第三講運動的圖像知識梳理一、v－t圖像1.圖像的意義：v－t圖像反映了做直線運動的物體的速度隨時間變化的規(guī)律，它只能描述物體做直線運動的情況。2.圖像的斜率：v－t圖線(或切線)的斜率表示物體的加速度．斜率的絕對值表示加速度的大小，斜率為正表示加速度沿規(guī)定的正方向，但物體不一定做加速運動；斜率為負，則加速度沿負方向，物體不一定做減速運動。3.v－t圖線與t軸所圍“面積”表示這段時間內物體的位移。t軸上方的“面積”表示位移沿正方向，t軸下方的“面積”表示位移沿負方向，如果上方與下方的“面積”大小相等，說明物體恰好回到出發(fā)點。4.圖線上的點（t，v）的含義：在t時刻物體的速度為v,二、x－t圖像1.圖像的意義：x－t圖像反映了做直線運動的物體的位移隨時間變化的規(guī)律。圖線的縱坐標含義不是位移而是位置。2.x－t圖像中的“交點”“斜率”“截距”的意義(1)交點：兩圖線有交點，說明兩物體相遇。(2)斜率：表示速度的大小及方向。(3)截距：縱軸截距表示t＝0時刻的初始位置。三、其他圖像1.a－t圖像由Δv＝aΔt可知圖像中圖線與橫軸所圍面積表示速度變化量，如圖甲所示．2.eq\f(x,t)－t圖像由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2可得eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at，截距b為初速度v0，圖像的斜率k為eq\f(1,2)a，如圖乙所示．3.v2－x圖像由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，截距b為v02，圖像斜率k為2a，如圖丙所示．知識練習考點一、運動圖像的理解及應用1.處理圖像問題的基本思路例1、(2022·廣東深圳市實驗中學月考)如圖為一質點做直線運動的v－t圖像，下列說法正確的是()A．BC段表示質點通過的位移大小為34mB．在18～22s時間內，質點的位移為24mC．整個過程中，BC段的加速度最大D．整個過程中，E點所對應的時刻離出發(fā)點最遠【答案】A【解析】BC段，質點的位移為x＝eq\f(5＋12,2)×4m＝34m，選項A正確；在18～22s時間內，質點的位移為x＝eq\f(12×2,2)m＋(－eq\f(12×2,2))m＝0m，選項B錯誤；由題圖看出，CE段圖線斜率的絕對值最大，則CE段對應過程的加速度最大，選項C錯誤；由題圖看出，在0～20s時間內，速度均為正值，質點沿正方向運動，在20～22s時間內速度為負值，質點沿負方向運動，所以整個過程中，D點對應時刻離出發(fā)點最遠，選項D錯誤．例2、(2021山東濰坊三縣10月聯(lián)考)a、b兩質點在同一直線上運動，它們運動的位移x隨時間t變化的關系如圖所示，其中a質點的x-t圖像為拋物線的一部分，第7s末圖像處于最高點，b質點的圖像為直線。下列說法正確的是()A．a(chǎn)質點的初速度大小為7m/sB．a(chǎn)質點的加速度大小為2m/s2C．a(chǎn)質點減速過程運動的位移大小為50mD．兩質點相遇時,b質點的速度小于a質點的速度【答案】BD【解析】a質點的s-t圖像為拋物線的一部分，說明a質點做勻減速直線運動，7s末速度為零，則有v0+at7=0，0~10s內，a質點的位移為s=40m，則有s=v0t10+SKIPIF1<0，聯(lián)立解得v0=14m/s，a=-2m/s2，所以a質點的初速度大小為14m/s，加速度大小為2m/s2，故A錯誤，B正確；a質點在0~7s內做勻減速運動，通過的位移為s=v0t7+SKIPIF1<0=49m，故C錯誤；根據(jù)s-t圖像的斜率表示速度，知10s末兩質點相遇時，a質點的速度較大，故D正確。