精品文檔-下載后可編輯矩形中兩類相似引發(fā)的思考問題一：

如圖1，矩形ABCD中，點P是BC上異于B，C的一動點，作APPE，PE交CD于點E.求證：ABP∽PCE.

圖1這一問題利用兩對應(yīng)角相等，容易判定ABP∽PCE.有一個對應(yīng)角是直角，只要證明∠BAP=∠CPE即可.證明的方法通常有兩種：

（1）因為∠BAP+∠BPA=90°，∠EPC+∠BPA=90°.所以∠BAP=∠EPC.

（2）因為∠BAP+∠ABP=∠APC，∠CPE+∠APE=∠APC.所以∠BAP=∠EPC.

也就是說當(dāng)APPE時，一定有ABP∽PCE.但是結(jié)論成立的前提是邊PE與邊CD相交.那么相交時矩形兩鄰邊的長應(yīng)滿足什么條件呢？

為了便于說明我們設(shè)AB=a，BC=b，BP=x，PC=b-x.

因為ABP∽PCE，所以ABPC=BPCE，那么CE=BP·PCAB，代入可得CE=x（b-x）a，整理為CE=-1a（x-b2）2+b24a.可以得出：當(dāng)點P運動到BC中點時，CE有最大值b24a.要想點E在CD上，必須CE≤CD，即b24a≤a，得到b≤2a.

當(dāng)b=2a時，點P運動到中點時，點E與D點重合（如圖2）.

圖2圖3圖4當(dāng)b

矩形的邊滿足b=2a數(shù)量關(guān)系時，當(dāng)D與E重合時（如圖2），此時ABP與PCE全等，且都與APE相似，都是等腰直角三角形，得到ABP∽PCE∽APE.

我們猜想會不會當(dāng)b

因為ABP∽PCE，所以ABPC=APPE.因為BP=PC，所以ABBP=APPE.因為∠B=∠APE，所以ABP∽APE.可得ABP∽PC∽APE.以上的猜想是正確的.在上面的證明中要體會到中點位置的

作用，如果不是中點，就不能實現(xiàn)BP與PC的互換，兩兩相似的結(jié)論是不成立.我們可以利用下圖能更直觀地看出當(dāng)ABP∽PEC∽APE時，點P是中點的理由（如圖4）.

作PFAE于點F，我們知道在RtAPE作斜邊AE的高，可得APF∽PEF∽APE.因為ABP∽PEC∽APE，可以得到APF∽ABP，PEF∽PEC.由于這兩對相似三角形都公共的斜邊，所以APF≌ABP，PEF≌PEC.也可以看作將ABP和PEC分別沿AP、PE翻折后與APE重合.從而得到BP=PF=PC，也就是說點P是BC中點.同時還得到結(jié)論：AB+CE=AE；AP平分∠BAE，PE平分∠AEC.

我們把此時矩形中的直角梯形ABCE（如圖5）單獨思考.就會發(fā)現(xiàn)這個梯形具備以下幾個特征：

（1）AB+CE=AE

（2）∠BAE的平分線PA，∠AEC的平分線PE交于BC的中點P.

（3）以BC為直徑的圓與AE相切，切點為F（如圖6）；以AE為直徑的圓與BC相切，切點為P（如圖7）.

直角梯形以上的三個特點是可以互相推出的，即知其二，得其一，即：

①如果AB+CE=AE，BC的中點是P，那么PA平分∠BAE，PE平分∠AEC；

②如果AB+CE=AE，∠BAE的平分線PA，∠AEC的平分線PE交于點P，那么P是BC的中點；

③如果PA平分∠BAE，PE平分∠AEC，P是BC的中點，那么AB+CE=AE.讀者可自己證明.

那么具備以上特點的梯形如何可以得到呢？通過圖6的啟示，我們可以利用圓來實現(xiàn).即：

如圖8，過O的直徑AB的兩端點B，C作切線，與過圓上一點E所作切線交點分別是A、D，得到了直角梯形ABCD.由切線的性質(zhì)及切線長定理，可知梯形ABCD就是所求梯形（如圖9）.

由圖4的啟發(fā)，我們還可以用另一方法實現(xiàn)這一梯形的得出.如圖9，作RtAOD的高OE，將OE沿AO，DO向外翻折得到AB，CD，連接BC，所得的梯形ABCD即是.

梯形中兩底與斜腰滿足AB+CD=AD，那么兩底AB和CD與直腰BC有什么數(shù)量關(guān)系呢？在輔助圓的幫助下，我們就可以得出答案了.如圖9.我們知道OE為RtAOD斜邊AD上的高，就有結(jié)論OE2=AE·ED也就是（BC2）2=AB·CD，整理為BC2=4AB·CD.

