2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

X1

已知函數(shù)=［三?ax

1.+三'-。有三個(gè)不同的零點(diǎn)與42e（其中勺<七<七），貝!I1-三

iXi2-V的值為（)

ee'l

B.-1

2.設(shè)向量萬(wàn)，B滿足同=2,W=l,他5）=60。,則忖+回的取值范圍是

D.

3.記集合A=｛（x,y）\x2+/<16｝和集合B=｛（x,j）|x+y<4,x>0,y>0｝表示的平面區(qū)域分別是Q,和Q,，若在區(qū)

域園內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域Q?的概率為（）

1II71-1

A.----B.—C.----D.

4乃it2"4%

4.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

C.2D.4

5.若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=-sin—+zcos—的共匏復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（)

33

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是（）

A.正方體B.球體

C.圓錐D.長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出的S=2時(shí)，則輸入的S的值為（）

A.-2B.-1

8.要得到函數(shù)y=gcosx的圖象，只需將函數(shù)y=；sin（2x+。］的圖象上所有點(diǎn)的（

Ijr

A.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的不（縱坐標(biāo)不變），再向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度

17T

B.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的5（縱坐標(biāo)不變），再向右平移己個(gè)單位長(zhǎng)度

C.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移自個(gè)單位長(zhǎng)度

D.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移（個(gè)單位長(zhǎng)度

9.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局于202（）年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線圖.

（注：同比是指本期與同期作對(duì)比；環(huán)比是指本期與上期作對(duì)比.如：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019

年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比）根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.2019年12月份，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比持平

B.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比均上漲

C.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲

D.2018年11月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格高于2017年12月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格

10.函數(shù)/（x）=4sin（3+0）的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓。與/（x）的圖象交于兩點(diǎn)，且“在），軸

上，則下列說(shuō)法中正確的是

A.函數(shù)F（x）的最小正周期是2兀

B.函數(shù)."X）的圖象關(guān)于點(diǎn)［［兀,（）］成中心對(duì)稱

IJ7

C.函數(shù)/（X）在（-多單調(diào)遞增

36

D.函數(shù)/（幻的圖象向右平移蘭?后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

11.某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）

正（主》初圖M（左）視圖

B.67r

12.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為（）

A.拒兀n3白萬(wàn)n1

A.1---------B.—C?------1）.一

6464

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知二項(xiàng)式，x.，’的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-160,貝必=.

22

14.如圖，在平面四邊形ABC。中，點(diǎn)A,C是橢圓土+乙=1短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)8在橢圓上,

43

cS1

ZBAD=ZBCD=90°,記AABC和AADC的面積分別為\,邑，則法=.

15.“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈.”其白話意譯為：“現(xiàn)有一善織布的女子，從第2

天開始，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月（按30天計(jì)算）共織布390尺.”則每天

增加的數(shù)量為一尺，設(shè)該女子一個(gè)月中第"天所織布的尺數(shù)為對(duì),則《4+45+%6+47=.

22

16.已知雙曲線二-二=1（。＞0力＞0）的左焦點(diǎn)為尸（-3,0）,A、3為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，AE的中點(diǎn)

為H,BF的中點(diǎn)為K,HK的中點(diǎn)為G,若|〃K|=2|OG|,且直線A3的斜率為變，貝111ABi=,雙

曲線的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。

X=]+COS（D

17.（12分）在直角坐標(biāo)系無(wú)0），中，圓C的參數(shù)方程＜.（9為參數(shù)），以。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極

y=sin*

軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；

（2）直線/的極坐標(biāo)方程是2分m（6+三）=36，射線OM:6=?與圓C的交點(diǎn)為。、P,與直線/的交點(diǎn)為Q,

求線段PQ的長(zhǎng).

18.（12分）已知圓M：1+2@2+丫2=64及定點(diǎn)乂2百,0）,點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在NA上,點(diǎn)G在

上，且滿足麗=2麗，GB-NA=Q^點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)斜率為k的動(dòng)直線/與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，與直線y=；》和v=-gx分別交于尸、Q兩點(diǎn).當(dāng)網(wǎng)＞；

時(shí)，求AOPQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍.

19.（12分）已知點(diǎn)A、8分別在x軸、＞軸上運(yùn)動(dòng)，|AB|=3,8M=2AM.

（1）求點(diǎn)"的軌跡。的方程;

（2）過點(diǎn)且斜率存在的直線/與曲線C交于「、。兩點(diǎn)，E（0,l）,求的取值范圍.

