-2024學(xué)年度高二年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A.B.C.D.2.若，則（）A.B.C.D.3.若，則（）A.0B.2C.4D.84.直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與軸的交點(diǎn)為為原點(diǎn)，若，則直線的方程可以為（）A.B.C.或D.或5.已知四面體中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則分別為（）A.B.C.D.6.如圖所示的矩形畫板中，.分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段上的四等分點(diǎn)，連結(jié)，與的交點(diǎn)分別為，以為軸，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則在橢圓上的點(diǎn)為（）A.B.C.D.7.前項(xiàng)和為的數(shù)列滿足，若，則的最小值為（）A.15B.16C.17D.188.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線與軸交于點(diǎn)，與的右支交于點(diǎn)，且滿足，若點(diǎn)四點(diǎn)共圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.2023年11月15日國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)公布的規(guī)模以上工業(yè)增加同比增長(zhǎng)速度數(shù)據(jù)如圖（其中2023年1月與2月合為一個(gè)數(shù)據(jù)），則（）A.12個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為B.12個(gè)數(shù)據(jù)的極差為C.2022年10月到2023年5月的增長(zhǎng)速度方差比2023年6月到2023年10月的方差大D.從小于的數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)數(shù)，其和大于的概率為10.已知，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.若，則11.在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則（）A.B.平面C.到平面的距離為D.異面直線與所成的角為12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過線段的中點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.B.若，則直線的傾斜角為C.為常數(shù)D.的面積不小于的面積三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知長(zhǎng)方體中，，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.14.與雙曲線的漸近線相同的雙曲線方程可以為__________.（只寫出一個(gè)符合條件的即可）15.已知圓，過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為__________.16.在正四棱錐中，若，平面與棱交于點(diǎn)，若，則__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知橢圓.（1）求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)及離心率；（2）求與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.18.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.（本小題滿分12分）已知直線，圓.（1）試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并加以證明；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程.20.（本小題滿分12分）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的右支上.為原點(diǎn)，且.（1）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度；（2）過作直線與的右支交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求直線的方程.22.（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為上點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離大1.（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)，且為拋物線上的不同兩點(diǎn)，若與垂直.探究直線是否過定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.2023-2024學(xué)年度高二年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及解析一?選擇題1.B【解析】由，，所以.故選.2.D【解析】由，得，故選D.3.A【解析】由得，所以，又，所以，所以.故選A.4.C【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，又，所以或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為即為，當(dāng)時(shí)，直線的方程為即為，所以直線的方程為或.故選C.5.B【解析】由圖可知所以，.故選B.6.B【解析】由題得，所以，所以直線的方程為，（1），①由題得，所以，所以直線的方程為（2），聯(lián)立方程（1）（2）解得，所以直線的交點(diǎn)為，因?yàn)椋渣c(diǎn)不在橢圓上.②同理可知直線的方程為，（3），（1）（3）聯(lián)立得點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)在橢圓上，③同理可得直線的方程為，（4），（1）（4）聯(lián)立得點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)不在橢圓上.④同理可得直線的方程為，（5），（1）（5）聯(lián)立得點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)不在橢圓上，綜上所述可知點(diǎn)在橢圓上.故選B.7.B【解析】因?yàn)?，所?），且，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以，令，解得，所以，所以的最小值為16.故選B.8.D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)四點(diǎn)共圓，所以，即，所以，即，又因?yàn)?，所以，即，所以，又，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所?故選D.二?多選題9.AC【解析】對(duì)于項(xiàng)：12個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為1.3，2.2，2.4，3.5，3.7，3.9，4.4，4.5，4.5，4.6，5.0，5.6，所以中位數(shù)為，所以正確；對(duì)于項(xiàng)：極差為，所以錯(cuò)誤；對(duì)于項(xiàng)：因?yàn)?022年10月到2023年5月的增長(zhǎng)速度的波動(dòng)比2023年6月到2023年10月的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，所以方差更大，所以C正確；對(duì)于D項(xiàng)：因?yàn)樾∮?的數(shù)據(jù)有共6個(gè)，從中任取兩個(gè)數(shù)的所有情況共有共15種，而兩數(shù)之和大于5的有共10種，所以，所以錯(cuò)誤.故選.10.【解析】由得，對(duì)于：最小正周期為，所以正確；對(duì)于：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移，所得圖象的函數(shù)解析式為，而為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以函?shù)在單調(diào)遞減，所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，所以，所以，即得，也就是，所以D正確.故選.11.【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：依題可知，，由..所以A正確；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以，又，所以與平面不平行，所以錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，所以所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)，，所以，所以異面直線與所成的角為，所以錯(cuò)誤.故選AC.12.【解析】因?yàn)樯系狞c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，根據(jù)拋物線的定義可知，所以，所以正確，從而，對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)直線的傾斜角為，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以可設(shè)直線的方程為，即，設(shè)，，聯(lián)立，整理得0，則，所以，所以，則，代入拋物線，得，即，則，所以，故C正確；對(duì)于.，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則，所以，所以，故D正確.故選ACD.三?填空題13.【解析】由題可知，所以關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為.14.（答案不唯一）【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程也為.故答案為.15.1【解析】已知圓的半徑，直線與圓相交于兩點(diǎn)，面積，當(dāng)，即時(shí)，面積最大，此時(shí)為等腰直角三角形，可以求得或，存在直線，所以面積的最大值為1.故答案為1.16.【解析】由已知可得，.由題知四點(diǎn)共面，可設(shè)，則，所以，整理可得，.又不共面，所以有，解得.故答案為.四?解答題17.解：（1）由題可知，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為4，離心率為.（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，所以與其有相同的焦點(diǎn)的橢圓的方程可設(shè)為，其中，所以橢圓的方程為，將代入解得，，或（舍），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，即，即①，又由，得，即②，由①②得：，所?（2）由（1）得，所以，所以.19.解：（1）因?yàn)?，即?duì)恒成立，令解得所以直線恒過定點(diǎn)，又因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交.（2）因?yàn)閳AC：圓心為，半徑為3，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)，所以直線的斜率為，即，解得，此時(shí)直線.圓心為到直線的距離為，所以，所以弦長(zhǎng)的最小值為4，此時(shí)直線.20.解：在為正方體中，兩兩互相垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以，，所以，，.（1）證明：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以即，令，得，所以.因?yàn)?，所以，，所以，又因?yàn)椋云矫妫云矫嫫矫妫?）由（1）證明可知平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）因?yàn)樵谡襟w中易知平面，所以平面的一個(gè)法向量可以取，又由（1）的證明可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.21.解：（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，又由雙曲線的定義可知，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以.（2）根據(jù)題意，可設(shè)直線聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)得，由題意可知，且，設(shè)所以，所以所以.令，解得（舍）或.當(dāng)時(shí)，，所以直線或.22.解：（1）由題可知點(diǎn)為上任一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離相等，由拋物線的定義可知，所以，所以拋