高考模擬測試數(shù)學試題

時間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.定義：若復數(shù)z與z'滿足ZZ=1，則稱這兩個復數(shù)互為倒數(shù).已知復數(shù)z=-2i（4-i）,則該復數(shù)的倒數(shù)

為（）

12.12.12.12.

A.----d----1B.--------1C.---1---1D.-------1

3417341734173417

已知集合A=｛x|y==log(x+l)},2+x

2.2B=-X——-<0L則AC8=()

A.{0,1,2}B.(-1,3)C.(2,3)D.{0,2,3}

717C1

3.在區(qū)間一二，工上隨機地取一個數(shù)工，則事件“cosxN—”發(fā)生的概率為（）

222

1112

BC

A.6-3-2-D.3-

—x+l,x<0

4.設〃力=?2Tx>0,〃I*。'，-log075,則()

A./(a)>/(/?)>/(c)B./(/?)>/(?)>/(c)

C./(c)>/(a)>/(/?)D./(c)>/(/?)>/(a)

5.已知等比數(shù)列｛a〃｝,滿足log2a3+log2aio=l,且。3?！?8aH=16,則數(shù)列｛〃〃｝的公比為（）

A.4B.2C.±2D.+4

6.設a、尸為兩個不重合的平面，能使成立的是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與“平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與P平行

C.a內(nèi)有無數(shù)個點到夕的距離相等D.a、￡垂直于同一平面

x2y2

7.雙曲線=13〉0/>0）一條漸近線方程為y=2x,過右焦點尸作x軸的垂線，與雙曲線

a~

在第一象限的交點為A,若△Q4E的面積是2君（。為原點），則雙曲線E的實軸長是（）

A.4B.2x/2C.1D.2

8.已知函數(shù)“X）的圖象關于原點對稱，且滿足/（x+l）+/（3—力=0,且當xe（2,4）時,

/(x)=-log,(x-l)+/n(若/(2021)-1則加=()

22

4343

A.-B.-C.---D.---

3434

9.數(shù)學家華羅庚倡導的“0.618優(yōu)選法”在各領域都應用廣泛,0.618就是黃金分割比〃?=避二1的近似值，黃

2

金分割比還可以表示成2sin18°，則竺!.

2cos227。-1

A.4B.75+1C.2D.V5-1

2。

10.已知是雙曲線二-4=l(a>0/>0)的左、右焦點，若點F,關于雙曲線漸近線的對稱點A滿足

arb~

/耳4。=/4?！?。為坐標原點)，則雙曲線的漸近線方程為()

A.y=±2xB.y=±\/3xC.y=±5/2xD.y=^x

11.正三棱錐P—ABC底面邊長為2,M為AB的中點，且PMLPC,則三棱錐P-ABC外接球的體積為()

A32萬/-80%

A.---B.67rC.兀D.——-——

12.已知/(%)=2S皿5+9)(。>0,。<"<》)同時滿足以下條件：①當|/(石)一)(々J=4時，1%一百

最小值為②/信+目=/停7)；若/(x)=a在［0,汨有2個不同實根如n,且|加一心?，則實數(shù)

?取值范圍為()

A.［-73,731B.［0,1)C.(1,百］D.［-1,1)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設平面向量:=(1,2),b=(-2,y),若打人則4+33=.

14.已知數(shù)據(jù)王,工2,…,馬的標準差為5，則數(shù)據(jù)3%+1,3々+1,…,3與+1的標準差為.

，22

15.已知圓C的方程為(x—l)-+y2=i,2是橢圓r］+v胃_=1上一點，過點尸作圓C的兩條切線，切點分

別為A和B,則PAPB的最小值是

,、\-x+6,x<2、

16.若函數(shù)/(x)=(a>0且a/1)的值域是［r4,T8),則實數(shù)a的取值范圍是

DIlUgq人,al乙

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17題到21題為必考

題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分

17.已知銳角AABC,同時滿足下列四個條件中的三個：

JI1

①A=—②a=13③c=15④sinC=—

33

(1)請指出這三個條件，并說明理由；

(2)求AAHC的面積.

18.如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABC。正方形，PC=2AB=4,PA1AB，且必與8c所

成角60°.

(1)求證：PDJ_平面ABCD；

⑵若M,N分別是E4,PC的中點，求三棱錐5—CMN的體積.