20.（12分）車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

加工1個(gè)零件用時(shí)X（分鐘）20253035

頻數(shù)（個(gè)）15304015

以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.

（1）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX;

（2）劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座，用時(shí)40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零

件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過100分鐘的概率.

21.（12分）已知橢圓。：3+2=1（。＞人＞0）的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,直線AF與直線x+y-30=0垂直,

垂足為B,且點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn).

（I）求橢圓c的方程；

（ID若M,N分別為橢圓C的左，右頂點(diǎn)，P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn)，直線MP與直線x=4交于點(diǎn)

Q,且標(biāo)?而=9,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

22.（10分）某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用

于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓。及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊8c上的高所在直線

AO旋轉(zhuǎn)180。而成，如圖2.已知圓。的半徑為10cm，設(shè)圓錐的側(cè)面積為Sc謁.

（1）求S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時(shí)腰A8的長(zhǎng)度.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

Kx/xVax

令：=/,構(gòu)造g2=q,要使函數(shù)〃有三個(gè)不同的零點(diǎn)勺內(nèi)?1（其中X/<丫2<*3）,則方程/+川_°=0

X

需要有兩個(gè)不同的根/“2，則/=J+4。>0,解得“>。或a<-4,結(jié)合=三的圖象，并分a>0,a<-4兩個(gè)情況分

X七用的值.

類討論，可求出

【詳解】

XX/1-X,,

令X=。構(gòu)造的)=—?求導(dǎo)得gM=1P當(dāng).V</時(shí)，g(x)>0；當(dāng)X>/時(shí)，g'(x)<0>

eee

故gQ在(-8〃)上單調(diào)遞增，在(/,+8)上單調(diào)遞減，且.v<0時(shí)，ga)<0,x>。時(shí)，g(x)>0,g(x)nm=g(l)=->可畫

(xVax

出函數(shù)父切的圖象(見下圖)，要使函數(shù)〃M=+二-“有三個(gè)不同的零點(diǎn)”巧,匕(其中均<與<與)，則方程

/+川-a=0需要有兩個(gè)不同的根。12(其中〃</2)，則zl=J+4a>0,解得〃>0或。<-4,且，;/=_；，

7,+/,=-a<07/xzx

若a>0,即51。<0,則//<0<t2<->則X/<0<x2<1<x3,且g(xj=gQ?)=%，

-

若a<-4,BPy,由于g旬=S(D=?故/,+、<-<4，故a<-4不符合題意，舍去.

?j?7-"a'什0max0Q1JQ

故選A.

解決函數(shù)零點(diǎn)問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

2.B

【解析】

由模長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】

\a+同=+區(qū))2=\la2+2a-bt+t2b2="+2/+*=4+1產(chǎn)+3>省,

當(dāng)。=_1時(shí)取等號(hào)，所以本題答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積，考查模長(zhǎng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

據(jù)題意可知，是與面積有關(guān)的幾何概率，要求M落在區(qū)域。2內(nèi)的概率，只要求A、B所表示區(qū)域的面積，然后代入

區(qū)域Q?的面積

概率公式尸=計(jì)算即可得答案.

區(qū)域a的面積

【詳解】

根據(jù)題意可得集合A={(x,y)]+16}所表示的區(qū)域即為如圖所表示:

的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域，面積為16%,

集合B={*,y)|x+y—4,,0,%..0,%。}表示的平面區(qū)域即為圖中的RtAAOB,=1x4x4=8,

Q1

根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得P=弓-=*，

16%27r

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了幾何概率的計(jì)算，本題是與面積有關(guān)的幾何概率模型.解決本題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確求出兩區(qū)域的面積.

4.B

【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積.

【詳解】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示:

-PA=-x22xl=-.

33

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

由共物復(fù)數(shù)的定義得到W，通過三角函數(shù)值的正負(fù)，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解

【詳解】

由題意得，=-sin--/cos—,

33

因?yàn)橐籹in^^=-^^<0，-cos—=->0,

3232

所以N在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了共軌復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.