用上面的方式得到的梯形當(dāng)BC不變時，當(dāng)點E的位置發(fā)生變化AB，和CD的長度就隨著變化.梯形ABCD的面積就發(fā)生變化，這一變化過程中，面積是有最大值還是最小值呢？

我們設(shè)BC=b，AB=x，CD=b24x.那么梯形面積S=12（x+b24x）b.我們可以看到當(dāng)x.變小時，b24x就會變大，反之亦然.也就是說S沒有最大值，可能會有最小值.但是通過S=12（x+b24x）b這一表達(dá)式，很難看出最小值是多少？我們還得借助圓來得出答案（如圖10）.

作OFBC交AD于點F，可得OF為梯形的中位線.梯形的面積S=OF·BC.由此可以直觀的看出，隨著點E的運動，OF的長會不斷變大，找不到最大值，當(dāng)點E，F(xiàn)重合時，即如圖11，OF可以取到最小值OE，所以梯形面積S=OF·BC有最小值即S=BC22，此時的梯形變成了矩形.

問題二：

如圖12，矩形ABCD中，點P是BC上異于B，C的一動點，連結(jié)AP，PD，點P運動到什么位置時，ABP∽PCD？

由問題一知道：當(dāng)∠APD=90°時，ABP∽PCD.也就是說如果在BC上找到一點P，使∠APD=90°，就可以得到ABP∽PCD.此時ABP∽PCD∽APD

是否存在這樣的點P，使∠APD=90°，這是首要思考的問題.我們知道：在圓中直徑所對的圓周角等于90°，那么以AD為直徑作圓，通過圓與BC相離、相切、相交的三種位置關(guān)系判斷是否存在P點使∠APD=90°.

交點如圖13，共三種情況：

（1）當(dāng)b2a時，兩交點

通過圖象的交點個數(shù)，我們可以得到使ABP∽PCD的點P的個數(shù).那么如何求出BP的具體數(shù)值呢？

由問題一我們知道因為ABP∽PCD，所以ABPC=BPCD.我們設(shè)AB=a，BC=b，BP=x，PC=b-x，代入上式可得ab-x=xa，整理為x2-bx+a2=0.我們可以看出要想存在這樣的點P，必須使方程有解，即（-b）2-4a2≥0.解得b≥2a.在有解的條件下，方程x2-bx+a2=0的解就是BP的值.

當(dāng)相切時，點P是BC中點（如圖132）；當(dāng)相交時，由圓的對稱性我們可知BP1+BP2=BC，也就是說上述方程的兩解之和就是BC.如圖133通過這兩種方式對點P存在個數(shù)存在條件的分析，我們要能體會到數(shù)形結(jié)合方法的相互補(bǔ)充.

再思考上面的思路：由∠APD=90°，得出ABP∽PCD是正確的.反過來當(dāng)ABP∽PCD時就一定有∠APD=90°嗎？由∠APD=90°，得出ABP∽PCD時，必須AB與PC是對應(yīng)邊，BP與CD是對應(yīng)邊，反之也成立.也就是說我們用∠APD=90°來說明ABP∽PCD就遺漏了ABP∽PCD的第二種情形：AB與CD是對應(yīng)邊，BP與PC是對應(yīng)邊.必須將上種思路進(jìn)行補(bǔ)充，使其全面.如下：

因為ABP∽PCD，所以ABCD=BPPC，可得aa=xb-x解得x=b2.也就是說當(dāng)點P運動到BC中點時，在任意的矩形中，ABP∽PCD都成立的并且ABP≌PCD.

我們將問題二中的ABP∽PCD兩種情況進(jìn)行總結(jié)：

（一）ABP∽PCD與∠APD=90°的關(guān)系

（1）b≥2a時，AB與PC是對應(yīng)邊，BP與CD是對應(yīng)邊，ABP∽PCD，這時∠APD=90°，反之也成立

（2）AB與CD是對應(yīng)邊，BP與PC是對應(yīng)邊，ABP∽PCD，這時點P是中點，并不能保證∠APD=90°.只有b=2a時是∠APD=90°，當(dāng)b≠2a時，∠APD≠90°.

（二）ABP∽PCD與P點個數(shù)

（1）b

（2）b=2a時，使ABP∽PCD的點共一個，即中點，此時∠APD=90°.

（3）b>2a時，使ABP∽PCD的點共三個，①中點一個②使∠APD=90°的點有二個.

問題三：

如圖14，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，點P是BC上異于B，C的一動點，連結(jié)AP，PD.點P運動到什么位置時，ABP∽PCD？

圖14我們由問題一引申出的梯形（如圖7）知道，當(dāng)AB+CD=AD時，以AD為直徑的圓與BC相切.由問題二分析相似的思路可以得出第一種相似情形（∠APD=90°）：

（1）當(dāng)AB+CD>AD時，以AD為直徑的圓與BC相離.（如圖141）

（2）當(dāng)AB+CD=AD時，