復變函數(shù)與積分變換主講教師:馬佳佳木斯大學理學院1復變函數(shù)與積分變換

主要內(nèi)容：

1.復變函數(shù)自變量為復數(shù)的函數(shù)（在高等數(shù)學中，我們研究的是自變量和因變量均為實數(shù)的函數(shù)，因而也稱之為實變函數(shù)）.

主要包含復數(shù)與復變函數(shù)；解析函數(shù)；復變函數(shù)的積分理論；級數(shù)理論；留數(shù)理論及其應(yīng)用；共性映射等。

2.積分變換主要包括傅立葉變換和拉普拉斯變換.2序言

預備知識、參考書

主要用到高等數(shù)學的相關(guān)知識.1.西安交通大學復變函數(shù)

2.南京工學院積分變換

3.祝同江積分變換

4.鐘玉泉復變函數(shù)論

學習進度、建議3序言復數(shù)的引入及其發(fā)展過程：

16世紀中葉，意大利人Cardan在解代數(shù)方程時，首先產(chǎn)生了負數(shù)開平方的思想.例如，解簡單的方程x2+1=0時就會遇到－1開平方的問題。為了使負數(shù)開平方有意義，也就是要使上述方程有解，我們需要再一次擴大數(shù)系，于是就引進了虛數(shù)，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域.然而，一開始人們對復數(shù)的認識僅僅在于一種形式上的表示，對復數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進行計算時還有一些矛盾產(chǎn)生.例如后面要介紹萊布尼茲和貝努利的一個悖論.4序言

復數(shù)在歷史上的很長一段時間內(nèi)被人們視為不可接受的虛數(shù).直到十七和十八世紀，有兩個主要原因促使了這種狀況的改變：

1.微積分的發(fā)展；2.復數(shù)與平面向量聯(lián)系起來解決實際問題.關(guān)于復數(shù)理論最系統(tǒng)的敘述，是由瑞士數(shù)學家歐拉作出的.他在1777年系統(tǒng)地建立了復數(shù)理論，發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)間的關(guān)系，創(chuàng)立了復變函數(shù)論的積分理論等.5序言復變函數(shù)理論的重要意義十九世紀，復變函數(shù)的理論經(jīng)過法國數(shù)學家Cauchy、德國數(shù)學家Riemann和Weierstrass的巨大努力，已經(jīng)形成了非常系統(tǒng)的理論，并且深刻地滲入到數(shù)學學科的許多分支.例如，著名的代數(shù)學基本定理，用復變函數(shù)理論來證明是非常簡潔的.

現(xiàn)在，復變函數(shù)理論及方法在數(shù)學及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.比如，在復變函數(shù)理論最先得到成功應(yīng)用的流體力學、電磁學、平面彈性力學這三個領(lǐng)域中，復變函數(shù)方法已經(jīng)發(fā)展成為解決有關(guān)問題的幾種經(jīng)典方法之一.6第一章復數(shù)與復變函數(shù)主要內(nèi)容1、復數(shù)及其表示方法2、復數(shù)運算3、平面點集4、復變函數(shù)的連續(xù)性7注:(1)兩個復數(shù)相等，是指二者實部、虛部分別相同；

(2)兩個復數(shù)之間無法比較大小，除非都是實數(shù).

§1復數(shù)及其四則運算1、復數(shù)的概念其中實部虛部共軛8

加、減：乘法：

注:2、復數(shù)的四則運算除法：9容易證明:復數(shù)的運算滿足分配律、交換律、結(jié)合律.另外，還經(jīng)常用到以下性質(zhì)：例如，設(shè)提示：10§2復數(shù)的表示法1.復平面

基于這樣一種原因，我們把此時的坐標平面稱為復平面.11稱向量的長度為復數(shù)z=x+iy

的模或絕對值；以正實軸為始邊,以為終邊的角的度數(shù)稱為復數(shù)z=x+iy

的輻角(z≠0).OxyxyqPz=x+iy|z|=r12顯然把其中滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz.Arg

z=θ=θ0+2kπ，k為整數(shù).13復數(shù)向量表示的重要意義：能夠?qū)⒋鷶?shù)問題化為幾何問題，從而使問題變得直觀,由此立即得到下面不等式：還容易看出oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1142、

復數(shù)的三角表示根據(jù)上式稱為復數(shù)的三角表示.Oxy可以得到3、

復數(shù)的指數(shù)表示由歐拉公式可以得到復數(shù)的指數(shù)表示式:154、復球面．zxy

o．NＰ．用如圖所示的方法可建立復平面上的點ｚ與球面上的點ｐ（Ｎ除外）之間的一種一一對應(yīng)的關(guān)系，即這樣我們就可以用球面上的點來表示復數(shù).

注：復數(shù)的各種表達式可以互相轉(zhuǎn)換，在討論具體問題時應(yīng)靈活選用.16問題：球面上的北極Ｎ如何與復平面內(nèi)的點對應(yīng)？我們規(guī)定：１）復平面上有唯一的“無窮遠點”與球面上北極Ｎ對應(yīng)；２）復數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復平面上的無窮遠點相對應(yīng)，并把它記為∞.

這樣，球面上的每一個點，就有唯一一個復數(shù)與它對應(yīng)，這樣的球面稱為復球面.

把包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為擴充復平面，不包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為有限復平面，或就稱復平面.對于∞來說,實、虛部與輻角的概念無意義，其模為｜∞｜＝＋∞，對于其它復數(shù)z,則有｜z｜<+∞.17例1.下列方程各表示什么曲線？4）寫出直線的復數(shù)形式方程.1）2）解：1)、2)的關(guān)鍵是知道復數(shù)模的幾何意義，所以，1）表示圓周，3）

2）表示