【詳解】

正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形，球的三個(gè)三視圖都是相等的圓，圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓，另外兩個(gè)是

全等的等腰三角形，長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

7.B

【解析】

若輸入S=—2,則執(zhí)行循環(huán)得S=』,Z=2;S=3M=3;S=—2,k=4;S=』#=5;S=3,Z=6;

3232

133

S=-2次=7;5=：/=8;5=2次=9;結(jié)束循環(huán)，輸出S=1,與題意輸出的S=2矛盾；

322

若輸入S=-l,則執(zhí)行循環(huán)得S=LM=2;S=2,k=3;S=—lM=4;S=LM=5;S=2,k=6;

22

S=—l"=7;S=,M=8;S=2,k=9;結(jié)束循環(huán)，輸出5=2,符合題意；

2

1212

若輸入S=-大，則執(zhí)行循環(huán)得5=彳/=2;5=3,%=3;5=-；；,％=4;5=彳#=5;5=3,4=6;

2323

17

S=—-,&=7;S=—?=8;S=3,Z=9;結(jié)束循環(huán)，輸出5=3,與題意輸出的S=2矛盾；

23

若輸入S=L,則執(zhí)行循環(huán)得S=2M=2;S=-1,Z=3;S=LM=4;S=2M=5;S=-1,&=6;

22

S='#=7;S=2?=8;S=-1,A=9;結(jié)束循環(huán)，輸出S=-l,與題意輸出的S=2矛盾；

2

綜上選B.

8.C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.

【詳解】

」《太，11.（萬(wàn)、

為得到y(tǒng)=/Cosx=/Sin[x+5I,

將y=gsin[2尤+（]橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），

故可得y=gsin

再將y=gsin[x+（]向左平移煮個(gè)單位長(zhǎng)度，

_u_-r31.（乃乃）1.（萬(wàn)、1

故可得y=—sin|x-{----1—=—sinxd---cosx.

」2I36）2I2）2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

先對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理，再結(jié)簡(jiǎn)單的合情推理一一檢驗(yàn)即可

【詳解】

由折線圖易知4、C正確；2019年3月份及6月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比是負(fù)的，所以8錯(cuò)誤；設(shè)2018年12月份,

2018年11月份，2017年12月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格分別為a/,c,由題意可知，b=a,@二=1.9%,則有

C

c-——-——<a=b,所以￡）正確.

1+1.9%

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查了對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，屬于中檔題.

10.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)/(x)=Asin(2x+(1,再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.

【詳解】

TT1TT7171

根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為；，所以大丁=工-(一:)=”，解得7=乃，

32362

所以/(x)的最小正周期T=〃，不妨令A(yù)＞0,0＜。＜萬(wàn)，由周期T=〃，所以。=2,

又一7)=0'所以9=2，所以/(x)=Asin2x+。)，

令2X+H=Z?,Z€Z,解得x=竺-二kwZ,當(dāng)左=3時(shí)，x=—,即函數(shù)/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為《肛°

3263\3

即函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)仁萬(wàn),。］成中心對(duì)稱.故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得

三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半，所以,

半圓柱的體積為乂=』X22X?X1=2%,上部半圓錐的體積為％=」X1X2%X22=文，所以該幾何體的體積為

2233

_,,A-TT1OTT,,

V=K+%R=2萬(wàn)+—=-故應(yīng)選C.

33

12.A

【解析】

求出滿足條件的正AABC的面積，再求出滿足條件的正AABC內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)A、B、。的距離均不小于2的圖形的

面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.

【詳解】

滿足條件的正AABC如下圖所示:

其中正AABC的面積為S^Bc=曰X42=4石，

滿足到正AABC的頂點(diǎn)A、B、。的距離均不小于2的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，

陰影部分區(qū)域的面積為S=-X^X22=2^.

2

則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都大于2的概率是P=1-4=1-叵.

4V36

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令.、的幕指數(shù)等于0,求出，?的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于-160求得實(shí)數(shù)”的

值.

【詳解】

:?二項(xiàng)式的展開式中的通項(xiàng)公式為7；+/=4?("/',一''-方，

X

令6-2r=0,求得r=3,可得常數(shù)項(xiàng)為-?/=_評(píng)。，,。=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4

14.-

3

【解析】

依題意易得4、8、C、。四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上，然后設(shè)出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到8的橫坐標(biāo)，進(jìn)

一步得到。橫坐標(biāo)，再由S肅.=產(chǎn)|x計(jì)B|算比值即可.

s2IXDI

【詳解】

因?yàn)镹84Q=NBCD=90°,所以A、B、C、。四點(diǎn)共圓，直徑為BD,又4、C關(guān)于x軸對(duì)稱，

22

所以圓心E在x軸上，設(shè)圓心E為CO),則圓的方程為(尢一。2+>2=*+3,聯(lián)立橢圓方程?+=i

消y得f—8a=0,解得x=81,故B的橫坐標(biāo)為8%,又B、。中點(diǎn)是E,所以D的橫坐標(biāo)為-6%

S]_I4|4

故不一^---；二；?