19.某公司對項目A進行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:

項目A投資金額x(百萬元)12345

所獲利潤y(百萬元)0.30.30.50.91

(1)請用線性回歸模型擬合y與x的關系；

(2)該公司計劃用7百萬元對A,8兩個項目進行投資.若公司對項目8投資x(lWxW6)百萬元所獲得的利

049

潤y近似滿足：y=0.16x-——+0.49,求A,B兩個項目投資金額分別為多少時，獲得的總利潤最大？

x+1

附：對于一組數(shù)據(jù)(%,缶),(七,必)，一?，(乙，丫,),其回歸直線方程亍=良+6的斜率和截距的最小二乘法估

Yxji-nxy

計公式分別為：3=號......-,a=y-bx.

^x2-nx

i=\'

20.已知函數(shù)/(x)=a(x+2)"—(x+3)2(aeA,e為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若/(x)在點(0,/(0))處的切線方程為3x+y+7=0,求a的值；

⑵討論.f(x)的單調(diào)性.

22

21.已知橢圓。：?+%=1(。>8>0)的左、右焦點分別為耳和鳥，過焦點弱且垂直于X軸的直線與橢

圓c相交所得的弦長為1,橢圓c的離心率為且.

2

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)點P是橢圓C上位于x軸上方的動點，若直線RP和F2P與直線>=3分別交于G和，兩點，設直線耳尸

和F2P的斜率分別為仁和k2,若線段GH的長度小于106，求匕?內(nèi)的最大值.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一個題作答，如果多做，則按所做的第一

題計分.

選修4一4：坐標系與參數(shù)方程

x-2cos(p

22.已知橢圓.(。是參數(shù))，A和8是C上的動點，且滿足Q4_L05(。是坐標原點)，以。

y=sin。

為極點、以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點D的極坐標為［-4,。).

(1)求線段AO中點M的軌跡E的普通方程;

11

(2)利用橢圓C極坐標方程證明二#+為定值，并求AAQ?面積的最大值.

選修4一5：不等式選講

23.設函數(shù)/(x)=|2x+l|_|x_4|.

⑴解不等式/(x)>0；

⑵若〃力+3,一4|>W一2|對一切實數(shù)了均成立，求實數(shù)機的取值范圍.

答案與解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.定義：若復數(shù)z與z'滿足ZZ=1，則稱這兩個復數(shù)互為倒數(shù).已知復數(shù)z=-2i（4-j）,則該復數(shù)的倒數(shù)

為（）

12.12.12.12.

A.----1---iB.--------iC.---1---iD.------i

3417341734173417

【答案】A

【解析】

【分析】利用復數(shù)的乘法化簡復數(shù)z,再利用復數(shù)的除法可求得結(jié)果.

【詳解】???z=-2i（4—i）=-2-8i,所以,2=百法二可頑二魴=一五十萬',

故選：A.

2.已知集合4=卜卜=log2（x+l）},3=Wo},則4口5=（）

A.（0,1,2}B.（-1,3）C.（2,3）D.{0,2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】由對數(shù)函數(shù)定義域和分式不等式的求解可分別求得集合A8,由交集定義可得結(jié)果.

【詳兌軍】?.,A={HA;+1>0}=（—L+00），8=卜"一°>=［一2,3）,Ap）B=（-l,3）.

故選：B.

71711

3.在區(qū)間一二，工上隨機地取一個數(shù)工，則事件“cosxN—”發(fā)生的概率為（）

222

112

C1

A.6-B.-32-D.3-

71711

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出區(qū)間上滿足“C0SX2—”的X的取值范圍，再利用幾何

222

概型求對應的概率值.

【詳解】由題可得：cosxN；在區(qū)間一夕三上滿足的范圍為：［-?,?］再根據(jù)幾何概型的概率公式得:

7171

7+7..2>

兀3

故選：D.

iJIJi

【點睛】關鍵點睛：本題考查了幾何概型的概率計算問題，正確求解COSXN一在區(qū)間一二,不上滿足的范

2L22」

圍是解題關鍵.

4.設,八，a=O.7-05.^=logo.50-7-c=log075,則()

-x-l,x>0

A./(。)>/(》)>/(c)B./(/?)>/(?)>/(c)

C./(c)>/(?)>/(/?)D./(c)>/(/?)>/(?)