例3、(2022·濰坊二模)甲、乙兩汽車沿同一平直公路同向行駛的v－t圖像如圖所示，t＝10s時兩車恰好相遇。下列分析正確的是()A．甲車的加速度大小為0.5m/s2B．t＝0時，乙在甲前方5m處C．t＝0時，甲在乙前方125m處D．甲追乙時，追上前甲、乙間最大距離為50m【答案】D【解析】根據(jù)v－t圖像的斜率表示加速度，可知，在10～20s內，甲車的加速度大小為1m/s2，故A錯誤；t＝10s時兩車恰好相遇，0～10s內，根據(jù)面積代表位移有Δx＝10×10m－eq\f(1,2)×10×5m＝75m，故甲在乙前方75m處，故B、C錯誤；甲追乙時，t＝20s時速度相等，間距最遠，Δx′＝10×10m－eq\f(1,2)×10×10m＝50m，故D正確。例4、甲、乙兩汽車在一平直公路上同向行駛，在t＝0到t＝t1的時間內，它們的v－t圖像如圖所示，在這段時間內()A．汽車甲的平均速度比乙大B．汽車乙的平均速度等于eq\f(v1＋v2,2)C．甲、乙兩汽車的位移相同D．汽車甲的加速度大小逐漸減小，汽車乙的加速度大小逐漸增大【答案】A【解析】因為v－t圖線與橫坐標軸所圍的面積是物體的位移，故在0～t1時間內，甲車的位移大于乙車，根據(jù)eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)可知，甲車的平均速度大于乙車，選項A正確，C錯誤；因為乙車做變減速運動，故平均速度不等于eq\f(v1＋v2,2)，選項B錯誤；因為v－t圖線的切線的斜率的絕對值等于物體的加速度大小，故甲、乙兩車的加速度均逐漸減小，選項D錯誤。課堂隨練訓練1、甲、乙兩車在同一條直道上行駛，它們運動的位移x隨時間t變化的關系如圖所示，已知乙車做勻變速直線運動，其圖線與t軸相切于10s處，則下列說法正確的是()A．甲車的初速度為零B．乙車的初位置在x0＝60m處C．乙車的加速度大小為1.6m/s2D．5s時兩車相遇，此時甲車速度較大【答案】C【解析】由題圖可知甲車做勻速直線運動，速度v甲＝eq\f(Δx,Δt)＝eq\f(20,5)m/s＝4m/s，故A錯誤；由題圖可知乙車做末速度為零的勻減速直線運動，反方向可看做是初速度為零的勻加速直線運動，則有x＝eq\f(1,2)at2，由題圖可知，當其反向運動5s時，位移為20m，則有20＝eq\f(1,2)a·52，得加速度大小為a＝1.6m/s2，因其共運動了10s，可得x0＝eq\f(1,2)×1.6×102m＝80m，故C正確，B錯誤；由題圖可知5s時兩車相遇，此時乙車速度大小v乙＝at＝8m/s，甲車速度小于乙車速度，故D錯誤。訓練2、在大霧天氣中，甲、乙兩汽車在一條平直的單行道上，乙在前、甲在后同向行駛。某時刻兩車司機同時聽到前方有事故發(fā)生的警笛提示，同時開始剎車。兩輛車剎車時的v-t圖像如圖所示，則()A．若兩車發(fā)生碰撞,開始剎車時兩輛車的間距一定等于112.5mB．若兩車發(fā)生碰撞,開始剎車時兩輛車的間距一定小于90mC．若兩車發(fā)生碰撞,則一定是在剎車后20s之內的某時刻D．