S]\X。I3

,4

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問題，考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關(guān)鍵是求出B、

。橫坐標(biāo)，是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.

16

15.—52

29

【解析】

設(shè)從第2天開始，每天比前一天多織d尺布,由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求出d=堤,由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出

“14+"15+"16+0|7?

【詳解】

設(shè)從第2天開始，每天比前一天多織d尺布，

30x29

貝！J$30=30x5+—^4=390,

解得d=II，即每天增加的數(shù)量為,

。]4++46+。17=4+13d+q+14d+q+15d+q+16d

-4a,+58d

]￡1A

=4x5+58x—=52,故答案為一，52.

2929

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式，意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題.

16.2y/3—

2

【解析】

設(shè)A(%,%)，3(-%,-%)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得”,K坐標(biāo)，利用麗.沃=0可得到A點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，

結(jié)合直線斜率可求得片,此，進(jìn)而求得|AB|：將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得出人，進(jìn)而得到離心

率.

【詳解】

???左焦點(diǎn)為尸卜6,0),???雙曲線的半焦距c=6.

X

設(shè)A(x(),%),8(一%,一%)，?,?"'^2'K°2'

\/\J

a_丫22

-,-\HK\=2\OG\,:.OH±OK,即而.冰=0，—字=0,即片+y；=3,

又直線43斜率為變，即為=也，.?.￡=?,y；=l,

4x0433

.?.同卻=也片+4才=2&

22o|

???A在雙曲線上，，3—四=1,即白一一7=1,

a2b23a23b2

結(jié)合c?=/+//=3可解得：a=>/2?Z?=l,，離心率e=￡=4^.

a2

故答案為：2>/5;避L

2

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用問題，涉及到直線截雙曲線所得線段長(zhǎng)度的求解、雙曲線離心率的求解問題；關(guān)鍵

是能夠通過設(shè)點(diǎn)的方式，結(jié)合直線斜率、垂直關(guān)系、點(diǎn)在雙曲線上來(lái)構(gòu)造方程組求得所需變量的值.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。

17.(1)Q=2COS6；(2)2

【解析】

、°尤=1+cos(p

(D首先利用+s山21對(duì)圓c的參數(shù)方程｛，(0為參數(shù))進(jìn)行消參數(shù)運(yùn)算，化為普通方程，再

y=sirup

根據(jù)普通方程化極坐標(biāo)方程的公式得到圓C的極坐標(biāo)方程.(2)設(shè)Rq,4),聯(lián)立直線與圓的極坐標(biāo)方程，解得

月，a：設(shè)。(22，孫聯(lián)立直線與直線的極坐標(biāo)方程，解得生，%，可得歸。|?

【詳解】

(1)圓C的普通方程為+y2=1,又x=℃os。，y=psin。

所以圓C的極坐標(biāo)方程為P=2cos。.

p-2cos0,、

⑵設(shè)pg，a),則由｛了解得。i=i,,得p

20sin。+工=3百

設(shè)QM，。，)，則由］"解得夕，=3,&=￡,得。3,g；

3<3J

3

所以|PQ|=2

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，考查圓的極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)方程的求解運(yùn)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能

力以及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

22

18.(1)---F-^―=1；(2)(8,+oo).

164

【解析】

(D根據(jù)題意得到G5是線段AN的中垂線，從而|GM|+|GN|為定值，根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M,N為

焦點(diǎn)的橢圓，即可求出曲線C的方程；(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程，表示處AOPQ的面積代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求

范圍.

【詳解】

'NA=2NB

(1)〈—.一=>8為AN的中點(diǎn)，且G3J_ANnGB是線段AN的中垂線，

GB-NA=0

|AG|=|GN|,又皿+|GN|=\GM\+\G^=\AM\=S>4y/?>=\MN\,

...點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓，

y2

設(shè)橢圓方程為鼻+=1a>b>0)

瓦9

則。=4，c—2道，,?.〃=y]a2—C2=2，

所以曲線c的方程為三+22=i.