【答案】D

【解析】

【分析】畫出分段函數(shù)的圖像得到分段函數(shù)的單調(diào)性，再由對數(shù)的性質(zhì)比較a*,c的大小，然后利用單調(diào)性

得到答案.

/、I-x+l,x<0

【詳解】函數(shù)“力=2,八的圖像如圖，

［-X-l,x>0

又。=0.7">0.7°=1，

0<b=log050.7<log050.5=1,log075<0,

故選：D

【點睛】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性、利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.

5.已知等比數(shù)列｛3｝,滿足log2a3+log2Go=1,且a3aM8ali=16,則數(shù)列｛④｝的公比為（）

A.4B.2C.+2D.±4

【答案】B

【解析】

【分析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為首項和公比的方程組，解方程組即可得到公比夕.

【詳解】解：依題意，log2%+log2a|o=log2（a3Mo）=，%=q~2CZ）,

又a3a6gqi=q~=16（2）,

聯(lián)立①②得夕2=4,

又logzq+logz%）=1有意義，所以。3>0，4o>O，

所以即4>（）,

%

所以4=2,

故選：B.

【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項公式，考查分析解決問題的能力和計算能力,

屬于中檔題.

6.設a、夕為兩個不重合的平面，能使頻成立的是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與“平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與/?平行

C.a內(nèi)有無數(shù)個點到￡的距離相等D.a、/?垂直于同一平面

【答案】B

【解析】

【分析】應用幾何體特例，如立方體可排除相關選項；而由面面平行的判定可知B正確

【詳解】應用立方體，如下圖所示：

選項4a內(nèi)有無數(shù)條直線可平行于/,即有無數(shù)條直線與￡平行，但如上圖a與夕可相交于/,故A不一定

能使成立；

選項8：由面面平行的判定，可知8正確

選項C：在a內(nèi)有一條直線平行于/,則在a內(nèi)有無數(shù)個點到夕的距離相等，但如上圖a與夕可相交于/,

故C不一定能使a//p成立；

選項如圖a_Ly,pLy,但a與￡可相交于/,故。不一定能使成立；

故選：B

【點睛】本題考查了面面平行的判定，應用特殊與一般的思想排除選項，屬于簡單題

22

7.雙曲線E:鼻一2r=1（?！?,。＞0）的一條漸近線方程為y=2x,過右焦點尸作x軸的垂線，與雙曲線

a~b~

在第一象限的交點為A,若△Q4E的面積是2君（。為原點），則雙曲線E的實軸長是（）

A.4B.C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】通過雙曲線的漸近線方程求出離心率，結(jié)合三角形的面積轉(zhuǎn)化求解。，即可得到結(jié)果.

【詳解】解：因為雙曲線E的一條漸近線方程為y=2x,所以2=2,e=￡=1+4=逐，

aa\a1

由AOAE的面積是2石，即L匹=26,

2a

所以從=4，b=2,所以a=l,

雙曲線的實軸長為2,

故選：D.

【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查了離心率的范圍和直線與圓錐曲線的位置關系，考查了

學生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題.

8.已知函數(shù)〃x）的圖象關于原點對稱，且滿足/（%+1）+/（3一力=0,且當xe（2,4）時,

/(x)=-log,(x-l)+/n(若/(2021)-1則加=()

22

4343

A.-B.-C.---D.---

3434

【答案】C

【解析】

【分析】由/(x+l)+/(3—x)=0和奇函數(shù)推出周期，根據(jù)周期和奇函數(shù)推出/(l)=g,根據(jù)解析式求出

/(1)=-1-/77,由—1—m=^解得結(jié)果即可.

【詳解】因為函數(shù)/(X)的圖象關于原點對稱，所以為奇函數(shù)，

因為〃x+l)=_/(3_x)=/(x_3),

故函數(shù)的周期為4,則“2021)="1)；

而/(-1)=-/(1)，所以由,⑵；1=/(-I)可得/(1)=1；

而/⑴=—/(3)=log|(3—1)—，〃=!，

23

4

解得=一一.

m3

故選：C.

【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，考查了函數(shù)的周期性，屬于基礎題.

9,數(shù)學家華羅庚倡導的“0.618優(yōu)選法”在各領域都應用廣泛,0.618就是黃金分割比加=避二1的近似值，黃

2

金分割比還可以表示成2sin18°，則免.

