣1）（22020+22019+22018+…+22+2+1），

=22021﹣1．

故答案為：22021﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和多項(xiàng)式乘法公式在計(jì)算中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．9．計(jì)算：3（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1，它的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是___．【答案】4【分析】把3轉(zhuǎn)化為（22-1），再利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：3（22+1）（24+1）…（232+1）-1=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）-1=264-1-1=264-2，∵2的尾數(shù)是2，22=4的尾數(shù)是4，23=8的尾數(shù)是8，24=16的尾數(shù)是6，25=32的尾數(shù)是2，…其尾數(shù)為：2，4，8，6不斷的循環(huán)，∵64÷4=16，∴264的尾數(shù)為6，∴264-2的個(gè)位數(shù)字為：6-2=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式，尾數(shù)特征，解答的關(guān)鍵是對(duì)平方差公式的掌握與應(yīng)用．10．如圖①所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b（b＜a）的小正方形，如圖②所示是由圖①中的陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，請(qǐng)寫出上述所揭示的公式_____．【答案】a2?b2＝（a＋b）（a?b）【分析】根據(jù)面積的計(jì)算方法，用含有a、b的代數(shù)式表示兩個(gè)圖形的面積即可．【詳解】解：圖①陰影部分的面積是兩個(gè)正方形的面積差：a2?b2；

將下面的長(zhǎng)方形剪下，拼接到圖形右邊，變成一個(gè)長(zhǎng)方形，如右圖，所以圖①和圖②的面積是相等的．圖②長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)×寬：（a＋b）（a?b），所以：a2?b2＝（a＋b）（a?b）．故答案為：a2?b2＝（a＋b）（a?b）．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，關(guān)鍵利用圖形面積的表示方法得出平方差公式．11．如圖1，從邊長(zhǎng)為的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，剩余部分沿著虛線又剪拼成一個(gè)如圖2所示的長(zhǎng)方形（不重疊、無縫隙），根據(jù)陰影部分面積的不同求法，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)公式是___________．【答案】或【分析】根據(jù)陰影部分面積的不同求法圖1中陰影部分的面積是：a2?b2，圖2的面積：a（a?b）＋b（a?b）＝（a＋b）（a?b）可解得．【詳解】解：圖1中陰影部分的面積是：a2?b2，

圖2的面積：a（a?b）＋b（a?b）＝（a＋b）（a?b），

故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式幾何背景，熟知各圖形的面積表示方法是解題的關(guān)鍵．12．將圖（甲）中陰影部分的小長(zhǎng)方形變換到圖（乙）位置，根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的恒等式是：__________________．【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】先分別表示出甲、乙兩圖陰影部分的面積，然后再根據(jù)兩陰影面積相等即可得到解答．【詳解】解：∵甲圖中陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，∴．∵乙圖中的陰影部分面積是長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b）的矩形，∴S乙陰影＝（a+b）（a﹣b）．∵S甲陰影＝S乙陰影，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故填a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的推導(dǎo)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．三、解答題13．計(jì)算：【答案】4【分析】用平方差公式即可完成．【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是把兩個(gè)數(shù)之積表示成兩個(gè)數(shù)的平方差．14．利用整式乘法公式進(jìn)行計(jì)算：．【答案】39999【分析】根據(jù)平方差公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：原式=．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．15．試說明的值與無關(guān)．【答案】見解析【分析】根據(jù)平方差公式以及合并同類項(xiàng)法則將原式整理即可得出答案．【詳解】解：∵，∴的值與無關(guān)．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式以及合并同類項(xiàng)，熟知平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及整式混合運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．16．應(yīng)用公式計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）9991；（2）0.9996；（3）【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，牢記平方差公式是解題的關(guān)鍵．17．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】