若兩車發(fā)生碰撞,則一定是在剎車后20s以后的某時刻【答案】C【解析】由圖可知，甲車的加速度a1=SKIPIF1<0m/s2=-1m/s2,乙車的加速度a2=SKIPIF1<0m/s2=-0.5m/s2,兩車速度相等經(jīng)歷的時間為20s,此時甲車的位移s甲=v甲t+SKIPIF1<0a1t2=(25×20-SKIPIF1<0×1×202)m=300m,乙車的位移s乙=v乙t+SKIPIF1<0a2t2=(15×20-SKIPIF1<0×0.5×202)m=200m,可知如果不相撞,則兩車之間的最短距離Δs=300m-200m=100m,若兩車發(fā)生碰撞,則開始剎車時兩車的距離小于100m,故A、B錯誤;因為速度相等后,若不相撞,乙車速度大于甲車速度,兩者的距離又逐漸增大,可知兩輛車若發(fā)生碰撞,一定是在剎車后的20s之內的某時刻,故C正確,D錯誤。訓練3、質點在某段時間內運動的v－t圖像是一段拋物線，如圖所示，關于0～t1和t1～t2兩段時間內的運動，下列說法正確的是()A．兩段時間內的速度方向相同B．兩段時間內的平均速度大小相等C．兩段時間內的加速度方向相同D．0～t1內加速度逐漸減小，t1～t2內加速度逐漸增大【答案】C【解析】0～t1時間內的速度為正值，t1～t2時間內的速度為負值，故A錯誤；若0～t1時間內做勻減速直線運動，設運動的位移大小為x，則平均速度大小等于eq\f(v1,2)，根據(jù)速度－時間圖像中圖線與坐標軸所圍“面積”表示位移可知，0～t1時間內的位移大小大于x，所以0～t1時間內的平均速度大于eq\f(v1,2)，同理可知t1～t2時間內的平均速度小于eq\f(v1,2)，故B錯誤；根據(jù)速度－時間圖像的斜率表示加速度，在0～t1時間內，圖線的斜率為負值，t1～t2時間內，圖線的斜率也為負值，所以兩段時間內的加速度方向相同，故C正確；0～t1內、t1～t2內加速度均逐漸增大，故D錯誤．訓練4、(2018·全國卷Ⅱ)(多選)甲、乙兩汽車在同一條平直公路上同向運動，其速度—時間圖象分別如圖中甲、乙兩條曲線所示。已知兩車在t2時刻并排行駛，下列說法正確的是()A．兩車在t1時刻也并排行駛B．t1時刻甲車在后，乙車在前C．甲車的加速度大小先增大后減小D．乙車的加速度大小先減小后增大【答案】BD【答案】v-t圖象中圖象與t軸所包圍的面積代表運動的位移，由題圖可知在t1～t2時間內，甲車的位移大于乙車，而已知兩車在t2時刻并排行駛，則在t1時刻甲車在后，乙車在前，故A錯誤，B正確；v-t圖象的斜率表示加速度，所以甲車的加速度先減小后增大，乙車的加速度也是先減小后增大，故C錯誤，D正確。故選B、D?？键c二、用函數(shù)法解決非常規(guī)圖像問題例1、一物體由靜止開始，在粗糙的水平面內沿直線運動，其加速度a隨時間t變化的a－t圖像如圖所示．若選物體開始運動的方向為正方向，那么，下列說法中正確的是()A．在0～2s的時間內，物體先做勻速直線運動后做勻減速運動B．在2s時物體的位移最大C．在2～3s的時間內，物體速度的變化量為－1m/sD．在0～4s的時間內，物體的位移為零【答案】C【解析】0～1s，加速度不變，物體做勻加速運動，1～2s加速度數(shù)值減小，物體做加速度減小的變加速運動，A錯誤；2s時，加速度為0，速度最大，B錯誤；a－t圖像中圖線與橫軸C正確；0～4s內，物體的速度變化量為0，即物體在4s時停止運動，位移不為0，D錯誤．例2、(2022·安徽省六校第二次聯(lián)考)一個運動物體的eq\f(x,t)－t圖像如圖所示，根據(jù)圖像，下列說法正確的是()A．物體初速度大小為bB．物體的加速度大小為eq\f(b,a)C．a(chǎn)時刻物體的速度大小為0D．0～a時間內物體的位移大小為eq\f(ab,2)【答案】A【解析】根據(jù)勻變速直線運動位移時間公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，有eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)a′t。