164

(2)設(shè)直線/：y=kx+m(k^+-),

2

由，)消去y,可得(1+4左2)/+8/7^+4根2-16=0.

x、4y=16'7

因?yàn)橹本€/總與橢圓c有且只有一個(gè)公共點(diǎn),

222

所以A=64ZM-4(1+442)(4"?-16)=0,m=16父+4.①

y=kx+m「2mm-2mm

又由可得P;同理可得。

x-2y=01一24'1一2攵1+2/1+2%)

由原點(diǎn)O到直線尸。的距離為d=-Ji=和|p@=Jl+M\xp-x^,

2

可得SA”2；卜_。；劑2m2m2m

=gIPQl-d=MlXI=?I+

l-2kl+2k1—442.②

Oil724爐+1

將①代入②得%.2=K=8E,

1(4k2+1、(2、

“〉w時(shí)，

綜上，AOPQ面積的取值范圍是(8,+8).

【點(diǎn)睛】

此題考查了軌跡和直線與曲線相交問題，軌跡通過已知條件找到幾何關(guān)系從而判斷軌跡，直線與曲線相交一般聯(lián)立設(shè)

而不求韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可，屬于一般性題目.

、f,(256~

19.(1)----Fy-=1(2)4A,---

4)【25」

【解析】

(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，用坐標(biāo)表示出所，詼，得到EP_LEQ,

所以|EP『+|EQF=|PQF，代入韋達(dá)定理即可求解.

【詳解】

⑴設(shè)A(兩,())，3(0,%),則x；+y；=9,

設(shè)由溺=2湄得卜2（1：）尸卜=￡

”。=2（0.）7=3y

又由于<一3xY+（3y『=9,

12J

化簡(jiǎn)得M的軌跡C的方程為—+/=1.

4-

（2）設(shè)直線PQ的方程為了="一］3,

,、

與c的方程聯(lián)立，消去y得0+4二卜2一24日一1614=0,

/>0,設(shè)P（x，yJ,Q（X2，%），

24k-64

則%+%2-------r,X,-X,=---------r

5+20公-25+100公

由已知EP=(X|，X-1),EQ=(x2,y2-1),則

EPEQ=中2+(X-1)(%T)=+W

=（1+左2）內(nèi)馬一|女（玉+*2）+||

-64824左64

=(l+%2)x_________k7x______?--

25+100公55+20女225

一64-64/-192/+64+256公

25+100。

=0，

故直線￡P(guān)_LE。.

IEP『+1E。『=|9|2=0+F)[(玉+々＞一4中2]

24k『_彳*-6464(1+k2)(25/+4)

5+20*-“25+100公

25(1+4Z:2)2

64(4+29^+25/)

25(1+4^2)2

令［+4/=，則

2

f一1

644+29X3+25X

4[74[-27+66r+25z2]

|PQ『=一

25『25戶

41764

=——x

25

由于.=1+4公21,0<-<1,

4"替

所以，|EP『+|EQ|2的取值范圍為14,磬.

【點(diǎn)睛】

此題考查軌跡問題，橢圓和直線相交，注意坐標(biāo)表示向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化的處理技巧，屬于較難題目.

20.(1)分布列見解析，EX=27.75；(2)0.8575

【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列，并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.

(2)根據(jù)對(duì)立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不

超過100分鐘的概率.

【詳解】

(1)X的分布列如下:

X20253035

P0.150.300.400.15

EY=20x0.15+25x0.30+30x0.40+35x0.15=27.75.

(2)設(shè)X1,X?分別表示講座前、講座后加工該零件所需時(shí)間，事件A表示“留師傅講座及加工兩個(gè)零件示范的總時(shí)

間不超過100分鐘”，

則P(A)=P(X|+X,<60)=1-P(X|+X2>60)

=1-[P(X=30,X2=35)+P(X1=35,X2=30)+P(X1=35,X2=35)]

=l-(0.4x0.15+0.4x0.15+0.152)=0.8575.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算，考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算，屬于中檔

題.

22

21.（I）—+^-=1.

42

（IDP（l,豐）

【解析】

（I）寫出AE坐標(biāo)，利用直線A/與直線x+y-30=0垂直，得至UZ?=c.求出3點(diǎn)的坐標(biāo)代入x+y-30=0,

可得到"c的一個(gè)關(guān)系式，由此求得"c和。的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，由此寫出直線的

方程，從而求得。點(diǎn)的坐標(biāo)，代入聲?而=9,化簡(jiǎn)可求得P點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】

（I）,??橢圓的左焦點(diǎn)尸（一。,（）），上頂點(diǎn)A（0,。），直線AF與直線x+y-3近=0垂直

直線AF的斜率％=?=1,即8=c①

C

又點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn)

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為B（C,處）

又