，．【分析】原式中括號(hào)第一項(xiàng)利用平方差公式化簡(jiǎn)，合并后利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將x與y的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，原式=．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．18．如圖①所示，從邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，再沿虛線AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖②所示的等腰梯形．（1）設(shè)圖①中陰影部分的面積為S1，圖②中陰影部分面積為S2，請(qǐng)直接用含a，b的式子表示S1和S2．（2）請(qǐng)寫出上述過程中所揭示的乘法公式；（3）用這個(gè)乘法公式計(jì)算：①（x﹣）（x+）（x2+）；②107×93．【答案】（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）①x4﹣；②9951【分析】（1）圖①中的陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，圖②中的陰影部分是上底為2b，下底為2a，高為a﹣b的梯形，利用梯形面積公式可得答案；（2）圖①、圖②面積相等可得等式；（3）①連續(xù)兩次利用平方差公式可求結(jié)果；②將107×93轉(zhuǎn)化為（100+7）（100﹣7），即可利用平方差公式求出結(jié)果．【詳解】解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）①原式＝（x2﹣）（x2+）＝x4﹣；②107×93＝（100+7）（100﹣7）＝1002﹣72＝10000﹣49＝9951．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的關(guān)鍵．19．如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形．（1）用含字母a、b的代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積為（寫成平方差的形式）；（2）將圖1的陰影部分沿斜線剪開后，拼成了一個(gè)如圖2所示的長(zhǎng)方形，用含字母a、b的代數(shù)式表示此長(zhǎng)方形的面積為；（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）（3）比較（2）、（1）的結(jié)果，請(qǐng)你寫出一個(gè)非常熟悉的乘法公式；（4）拓展運(yùn)用：①結(jié)合（3）的公式，計(jì)算下面這個(gè)算式：1202﹣118×122．（不用公式計(jì)算不得分）②結(jié)合（3）的公式，先計(jì)算下面這個(gè)算式（用乘方的形式表示結(jié)果）并說出這個(gè)結(jié)果的個(gè)位數(shù)字．（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）（232+1）+1．個(gè)位數(shù)字是．【答案】（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）①4；②264，6【分析】（1）陰影部分面積等于大正方形面積減去小正方形面積，故陰影部分面積等于a2﹣b2．（2）經(jīng)分析，圖2中長(zhǎng)方形長(zhǎng)為（a+b）、寬為（a﹣b）．根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式，得長(zhǎng)方形面積為（a+b）（a﹣b）．（3）因陰影部分圖形拼接前后，面積不變，故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（4）①觀察該式特點(diǎn)，118＝120﹣2，122＝120+2，故1202﹣118×122＝1202﹣（120﹣2）（120+2）＝4．②觀察該式特點(diǎn)，故將該式構(gòu)造為（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）（232+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（216+1）（232+1）+1＝264，故個(gè)位數(shù)字是6．【詳解】解：（1）（2）經(jīng)分析，拼接后的長(zhǎng)方形長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b）∴（3）∵陰影部分圖形拼接前后，面積不變，∴．（4）①∵∴②∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，∴（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）（232+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（216+1）（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（216+1）（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）...（216+1）（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1＝（232﹣1）（232+1）+1＝264﹣1+1＝264又∵2n（n為正整數(shù)）的個(gè)位數(shù)字依次是2、4、8、6、2、4、8、6...以2、4、8、6為一個(gè)循環(huán)，64÷4＝16，∴264的個(gè)位數(shù)字是6．故答案為：（1）a2﹣b2，（2）（a+b）（a﹣b），（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（4）①4，②6．【點(diǎn)睛】此題考查了平法差公式的應(yīng)用，涉及了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握平方差公式的有關(guān)應(yīng)用，靈活運(yùn)用平法差公式是解題的關(guān)鍵．20．（知識(shí)生成）通常情況下，用兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式．（1）如圖1，根據(jù)圖中陰影部分（4個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形）的面積可以得到的等式是：．（知識(shí)遷移）類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體的情況，也可以得到一個(gè)恒等式．如圖2是邊長(zhǎng)為a+b的正方體，被如圖所示的分割成8塊．（2）用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方體的體積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為：．（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的規(guī)律求的值．【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）18【分析】（1）∵陰影部分的面積=大正方形的面積-中間小正方形的面積即：（a+b）2-（a-b）2，又∵陰影部分的面積由4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的小正方形構(gòu)成即：4ab即可求得；（2）大正方體被切割成了8個(gè)小正方體或長(zhǎng)方體故而求它們的體積和，再直接求大正方體的體積可解的恒等式；（3）由（2）的結(jié)論將已知代入即可求得值．【詳解】解：（1）∵陰影部分的面積=大正方形的面積-中間小正方形的面積即：（a+b）2-（a-b）2又∵陰影部分的面積由4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的小正方形構(gòu)成即：4ab∴（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）∵八個(gè)小正方體或長(zhǎng)方體的體積之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）∵由（2）可知（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3∴a3+b3=（a+b）3-3a2b-3ab2=（a+b）3-3ab（a+b）將a+b=3，ab=1代入上式可得a3+b3=33-3×1×3=18故a3+b3的值為：18．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差，立方和公式的幾何背景，用分割求解和整體計(jì)算可解得．21．探究下面的問題：（1）如圖①，在邊長(zhǎng)為的正方形中去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（），把余下的部分剪拼成如圖②的一個(gè)長(zhǎng)方形，通過計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，這個(gè)等式是______（用式子表示）；（2）運(yùn)用你所得到的公式計(jì)算：①；②．【答案】（1）a2?b2＝（a＋b）（a?b）；（2）①99.96；②x2?6xz＋9z2?4y2【分析】（1）分別根據(jù)面積公式進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)圖甲的面積＝圖乙的面積，列式即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到計(jì)算結(jié)果．【詳解】解：（1）圖甲陰影面積＝a2?b2，圖乙陰影面積＝（a＋b）（a?b），∴得到的等式為：a2?b2＝（a＋b）（a?b），故答案為：a2?b2＝（a＋b）（a?b）；（2）①10.2×9.8＝（10＋0.2）×（10?0.2）＝102?0.22＝100?0.04＝99.96；②＝（x?3z＋2y）（x?3z?2y）＝（x?3z）2?（2y）2＝x2?6xz＋9z2?4y2．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)幾何圖形得出平方差公式，并利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，本題熟練掌握平方差公式是關(guān)鍵．22．在邊長(zhǎng)為a的正方形的一角減去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（），如圖①