根據(jù)數(shù)學知識可得v0＝b，eq\f(1,2)a′＝－eq\f(b,a)，所以a′＝－eq\f(2b,a)，故A正確，B錯誤；由以上分析可知，a時刻物體的速度大小為v＝v0＋a′t＝b＋SKIPIF1<0t＝－b，故C錯誤；0～a時間內物體的位移大小為x＝v0t＋eq\f(1,2)a′t2＝b·a＋SKIPIF1<0·a2＝0，故D錯誤。例3、(2021湖南岳陽第一中學高三二模)某品牌的一款無人駕駛汽車在直線測試時，速度的二次方與位移的關系圖像如圖所示。自經(jīng)過x=0位置時開始計時，該車在2s內的位移大小為()A．2.0m B．2.6mC．3.0m D．3.6m【答案】D【解析】根據(jù)圖像由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故圖像的斜率k=2a，所以該車運動的加速度大小a=5m/s2，初速度大小v0=6m/s,由t=SKIPIF1<0=1.2s可知,該車1.2s后停止運動,所以2s內的位移大小為x=SKIPIF1<0=3.6m，故選D。課堂隨練訓練1、一物體在外力作用下由靜止開始沿直線運動，其加速度隨時間變化的關系圖像如圖所示．下列說法正確的是()A．物體運動的最大速度是4m/sB．t＝4s時物體回到出發(fā)點C．t＝4s時物體開始反向運動D．t＝1s時和t＝3s時物體的瞬時速度相同【答案】D【解析】a－t圖像中圖線與時間軸所圍“面積”表示速度變化量，由題圖可知，物體運動的最大速度為vmax＝eq\f(1,2)×2×2m/s＝2m/s，A錯誤；0～1s物體做加速度增大的加速運動，1～2s物體做加速度減小的加速運動，2～3s物體做加速度增大的減速運動，3～4s物體做加速度減小的減速運動，根據(jù)對稱性可知，物體在4s末時速度減為零，4s后物體又重復前面的運動，故B、C錯誤；由B、C項分析可知，t＝1s時和t＝3s時物體的瞬時速度相同，故D正確．訓練2、(多選)一質點沿x軸正方向做直線運動，通過坐標原點時開始計時，其eq\f(x,t)-t的圖象如圖所示，則()A．質點做勻速直線運動，速度為0.5m/sB．質點做勻加速直線運動，加速度為0.5m/s2C．質點在2s末的速度為2.5m/sD．質點在第2s內的位移為2m【答案】CD【解析】根據(jù)圖象，結合數(shù)學知識得圖線的斜率為：k＝eq\f(0.5,1)＝eq\f(1,2)，則圖線的函數(shù)關系為：eq\f(x,t)＝eq\f(1,2)t＋eq\f(1,2)，整理得：x＝eq\f(1,2)t2＋eq\f(1,2)t，由勻變速直線運動的位移與時間的關系式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得，質點做初速度為0.5m/s、加速度為1m/s2的勻加速直線運動，故A、B錯誤；根據(jù)勻變速直線運動的速度與時間的關系式得，質點在2s末的速度為：v2＝v0＋at2＝0.5m/s＋1×2m/s＝2.5m/s，故C正確；根據(jù)勻變速直線運動的位移與時間的關系式得，質點在第1s內的位移為：x1＝v0t1＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)＝0.5×1m＋eq\f(1,2)×1×12m＝1m，在前2s內的位移為：x2＝v0t2＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,2)＝0.5×2m＋eq\f(1,2)×1×22m＝3m，則質點在第2s內的位移為：Δx2＝x2－x1＝2m，故D正確。