銅鼓中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第四次階段性測試數(shù)學(xué)一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．已知集合，，則（

）A．B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．3．“”是“直線和直線平行”的（

）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件4．設(shè)，，，則（

）A．B．C． D．5．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若，，則（

）A．3 B．4 C．9 D．166．如圖，在邊長為2的正方形中，分別是的中點(diǎn)，將，，分別沿，，折起，使得三點(diǎn)重合于點(diǎn)，若三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積為（

）

A． B． C． D．7．已知右焦點(diǎn)為的橢圓：上的三點(diǎn)，，滿足直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是（

）A． B． C． D．8．函數(shù)若恰有5個(gè)不同零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的范圍為（

）A．B．C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分共20分。部分選對得2分，有錯誤選項(xiàng)得0分，全部選對得5分）9．已知，分別是雙曲線：的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且的實(shí)軸長等于虛軸長的2倍，則（

）A．B．C．的離心率為 D．的漸近線方程為10．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為8 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．為函數(shù)圖象的一條對稱軸．B．函數(shù)在上單調(diào)遞減．C．將的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上的最小值為，則m的最大值為．D．在上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．12．如圖，在邊長為2的正方體中，為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）

A．與所成角的余弦值為B．過A，，三點(diǎn)的正方體的截面面積為9C．當(dāng)在線段上運(yùn)動時(shí)，三棱錐的體積恒為定值D．若為正方體表面上的一個(gè)動點(diǎn)，，分別為的三等分點(diǎn)，則的最小值為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知向量，非零向量與的夾角為，，則.14．已知兩個(gè)圓，，若兩圓相切，則半徑為．15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過且與拋物線交于兩點(diǎn)，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，的角平分線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．若，則．16．函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則．四、解答題（本大題共6題，共70分）17．（10分）在中，角所對的邊分別為，已知，且．(1)求的值；(2)若的面積，求的值．18．（12分）已知公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)證明：；(2)若，求.19．（12分）已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最值．20．（12分）如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，，為下底面圓周上異于、的點(diǎn)．

(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，請說明理由；(2)若四棱雉的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．21．（12分）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為3，面積的最大值為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是軸正半軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．求的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)，其中常數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；(2)討論的單調(diào)性；(3)設(shè)實(shí)數(shù)，如果對任意，不等式都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：1．C【詳解】，，則，故.2．D【詳解】，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，又該點(diǎn)在實(shí)軸上，所以，解得，所以，則.3．C【詳解】當(dāng)時(shí)，直線和直線平行且或；當(dāng)時(shí)，直線和直線不平行；當(dāng)時(shí)，直線和直線不平行．所以“”是“直線和直線平行”的充分不必要條件.4．D【詳解】由，則，而，所以.5．C【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，得，解得（舍去），所以．6．C【詳解】根據(jù)題意可得，且，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，，所以，。7．A【詳解】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，，結(jié)合橢圓對稱性得，由橢圓定義得，，則.因?yàn)椋?，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.

8．D【詳解】由題知，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，如圖所示：

所以時(shí)有最大值：所以時(shí)，由圖可知必有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，令，則則有且，如圖所示：

因?yàn)闀r(shí)，已有兩個(gè)交點(diǎn)，所以只需保證與有三個(gè)交點(diǎn)即可，所以只需，解得.9．BCD【詳解】由題意，，且，所以，解得，故A錯誤；因?yàn)?，由雙曲線定義知，故B正確；因?yàn)?，，所以，故離心率，故C正確；因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以漸近線方程為，即，D正確.10．BCD【詳解】對選項(xiàng)A：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，錯誤；對選項(xiàng)B：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，正確；對選項(xiàng)C：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，正確；對選項(xiàng)D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，正確；11．BC【詳解】，對于A選項(xiàng)：令，解得易驗(yàn)證不是對稱軸，故A錯誤；對于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C選項(xiàng)：因?yàn)椋?，要使在上的最小值為，則，即，故C正確；對于D選項(xiàng)：由，得，要使在上有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故D錯誤.12．AC【詳解】正方體易得，取中點(diǎn)，連接．由于是中點(diǎn)，因此，所以，所以是與所成角或其補(bǔ)角，由已知中，，，，A正確；取中點(diǎn)，連接，同理可證（由得），因此是過A，，三點(diǎn)的正方體的截面，它是等腰梯形，，，，面積為，B錯；由于，平面，平面，所以平面，從而到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，當(dāng)與重合時(shí)，，C正確；

設(shè)是點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則，又，顯然，，又，所以，，，顯然當(dāng)是線段與平面的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，D錯．13．【詳解】因?yàn)?，所以，又非零向量與的夾角為，，所以，即，所以，解得（舍去）或.14．或【詳解】，，半徑分別為：，，當(dāng)兩圓外切時(shí)：，解得：；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)：，解得：，負(fù)值舍去；綜上：或.15．4【詳解】如圖，過作垂直于準(zhǔn)線且垂足為，連接.由題得，由拋物線的定義可得：，而，故所以，所以，.又，所以，所以，即點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，所以是梯形的中位線，所以.16．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，所以，即，解得：或（舍去），故，因?yàn)椋?，則所以，又，所以.17．（1）由題意，將代入，，即，所以．故.（2）由于，又為銳角，即.，.所以，結(jié)合解得.故.18．（1）證明：當(dāng)時(shí)，，得到，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，所以，整理得到，所以.（2）因?yàn)?，所以，解得，所以，又，所?19．（1）由題意可得，，切點(diǎn)在切線上，則，即，且，而在點(diǎn)處的切線斜率為2，即，解得，所以.（2）由（1）可知，，則，且。令，即，故，令，即，故或，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值，且，當(dāng)時(shí)，有極大值，且，且，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.20．（1）為線段中點(diǎn)時(shí)，平面.證明如下：取中點(diǎn)，連接，則有，如圖，在等腰梯形中，，所以，

則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以∥平面.（2）過點(diǎn)作于，在等腰梯形中，，所以該梯形的高，所以等腰梯形的面積為，所以四棱錐的體積，解得，所以點(diǎn)與重合，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)平面的法向量為，所以，取，則.設(shè)平面的法向量為，所以，取，則.設(shè)平面與平面夾角為，則.故平面與平面夾角的余弦值為.21.（1）由題意可知，的最大值為，面積的最大值為，且；解得所以橢圓的方程為．（2）由題意可知直線斜率存在且，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程得，恒成立，設(shè)，則，設(shè)原點(diǎn)為，過點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，如下圖所示：

則，①當(dāng)點(diǎn)在橢圓外時(shí)，易知，此時(shí)，所以，所以，所以；②當(dāng)點(diǎn)在橢圓內(nèi)時(shí)，可得，則，設(shè)，則，且，所以，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，則，此時(shí)，綜上，的取值范圍為．22．（1）當(dāng)時(shí)，，令，可得：，所以的零點(diǎn)為.（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，對任意成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，對任意