（1）由圖①得陰影部分的面積為__________．（2）沿圖①中的虛線剪開拼成圖②，則圖②中陰影部分的面積為______________．（3）由（1）（2）的結(jié)果得出結(jié)論：_________=____________．（4）試計(jì)算a、b取不同數(shù)值時(shí)，及的值填表：a、b的值當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)________________________________________________________________________用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：__________________．【答案】（1）a2-b2；（2）（a+b）（a-b）；（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）填表見解析，3654【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)梯形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）由（1）（2）的結(jié)論即可得到結(jié)果；（4）將各數(shù)據(jù)代入表格計(jì)算，再根據(jù)所得規(guī)律計(jì)算結(jié)果．【詳解】解：（1）由圖①得陰影部分的面積為a2-b2；（2）沿圖①中的虛線剪開拼成圖②，則圖②中陰影部分的面積為：；（3）由（1）（2）的結(jié)果得出結(jié)論：a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）填表如下：a、b的值當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)516736516736∴===3654．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)正方形的面積公式和梯形的面積公式得出它們之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題．23．如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積：，；（2）請(qǐng)問以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個(gè)乘法公式？（3）試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：．【答案】（1）：a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）a2-b2=（a+b）（a-b）；（3）264【分析】（1）求出大正方形及小正方形的面積，作差即可得出陰影部分的面積，圖（2）所示的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為（a+b）、（a-b），由此可計(jì)算出面積；（2）根據(jù)陰影部分的面積相等可得出平方差公式；（3）利用原式補(bǔ)項(xiàng)（2-1），進(jìn)而利用平方差公式求出答案．【詳解】解：（1）∵大正方形的面積為a2，小正方形的面積為b2，故圖（1）陰影部分的面積值為：a2-b2，圖（2）陰影部分的面積值為：（a+b）（a-b）．故答案為：a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）以上結(jié)果可以驗(yàn)證乘法公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．故答案為：a2-b2=（a+b）（a-b）；（3）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（216-1）（216+1）（232+1）+1=（232-1）（232+1）+1=264-1+1=264．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)幾何圖形得出平方差公式，并利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，因此，本題熟練掌握平方差公式是關(guān)鍵．24．如圖，四邊形與四邊形都是正方形，，．（1）觀察圖形，用兩種不同的方法表示圖中陰影部分的面積，可以得到公式，請(qǐng)寫出這個(gè)公式的推導(dǎo)過程；（2）如果正方形的邊長(zhǎng)比正方形的邊長(zhǎng)多16，它們的面積相差960，利用（1）中的公式，求，的值．【答案】（1）見解析；（2），【分析】（1）圖中陰影部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積；或者把陰影部分分割為兩個(gè)矩形的面積進(jìn)行計(jì)算；（2）利用（1）中的平方差公式計(jì)算．【詳解】（1）如圖所示，，圖中陰影部分的面積或圖中陰影部分的面積所以，即：；（2）由題意得：①，，②由①、②方程組解得：，．故的長(zhǎng)為38，的長(zhǎng)為22．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用．利用不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積也是證明公式的一種常用方法，熟練掌握是關(guān)鍵．25．如圖1的兩個(gè)長(zhǎng)方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個(gè)圖形．（1）在圖2中的陰影部分的面積S1可表示為；（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；在圖3中的陰影部分的面積S2可表示為；（寫成兩數(shù)平方差的形式）；（2）比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是；A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（3）請(qǐng)利用所得等式解決下面的問題：①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，則2m﹣n＝；②計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1的值，并直接寫出該值的個(gè)位數(shù)字是多少．【答案】（1）（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；（2）B；（3）①3；②264，其結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為6．【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形和正方形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)兩個(gè)陰影部分的面積相等由（1）的結(jié)果即可得到答案.（3）①利用（2）中給的等式求解即可；②可以先把原式乘上一個(gè)（2﹣1），這樣可以和（2+1）湊成平方差公式進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）圖2中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），圖3中陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；（2）由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故選B；（3）①因?yàn)?m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，又因?yàn)?m+n＝4，所以2m﹣n＝12÷4＝3，故答案為：3；②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝……＝264﹣1+1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其個(gè)位數(shù)字2，4，8，6，重復(fù)出現(xiàn)，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”經(jīng)過16次循環(huán)，因此264的個(gè)位數(shù)字為6，答：其結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用和數(shù)字類規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平方差公式.26．從邊長(zhǎng)為的正方形剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是______（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）．A．B．C．（2）若，，求的值；（3）計(jì)算：．【答案】（1）B；（2）；（3）【分析】（1）觀察圖1與圖2，根據(jù)兩圖形陰影部分面積相等，驗(yàn)證平方差公式即可；