2cos2270-1

A.4B.亞+1C.2D.亞一1

【答案】C

【解析】

【分析】

把加=2sinl8°代入局4一療中，然后結(jié)合同角三角函數(shù)基本關系式與倍角公式化簡求值.

2cos2270-1

【詳解】解：由題可知2sin18°=，"=~~-

2

所以〃/-4sin180-

則心/4-〃，_2sinl8°,4-4sin218°

、2cos*227°-1-2cos2270-1

2sinl8°?2cosl8°

cos54°

_2sin36。

cos54°

=2.

故選：C.

【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關系式與倍角公式的應用，是

基礎題.

22

10.已知耳，鳥是雙曲線5-與=1（a>0力>0）的左、右焦點，若點工關于雙曲線漸近線的對稱點A滿足

a-b~

/6AO=NAO6（0為坐標原點），則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±2xB.y—+y/3xC.y=+>j2xD.y=±x

【答案】B

【解析】

［分析］先利用對稱得AF21OM,根據(jù)/可4。=NAO￡可得AFt=c,由幾何性質(zhì)可得ZAF{O=60,

即ZMOF2=60,從而解得漸近線方程.

【詳解】如圖所示：

25

由對稱性可得：M為AF2的中點，且AF21OM,

所以耳A_LA6,

因為N￡AO=NAOG，所以A￡=￡O=c,

故而由幾何性質(zhì)可得ZAF.O=60,即NMOF]=60,

故漸近線方程為y=±?x,

故選B.

【點睛】本題考查了點關于直線對稱點的知識，考查了雙曲線漸近線方程，由題意得出NM。8=60。是解

題的關鍵，屬于中檔題.

11.正三棱錐產(chǎn)一ABC底面邊長為2,M為AB的中點，且則三棱錐P—A8C外接球的體積為（）

A32萬,/y8也乃

A.---BR.67rCr.767rDn.——-——

【答案】c

【解析】

【分析】首先根據(jù)PM_LPC求得三棱錐的側(cè)棱長為血，再找到外接球球心的位置，最后利用勾股定理求

解即可.

由圖，設PA=PB-PC=x，則PM-yjx2-1，而CM=V3，

因為所以由勾股定理得PAr+PC?=加。2即尤2_]+了2=3解得了=0,

由對稱性可知：三棱錐尸一ABC外接球的球心在三棱錐P-ABC的高P。上，

假設為。點，則OP=OC=R,因為~0=噂=逅，

63

所以。。=逝_R,

3

又由于點。是三角形ABC的外心，且三角形ABC為等邊三角形，

所以3衿=苧,

三角形ooc中，由勾股定理得cr>2+℃>2=。。2,

2

即E=片，

解得R=?

2

所以三棱錐P—ABC外接球的體積為R.

故選：C

【點睛】與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的

位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中

心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于

球的直徑.

12.已知/(x)=2sin(69x+o)(3>0,0<o<7r)同時滿足以下條件：①當=4時，|西一馬|

最小值為]；②喑+@=喑-0；若/(x)=a在[0,旭有2個不同實根如n,且|加-〃則實數(shù)

。的取值范圍為()

A.[-73,73]B.[0,1)C.(1,731D.[-1,1)

【答案】D

【解析】

57r5萬C5萬

【分析】根據(jù)條件結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)先求出/(X)的解析式，設，=2乂+半￡---,24H----,

66

5萬八5萬5%C54，，y

則轉(zhuǎn)化為2sinE=。在—,2萬十—上有2個不同實根不匕，作出y=2sin，在萬+二的圖

66o6

象，由正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得答案.

【詳解】函數(shù)J'(x)=2sin(a)x+°),/(x)的最大值為2,最小值為-2.

當|/(內(nèi))一/(工2)|=4時，則/(x)分別在x?x2取得最大值和最小值.

所以|內(nèi)-引的最小值為一x——=一,：.(o=2,函數(shù)/(x)=2sin(2x+0).

2co2

由>x)=/(梟X)，則“X)的圖象關于直線x=2對稱，

JIJI兀

故有2x—卜(p=卜?！?B|J(p—kit—,keZ、

326

由0<0〈]，則夕=V，函數(shù)/(x)=2sin(2x+齊).