訓練3、(多選)近年來，我國的高速鐵路網(wǎng)建設取得巨大成就，高鐵技術正走出國門．在一次高鐵技術測試中，機車由靜止開始做直線運動．測試段內機車速度的二次方v2與對應位移x的關系圖像如圖所示．在該測試段內，下列說法正確的是()A．機車的加速度越來越大B．機車的加速度越來越小C．機車的平均速度大于eq\f(v0,2)D．機車的平均速度小于eq\f(v0,2)【答案】BC【解析】由v2＝2ax結合題圖可知，機車的加速度逐漸減小，故A錯誤，B正確；由于機車做加速度減小的變加速直線運動，故在該測試段內，其v－t圖像如圖所示，可知機車的平均速度大于勻加速直線運動的平均速度eq\f(v0,2)，故C正確，D錯誤．同步訓練1、（多選）（2018全國3）甲、乙兩車在同一平直公路上同向運動，甲做勻加速直線運動，乙做勻速直線運動。甲、乙兩車的位置x隨時間t的變化如圖所示。下列說法正確的是（）A．在t1時刻兩車速度相等B．從0到t1時間內，兩車走過的路程相等C．從t1到t2時間內，兩車走過的路程相等D．從t1到t2時間內的某時刻，兩車速度相等【答案】CD【解析】：A選項：x-t圖像的斜率代表物體的速度，t1時刻甲車圖線對應的斜率更大，因此甲車的速度更大；B選項：乙車的起始點與甲車的起始點不同，相對于甲車更靠前，在t1時刻處于同一位置，只能說明乙車的路程小于甲車的路程；C選項：t1時刻甲乙兩車所處的位置相同，t2時刻兩車兩車所處的位置也相同，兩車向同一方向運動，可知兩車的路程相等；故C正確D選項：根據(jù)x-t圖像的斜率代表著物體的速度，由圖像可知在t1到t2時間內，某時刻圖線的斜率相同；故D正確2、（多選）（2021廣東）賽龍舟是端午節(jié)的傳統(tǒng)活動。下列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0圖像描述了五條相同的龍舟從同一起點線同時出發(fā)、沿長直河道劃向同一終點線的運動全過程，其中能反映龍舟甲與其它龍舟在途中出現(xiàn)船頭并齊的有（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】A此圖是速度圖像，由圖可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以中途不可能出現(xiàn)甲乙船頭并齊，故A錯誤；B．此圖是速度圖像，由圖可知，開始丙的速度大，后來甲的速度大，速度圖像中圖像與橫軸圍成的面積表示位移，由圖可以判斷在中途甲、丙位移會相同，所以在中途甲丙船頭會并齊，故B正確；C．此圖是位移圖像，由圖可知，丁一直運動在甲的前面，所以中途不可能出現(xiàn)甲丁船頭并齊，故C錯誤；D．此圖是位移圖像，交點表示相遇，所以甲戊在中途船頭會齊，故D正確。故選BD。3、甲、乙兩物體分別在水平面上做直線運動，取向右為正方向，它們運動的相關圖像分別如圖甲、乙所示．已知乙的初速度為0，下列說法正確的是()A．甲物體2s時的運動方向發(fā)生變化B．乙物體2s時的運動方向發(fā)生變化C．甲物體0～2s內的平均速度與2～4s內的平均速度相同D．乙物體4s時的位置與0時刻的位置相同【答案】A【解析】甲物體2s時速度從負值變?yōu)檎?，即運動方向發(fā)生變化，故A正確；已知乙的初速度為0，因a－t圖像與時間軸圍成的面積等于速度的變化量，可知乙物體在0～2s時間內速度為負值，在2～4s內速度變化量為正值，在t＝4s時速度減為零，但是在2～4s內速度仍為負值，則2s時的運動方向沒有發(fā)生變化，故B錯誤；甲物體0～2s內的平均速度與2～4s內的平均速度大小相同，但是方向相反，故C錯誤；乙物體從0～4s速度一直為負，則4s時的位置與0時刻的位置不相同，故D錯誤．