第頁共頁整式除法中的余式定理——初中數(shù)學(xué)教案。整式除法的概念整式除法是指把一個多項式P(x)除以一個非零多項式Q(x)，所得的商式S(x)和余式R(x)滿足以下條件：P(x)=Q(x)·S(x)+R(x)，其中，R(x)的次數(shù)小于Q(x)。其中，P(x)叫做被除式，Q(x)叫做除式，S(x)叫做商式，R(x)叫做余式。在這個式子中，等號的左邊是被除式，右邊是商式和余式的和，也就是說余式取決于被除式和除式。整式除法中的余式定理余式定理是整式除法中的一個重要定理，它指出：如果一個多項式P(x)除以(x-a)得到的余式為R(x)，那么當(dāng)x=a時，P(x)的值也等于R(x)的值。具體來說，即：P(x)=(x-a)·Q(x)+R當(dāng)x=a時，有：P(a)=(a-a)·Q(a)+R=R下面我們通過例子來進(jìn)一步理解余式定理：例1：將多項式P(x)=3x^3-2x^2-5x+1除以(x-2)。解：根據(jù)余式定理，該多項式除以(x-2)所得的余式R(x)實際上就是當(dāng)x=2時P(x)的值。因此，我們只需要將2代入多項式P(x)中，求出P(2)的值即可得到余式R(x)。P(2)=3×2^3-2×2^2-5×2+1=12-8-10+1=-5因此，該多項式除以(x-2)的余式為R(x)=-5。上面這個例子非常簡單，下面我們再看一個稍微復(fù)雜一些的例子：例2：將多項式P(x)=5x^4+3x^3-2x^2-3x+1除以(x-3)。解：根據(jù)余式定理，我們只需要求出當(dāng)x=3時多項式P(x)的值即可得到余式。但是，直接將3代入P(x)是相當(dāng)麻煩的，而且容易出錯。因此，我們采用一種更為高效的做法，叫做用綜合除法除以(x-3)。步驟如下：將除式的系數(shù)取反，得到-3。將多項式P(x)的系數(shù)按照冪次從高到低排列，得到5、3、-2、-3、1。接著，以3為除數(shù)，將第一項5除以-3得到-5/3，將其寫在一邊。然后將-5/3乘以(x-3)，得到-5x+15，將它寫在P(x)下面。這個結(jié)果是等于(5x^4+3x^3-2x^2-3x+1)-(5x^4-15x^3)的。接著，利用加減法，將兩個多項式進(jìn)行抵消，得到：18x^3-2x^2+12x+1?，F(xiàn)在，得到的這個多項式的最高次數(shù)比除式的次數(shù)小了一，因此需要再次進(jìn)行綜合除法。以3為除數(shù)，將第一項18除以-3得到-6，將其寫在一邊。然后將-6乘以(x-3)，得到-6x+18，將它寫在P(x)下面。這個結(jié)果是等于(18x^3-2x^2+12x)-(18x^3-54x^2)的。接著，利用加減法，將兩個多項式進(jìn)行抵消，得到：52x^2+12x+1。此時，得到的多項式的最高次數(shù)比除式的次數(shù)小了二，因此不再進(jìn)行綜合除法。將得到的余式52x^2+12x+1寫成P(x)=(x-3)·Q(x)+R的形式，其中，商式Q(x)=-5/3×x^3-6×x^2-2×x-5，余式R(x)=52x^2+12x+1。通過這個例子，我們可以看到，綜合除法是一種比較高效的計算多項式除法的方法。它的具體步驟是：將除式的系數(shù)取反，將被除式的冪次按照從高到低的順序排列，每次取第一項除以除數(shù)，然后將商乘以除數(shù)得到一個新的多項式，再用新的多項式減去原來的多項式得到一個新的多項式，重復(fù)這個過程，直到得到的多項式的最高次數(shù)比除式的次數(shù)小為止，此時多項式的系數(shù)就是余式的系數(shù)，而商式的系數(shù)則是在綜合過程中得到的所有商的系數(shù)?？偨Y(jié)整式除法是初中數(shù)學(xué)中比較重要的一個內(nèi)容，其中余式定理是一種相當(dāng)基礎(chǔ)的技巧。通過對余式定理