/(1)=〃在［0,司有2個不同實根m,n且|

9?3

設￡=2x+葛G5萬小5萬57r57r

—,2萬十—則2sinf=。在-—,2^+--有2個不同實根％,力

6666

577,1TT7T/TT

則％=2m+—j2=2H+—,由"九一九|之§,貝ij1]—r2|>-^-

57r57r

作出y=2sinf在rw—,2^+—的圖象，如圖.

66

-.5%

2sin—2sin[2^+^

6

2sin衛(wèi)C.11乃，r11%7不In

2sin-----=-1,且------

666~6

所以當—lWa<l時，直線y=。與y=2sinr的圖象有兩個交點

2萬

即方程2sin/=a有兩個不等實根八心，且，一寸之-二.

所以當—lWa<l時，〃x)=2sin(2x+朗)=a有兩個不等實根加，n,且帆_〃上(

所以一

故選：D.

【點睛】思路點睛：該題考查的是有關三角函數(shù)的問題，解題思路如下:

(1)由條件①確定。的值;

(2)由條件②和確定出函數(shù)圖象的一條對稱軸，結(jié)合條件0<求得。的值;

5萬5萬-5乃一5乃八5萬一

(3)得到函數(shù)的解析式之后利用換元法設t=2x+—e——，2萬十——則2sin，=a在—,2^+—有

66666

2個不同實根乙小，利用y=2sin,的圖像性質(zhì)求得參數(shù)。的取值范圍.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設平面向量。=(1,2),B=(—2,y),若￡,人則卜+3匕|=.

【答案】572

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直關系求得y=l，利用a+3b=\/a+9b即可求得模長.

【詳解】由題：平面向量2=(1,2),b=(-2,y),若H，

所以￡7=0,-2+2y=0,解得：y=l,

a+i>=\!a+9b=出+45=5垃.

故答案為：5夜

【點睛】此題考查根據(jù)向量垂直求參數(shù)，求向量的模長，關鍵在于熟練掌握向量的基本運算法則.

14.已知數(shù)據(jù)王,%，…，%的標準差為5,則數(shù)據(jù)3%+1,3々+1,…,3%+1的標準差為.

【答案】15

【解析】

【分析】由數(shù)據(jù)標準差可得方差，根據(jù)方差的性質(zhì)可得新數(shù)據(jù)的方差，由此得到標準差.

【詳解】數(shù)據(jù)看,/，…，%的標準差為5,則其方差為25,

3萬+1,3乙+1,…,3/+1的方差為25義9=225,則其標準差為7225=15.

故答案為：15.

22

15.已知圓C方程為(x—iy+y2=i,p是橢圓亍+1_=1上一點，過點P作圓C的兩條切線，切點分

別為A和B,則PAPB的最小值是

【答案】2A/2-3

【解析】

【分析】利用相切后的對稱性，設NAPB=26?,表示出麗.麗，根據(jù)式子的特點利用基本不等式求出最

小值.

.2

,rPA

【詳解】設=萬.麗=|⑸，而kos26=|蘇『(2cos20_1)(2—^-1),

令附所『=1—■―-2

可得PAPB=x+一—3xe(l,9],

X

PAPB>2y/2-3，當且僅當》=應時取等號.

故答案為：2后-3

【點睛】注意相切以后對稱性，及二倍角的應用，觀察式子特點，選擇基本不等式求最小值.

/、f-x+6,x<2r、

16.若函數(shù)(a>0且a/1)值域是［4,T8),則實數(shù)a的取值范圍是

J+log”X,X>，

【答案】(1,2］

【解析】

【詳解】試題分析：由于函數(shù)〃x)={(。>0M。1)的值域是［4,+8),故當xK2時，滿

DI3a人,人乙

足/(x)=6-x>4,當x>2時，由/(x)=3+log“xN4,所以log?xNl，所以log“221nl<a<2，

所以實數(shù)。的取值范圍l<aV2.

考點：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的值域.

【方法點晴】本題以分段為背景主要考查了對數(shù)圖象與性質(zhì)及函數(shù)的值域問題，解答時要牢記對數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的特殊點的應用是解答的關鍵，屬于基礎題，著重考查了分類討論的思想方法的應用，

本題的解答中，當了〉2時，由/(x"4,得log.xNl,即log.2Nl,即可求解實數(shù)。的取值范圍.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17題到21題為必考

題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分

17.已知銳角AABC,同時滿足下列四個條件中的三個：

JT1

①A=一②〃=13③c=15④sinC=-

33

⑴請指出這三個條件，并說明理由；

(2)求△ABC的面積.

