中學數(shù)學必修1-5學問點

必修一

一、集合與函數(shù)概念

并集：由集合A和集合B的元素合并在一起組成的集合，假如遇到重復的只取一次。記作：

AUB

交集：由集合A和集合B的公共元素所組成的集合，假如遇到重復的只取一次記作：AD

B

補集：就是作差。

1、集合｛%,%,.?.,右｝的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1個；非空的真子

有2"-2個.

2、求y=/(x)的反函數(shù)：解出x=/T(y),互換，寫出)，=/T(勸的定義域；函數(shù)圖象關于y=x

對稱。

3、(1)函數(shù)定義域：①分母不為0；②開偶次方被開方數(shù)20；③指數(shù)的真數(shù)屬于R、對數(shù)

的真數(shù)>0.

4、函數(shù)的單調性:假如對于定義域I內的某個區(qū)間D內的隨意兩個自變量XrX2,當xKx?時，都有f(x)〈

(>)f(x。，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上

的性質，是函數(shù)的局部性質。

5、奇函數(shù)：是/(-x)=-/(X),函數(shù)圖象關于原點對稱(若x=0在其定義域內，則/(0)=0)；

偶函數(shù)：是f(-x)=/(x),函數(shù)圖象關于y軸對稱。

6、指數(shù)幕的含義及其運算性質：

(1)函數(shù)y=>0且。工1)叫做指數(shù)函數(shù)。

(2)指數(shù)函數(shù)y=a'(a>()MRl)當0<。<1為減函數(shù)，當。>1為增函數(shù)；

Q)ar-as=ar+s；?(ar)s=an；?(ab)r=arbr｛a>0,b>0,r,5e<2)?

(3)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質

y=ax0V”1a>1

、yi,y

圖象_______-__—-

0

XX

定義域R

性值域(0,+8)

質過定點(0,1),即尤=0時，y=1

定點(1)a>1,當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<l。

(2)0<a<1,當x>0時，0<y<l；當x<0時，y>1。

單調性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)

對稱性y=優(yōu)和y=a~x關于y軸對稱

奇偶性非奇非偶函數(shù)

7、對數(shù)函數(shù)的含義及其運算性質：

(1)函數(shù)y=log〃x(a>0,awl)叫對數(shù)函數(shù)。

(2)對數(shù)函數(shù)丁=1國“》(。>0,。片1)當0<。<1為減函數(shù)，當〃>1為增函數(shù)；

①負數(shù)和零沒有對數(shù)；②1的對數(shù)等于0：log“l(fā)=0；③底真相同的對數(shù)等于1：log“a=l,

(3)對數(shù)的運算性質：假如a>0,aW1,〃>0,">0,那么：

M

①logaMN=log“M+loguN；@log?—=log?M-log?N；

③log“M"-〃log“M(〃eR)。

(4)換底公式：log.b=殳』(。>0且aHl,c>0且cwl,b>0)

log,a

(5)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質:

>=log”無0<。<1a>1

ml

圖

L1L_((XJa<o5

象

定義域(0,+8)

值域R

(1)過定點(1,0),即》=1時，y=0

(2)在R上是減函數(shù)(2)在R上是增函數(shù)

性

(3)同正異負，即0<Q<1,0<X<1或。>1>1時，k)gaX>0；

質

0<。v1,尤>1或〃>1,0vx<1時，log?x<0o

(4)非寄非偶函數(shù)。

8、幕函數(shù)：函數(shù)y=x"叫做事函數(shù)(只考慮a=1,2,3,—l,g的圖象)。

9、方程的根與函數(shù)的零點：假如函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［a,b］上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并

且有了（力/（力＜0,那么，函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（a,6）內有零點，即存在ce（a,。），使得