4、(2022·馬鞍山一模)a、b兩物體從同一地點同時出發(fā)，沿相同方向運動。圖甲是a做勻加速直線運動的x－t圖像，圖乙是b做勻減速直線運動的x－v2圖像。則下列說法正確的是()A．t＝1.25s時兩物體速度相等B．前2s內兩物體間距離一直在變大C．t＝0時刻，a的速度為2m/s，b的速度為12.5m/sD．a(chǎn)的加速度大小為4m/s2，b的加速度大小為8m/s2【答案】A【解析】題圖甲可看出a做初速度為零的勻加速直線運動，則有xa＝eq\f(1,2)a1t2，將題圖甲的(1，2)、(2，8)兩點代入，解得a1＝4m/s2，則va＝a1t＝4t；題圖乙中b做初速度為10m/s的勻減速直線運動，根據(jù)0－v2＝2a2xb，解得a2＝－4m/s2，則vb＝v0＋a2t＝10－4t，由此分析，t＝1.25s時va＝5m/s，vb＝5m/s，故A正確；a做初速度為零的勻加速直線運動，b做初速度為10m/s的勻減速直線運動，因此一開始b在a前，va＜vb，此時a、b間距離變大，當va＝vb時，即t＝1.25s時a、b間距離達到最大，之后va＞vb時，a、b間距離將變小，故B錯誤；t＝0時刻，a的速度為0，b的速度為10m/s，故C錯誤；由上分析可知a和b的加速度大小都為4m/s2，故D錯誤。5、(2022·梅州第一次質檢)如圖所示，兩條圖線是駕駛員駕駛同一輛汽車在兩種路面緊急剎車時的v－t圖像。駕駛員的反應時間為0.5s(從發(fā)現(xiàn)問題到制動的時間)，下列說法正確的是()A．從t＝0到停下，汽車在干燥路面的平均速度較小B．從t＝0到停下，汽車在濕滑路面的位移是干燥路面的2倍C．從t＝0.5s到停下，汽車在濕滑路面和干燥路面的平均速度大小相等D．從t＝0.5s到停下，汽車在濕滑路面和干燥路面的加速度之比為1∶2【答案】C【解析】根據(jù)v－t圖像與時間軸所圍的面積表示位移，知從t＝0到停下，汽車在干燥路面通過的位移為x1＝eq\f(0.5＋2.5,2)×40m＝60m，平均速度為v1＝eq\f(x1,t1)＝24m/s，汽車在濕滑路面通過的位移為x2＝eq\f(0.5＋5.0,2)×40m＝110m，平均速度為eq\o(v,\s\up6(－))2＝eq\f(x2,t2)＝22m/s，則eq\f(x2,x1)＝eq\f(110,60)≈1.8，故A、B錯誤；從t＝0.5s到停下，汽車做勻減速直線運動，根據(jù)平均速度公式eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v＋v0,2)可知汽車在濕滑路面和干燥路面的平均速度相等，故C正確；根據(jù)v－t圖像的斜率大小表示加速度大小，知汽車在濕滑路面減速的加速度大小為a1＝eq\f(80,9)m/s2，汽車在干燥路面減速的加速度大小為a2＝20m/s2，則a1∶a2＝4∶9，故D錯誤。6、(2016·全國卷Ⅰ)(多選)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其v-t圖象如圖所示。已知兩車在t＝3s時并排行駛，則()A．在t＝1s時，甲車在乙車后B．在t＝0時，甲車在乙車前7.5mC．兩車另一次并排行駛的時刻是t＝2sD．甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40m【答案】BD【解析】由題中v-t圖象得a甲＝10m/s2，a乙＝5m/s2，兩車在t＝3s時并排行駛，此時x甲＝eq\f(1,2)a甲t2＝eq\f(1,2)×10×32m＝45m，x乙＝v0t＋eq\f(1,2)a乙t2