【答案】⑴△ABC同時滿足①，②，③，理由見解析.(2)30百

【解析】

【分析】(1)判斷三角形的滿足條件，推出結(jié)果即可.

(2)利用余弦定理求出〃，利用面積公式求解AABC的面積.

【詳解】(DAABC同時滿足①，②，③.

理由如下：

若AABC同時滿足①，④，則在銳角△ABC中，

11萬

sinC=-<-,所以0<C(一

326

7T7T7T

又因為4=一，所以一<A+C<—

332

jr

所以這與AAHC是銳角三角形矛盾，

2

所以AA6c不能同時滿足①，④，

所以AABC同時滿足②，③.

因為c>。所以C>A若滿足④.

則則,這與AAbC是銳角三角形矛盾.

62

故AAHC不滿足④.

故AA6c滿足①，②，③.

⑵因為，-b2+c2—2hccosA>

所以132=ZJ2+152-2XZ?X15X1.

2

解得8=8或8=7.

724-132—152

當。=7時，cosC=———<0

2x7x13

所以C為鈍角，與題意不符合，所以力=8.

所以△ABC的面積S=4兒sinA=30

2

【點睛】本題主要考查解三角形中余弦定理的應用及面積公式的應用，屬于中檔題目.

18.如圖，四棱錐P-A3C。中，四邊形ABC。為正方形，PC=2A5=4,PA1AB，且必與所

成角60.

p

(1)求證：P。，平面ABC。；

(2)若V,N分別是PA,尸。的中點，求三棱錐3—CMN的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)

3

【解析】

【分析】⑴由線面垂直的判定可證得平面尸AZ>,由此得到AB_LPZ),即CD，。。，在APAD中，

利用余弦定理可求得AP,由長度關系可證得PE>_LA￡>,由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)長度關系可確定％WWN=3詠'利用體積橋和三棱錐體積公式可求得乙一"C，由此計算得到結(jié)

果.

【詳解】(I)1?四邊形ABCD為正方形，.?.A3_LAT>,

?.AB_LQ4，PAr^AD^A,尸4,4。(=平面月4￡>,，48_1平面月4￡>，

又P￡>u平面尸A￡>，.?.ABLPZ)，又AB//CD,：.CDSD,

PD=yJPC2-CD2=26,

-.?AD//BC,與6C所成角60',.?.NPAD=6(r，

在△卓。中，PD2=AP2+AD2-2AP-AD-cos60'?即12=AP?+4-2AP，

解得：AP=4.PA2=AD2+DP2'：.PD±AD^

又A8cAD=A，AB,ADu平面AB。。，，PD_L平面ABC。.

⑵QN為尸C中點，??.S.BCN=；S/8C，VB-CMN~VM-BCN=~^M-PBC，

A/為P4中點，AfP：AP=1：2，Kw-P6c=5匕-P8C，「,匕T-CMN=1l-PBC,

^A-PHC~^P-ABC,^￡>=^X^x2x2x2^/3>/.VBYMN=等'

即三棱錐3—CMN的體積為且.

3

【點睛】思路點睛：立體幾何中的求解三棱錐體積問題通常采用兩種思路來進行求解:

（1）體積橋：將三棱錐進行等體積代換，轉(zhuǎn)化為高易求的三棱錐體積的求解問題；

（2）割補：將三棱錐切割為幾個部分或者補足為某個易求體積的幾何體來進行求解.

19.某公司對項目4進行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：

項目A投資金額x（百萬元）12345

所獲利潤y（百萬元）0.30.30.50.91

（1）請用線性回歸模型擬合y與X的關系：

（2）該公司計劃用7百萬元對A,8兩個項目進行投資.若公司對項目B投資x（lWxW6）百萬元所獲得的利

049

潤y近似滿足：y=0.16x———+0.49,求A,B兩個項目投資金額分別為多少時，獲得的總利潤最大？

x+1

附：對于一組數(shù)據(jù)（王,%）,（々,必），…，（怎，為），其回歸直線方程9=以+&的斜率和截距的最小二乘法估

/___

^x^-nxy

計公式分別為：3T----------，a^y-bx.