（2）已知第一個(gè)等式左邊利用平方差公式化簡(jiǎn)，將第二個(gè)等式代入求出所求式子的值即可；

（3）先利用平方差公式變形，再約分即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）根據(jù)陰影部分面積相等可得：，

上述操作能驗(yàn)證的等式是B，

故答案為：B；（2）∵，∵∴（3）【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式的幾何背景以及因式分解法的運(yùn)用，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵．27．如圖（1）所示，邊長(zhǎng)為的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，如圖（2）所示是由圖（1）中的陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）設(shè)圖（1）中陰影部分的面積為，圖（2）中陰影部分的面積為，請(qǐng)直接用含，的式子表示，；（2）請(qǐng)寫出上述過程所揭示的乘法公式：______；（3）直按應(yīng)用：利用這個(gè)公式計(jì)算：①；②；（4）拓展應(yīng)用：試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：．【答案】（1），；（2）；（3）①；②9991；（4）【分析】（1）根據(jù)面積的計(jì)算方法，用含有a，b的代數(shù)式表示S1、S2即可求解；（2）由圖（2）和圖（1）中的陰影部分的面積相等，即可得出答案；（3）①直接利用平方差公式計(jì)算即可；②原式可化為，再用平方差公式即可；（4）配上因式（2-1）之后，連續(xù)利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1），．（2）．（3）①原式；②原式；（4）原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何圖形與平方差公式，能觀察圖形給出式子和結(jié)果，歸納出平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能夠靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．28．（1）如圖1所示，若大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，則陰影部分的面積是______；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2所示的一個(gè)長(zhǎng)方形，則它的面積是_________；（2）由（1）可以得到一個(gè)乘法公式是________；（3）利用你得到的公式計(jì)算：．【答案】（1）a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）1【分析】（1）利用正方形的面積公式，圖①陰影部分的面積為大正方形的面積-小正方形的面積，圖②長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+b，寬為a-b，利用長(zhǎng)方形的面積公式可得結(jié)論；（2）由（1）建立等量關(guān)系即可；（3）根據(jù)平方差公式即可解答．【詳解】解：