/（c）=0,這個，也就是方程/（x）=0的根。

必修二

一、直線平面簡潔的幾何體

1、長方體的對角線長片=。2+82+。2；正方體的對角線長/=島

2、球的體積公式：V=-71/?3；球的表面積公式：S=4TT/?2

3

3、柱體、錐體、臺體的體積公式：

V柱體=Sh（S為底面積，〃為柱體高）；=（S為底面積，/?為柱體高）

V臺體=g（S'+回+S）〃（S',S分別為上、下底面積，〃為臺體高）

4、點、線、面的位置關系及相關公理及定理：

（1）四公理三推論：

公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內，則該直線上全部的點都在這個平面內。

公理2：經(jīng)過不在同始終線上的三點，有且只有一個平面。

公理3：假如兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且全部這些公共點的集合是一條過這

個公共點的直線。

推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。

推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面。

推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面。

公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

（2）空間線線，線面，面面的位置關系：

空間兩條直線的位置關系：

相交直線一一有且僅有一個公共點；

平行直線一一在同一平面內，沒有公共點；

異面直線一一不同在任何一個平面內，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直線。

空間直線和平面的位置關系：

（1）直線在平面內（多數(shù)個公共點）；

（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；

（3）直線和平面平行（沒有公共點）它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為aua,

aa=A,allao

空間平面和平面的位置關系：

（1）兩個平面平行一一沒有公共點；

（2）兩個平面相交一一有一條公共直線。

5、直線與平面平行的判定定理：假如平面外一條直線與平面內一條直線平行，那么該直線與這個平面

平行。

acta

符號表示：bua>=a"a。圖形表示:

allb

6、兩個平面平行的判定定理：假如一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平

行。

au0

bu0

符號表示：ab=P=>pIIao圖形表示:

alla

b//a

7、.直線與平面平行的性質定理：假如一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與已知平面相

交，那么交線與這條直線平行。

alla

符號表示：aup圖形表示：

a（3=b

8、兩個平面平行的性質定理：假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們交線的平行。符號

表示：a/1/3,ay=a,。Cy=b=>a/1b

9、直線與平面垂直的判定定理：假如一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么

這條直線垂直于這個平面。符號表示：

aua,bua,ab=P,l工a,lILa

10、.兩個平面垂直的判定定理：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

符號表示：ILa,lu/3na

11、直線與平面垂直的性質：假如兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

符號表示：aYa\=>a//b.

bVa\

12、平面與平面垂直的性質：假如兩個平面相互垂直，那么在其中一個平面內垂直于交線的直線拜直于

另一個平面。符號表示：lua,a。=m,lnl工儀I/

13、異面直線所成角：平移到一起求平移后的夾角。/-7---------

直線與平面所成角：直線和它在平面內的射影所成的角。（如右圖）/

14、異面直線所成角的取值范圍是（0。,90。］；

直線與平面所成角的取值范圍是［0°,90°］；

二面角的取值范圍是［0°,180。）；

兩個向量所成角的取值范圍是［0°,180。］

二、直線和圓的方程

1、斜率：k=tancr,ke（-oo,+oo）；直線上兩點々（玉，y）,舄（修，當），則斜率為

龍2-王

2、直線的五種方程：

（1）點斜式y(tǒng)—y=&（x—xj（直線/過點4（X1，x）,且斜率為女）.

（2）斜截式y(tǒng)=（b為直線/在y軸上的截距）.

VX|

（3）兩點式~=--■（（［（司，%）、P,（x2,y2）；（玉7々）、（丫尸了2））?

%一耳々一%

（4）截距式±+2=1（以b分別為直線的橫、縱截距，。、匕W0）

ah

（5）一般式Ax+3y+C=O（其中A、B不同時為0）.

3、兩條直線的平行、重合和垂直：

⑴若4：y=kxx+bx,/2:y=k2x+b2

①乙||乙=占=42且仇力。2；

②/1與4重合時<=>k、=—且，=）2；

③4_L/2ok\k2——1.