2

x2-nx~

Ei=l

【答案】（l）:=0.2x；（2）對A，8項目分別投資4.5百萬元，2.5百萬元時，獲得總利潤最大.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)獲得的利潤有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表，分別求得工=3,亍=0.6,方片=55,進而求得月泊的值，

/=1

即可求得回歸直線的方程；

（2）設對8項目投資x百萬元，則對A項目投資（7—X）百萬元，利用總利潤的表達式，集合基本不等式，

即可求解.

【詳解】（1）根據(jù)獲得的利潤有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表，

1+2+3+4+5—0.3+0.3+0.5+0.9+0.12

可得］==3，y=-----------------------=0.6,且2毛=55

55：=1

/__

一〃xy

A11-5x3x0,6

所以人二月----------=0.2,

2-255-5x3?

S),x.-nx

<=i

則4=5-81=0.6—0.2x3=(),

所以回歸直線方程為：y=0.2x.

(2)設對8項目投資x(1WXW6)百萬元，則對A項目投資(7-x)百萬元.

所獲總利潤

049「0.491I()49

y=0.16x--+0.49+0.2(7-x)=1.93-0.04(%+1)+--<1.93-2,0.04(%+l)x—=1.65.

x+1Lx+1」Vx+1

049

當且僅當0.04(x+l)=匕，即x=2.5時取等號，

x+1

所以對A,B項目分別投資4.5百萬元，2.5百萬元時，獲得總利潤最大.

20.已知函數(shù)/(x)=a(x+2)eX—(x+3)2(awR,e為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若/(%)在點(0,/(0))處的切線方程為3x+y+7=0,求a的值；

⑵討論f(x)的單調(diào)性.

【答案】(2)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)先由切線方程求出切點坐標，將切點坐標代入函數(shù)/(X)的方程即可.

⑵求出了'(x)=(x+3)(ae-2),則只需對四<一2進行討論，即分“40,0<a<2/,a=2e^a=2e3

進行分類討論，即可.

【詳解】解：(1)：切線3%+丁+7=0經(jīng)過點(0,-7).

0)=-7,即2a—9=—7,解得a=1..

(2)f'(x')=a(x+3)ex-2(x+3)=(x+3)(?e'-2).

a40時，a/-2<0,可得f(x)在(-,-3)上單調(diào)遞增，在(-3,3)上單調(diào)遞減..

2

。>0時，令。爐一2=0,解得x=ln-,

a

2

令In—=—3,解得a=2/

a

222

0<"2"時，ln->-3,則函數(shù)在（一8,-3）上單調(diào)遞增，在（-3,In-）上單調(diào)遞減,在（In-,+8）

aaa

上單調(diào)遞增..

〃=2/時，/（X）=（X+3）2>0,函數(shù)/（幻在R上單調(diào)遞增..

222

時，—則函數(shù)/（%）在（-oo』n—）上單調(diào)遞增，在（In—,-3）上單調(diào)遞減，在（-3,+8）上

aaa

單調(diào)遞增?.

綜上可得：當時，在（一8,—3）上單調(diào)遞增，在（—3,+8）上單調(diào)遞減.

22

當0<av2e3時，函數(shù)F（x）在（-00,-3）上單調(diào)遞增，在（_3/n—）上單調(diào)遞減，在（In—,+8）上單調(diào)遞增.

aa

當〃=2/時，函數(shù)/（x）在R上單調(diào)遞增.

22

當。>2/時，函數(shù)/（幻在（-8/n—）上單調(diào)遞增，在（In—,-3）上單調(diào)遞減，在（一3,轉(zhuǎn)）上單調(diào)遞增.

aa

【點睛】關鍵點睛：本題考查根據(jù)切線方程求參數(shù)含參數(shù)的單調(diào)性討論，解答本題的關鍵是分。40，

0VQV2/,。=2/和Q=2/對〃/一2進行分類討論，屬于中檔題.

22

21.已知橢圓C:；+[=l（a>人〉0）的左、右焦點分別為《和弱，過焦點亮且垂直于x軸的直線與橢

a

圓。相交所得的弦長為1,橢圓。的離心率為苴.

2

（I）求橢圓C的標準方程；

（2）點p是橢圓C上