（2）若/］:A%+Ay+G=0,I］：A?x+B?y+G=0,且Ai、A2、Bi、B?都不為零，

①//1/2=4="工三；②乙04A2+4員=o

4、兩點Pi（xi,yj、P2（X2,y2）的距離公式|PR|二J%—七（+（%—Y-

5、兩點Pi（x】，山）、P2（X2,y2）的中點坐標公式M2l121）

22

6、點P（xo,yo）到直線（直線方程必需化為一般式）Ax+Bv+C=O的距離公式d=^+?+Q

jT+京

7、平行直線Ax+By+Ci=O、Ax+By+C2=O的距離公式d=衛(wèi)旭

\IA2+B2

8、圓的方程：標準方程（x-a）2+（y—A）?=/,圓心（a,。），半徑為「；

一般方程V+V+Ox+fy+puO,（配方：（.+勺2+（號“2+2―4.）

224

rP+E?—4尸>0時，表示一個以（_2,_￡）為圓心，半徑為+石2_4廣的圓;

222

9、點與圓的位置關系：

222

點P（x0,%）與圓（x-a）+（y-h）=r的位置關系有三種：

22

若d=yj（a-x0）+（b-y0）,貝U

d>ro點P在圓外；。=ro點P在圓上；點P在圓內.

10、直線與圓的位置關系：

直線Ax+8），+C=0與圓（x-a）?+（y-?2=戶的位置關系有三種：

J>r<=>相離=△<();〃=相切<=>A=0;

d<ro相交oA>0.其中2=嗎1'"+。.

11、弦長公式：

若直線y=kx+b與二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)相交于A(xi，yi),B(x2,y2)兩點，則

由

”二次曲線方程

y=kx+max2+bx+c=0(a^0)

則知直線與二次曲線相交所截得弦長為：

|Aq=J(%2-))2+(y2-y)2

=J］+%-|xj-xj=，（1+女2）［（工］+x2）2—4X］/］

ylb2-4ac

Jl+/

13、空間直角坐標系，兩點之間的距離公式:

⑴xoy平面上的點的坐標的特征A（x,y,0)：豎坐標z=0

xoz平面上的點的坐標的特征B（x,0,z)：縱坐標y=0

yoz平面上的點的坐標的特征C（0,y,z)：橫坐標x=0

x軸上的點的坐標的特征D(x,0,0）：縱、豎坐標y=z=0

y軸上的點的坐標的特征E(0,y,0）：橫、豎坐標x=z=0

z軸上的點的坐標的特征E(0,0,z）：橫、縱坐標x=y=0

（2）|PR|二-X］）—+（y2-yp-+（Z2-Z］）一

必修三

算法初步與統(tǒng)計:

以下是幾個基本的程序框流程和它們的功能

圖形符號名稱功能

表示一個算法的起始和結

終端框(起止框)

束

表示一個算法輸入輸出的

/7輸入、輸出框

信息

—賦值、計算（語句、結果的

處理框（執(zhí)行框）

傳送）

推斷某一條件是否成立時，

推斷框在出口處標明“是”或“Y”，

<不成立時標明“否”或“N”

連接程序框（流程進行的方

流程線

向）

O連接點連接程序框圖的兩部分

—-L注釋框幫助注解流程圖

循環(huán)框程序做重復運算

一、算法的三種基本結構：（1）依次結構（2）條件結構（3）循環(huán)結構

二、算法基本語句：1、輸入語句:輸入語句的格式：INPUT"提示內容”：變量。2、輸出語句:輸出語

句的一般格式：PRINT"提示內容”；表達式。3、賦值語句:賦值語句的一般格式：變量=表達式。4、

條件語句（1）“IF—THEN—ELSE”語句。5、循環(huán)語句:直到型循環(huán)結構“DO—LOOPUNTIL”語句和

當型循環(huán)結構“WHILE—WEND”。

三.三種常用抽樣方法：

1、簡潔隨機抽樣；2.系統(tǒng)抽樣；3.分層抽樣。4.統(tǒng)計圖表：包括條形圖，折線圖，餅圖，莖葉圖。

四、頻率分布直方圖：詳細做法如下：（1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；（2）確定組

距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）列?布表；（5）畫頻率分布直方圖。注：頻率分

布直方圖中小正方形的面積=組距X頻率。

2、頻率分布直方圖：|頻率=小矩形面積|（留意：不是小矩形的高度）

頻數(shù)-------------------頻率

計算公式：頻率-_頻數(shù)=樣本容量x頻率頻率=小矩形面積=組距x—

樣本容量|-------------------組距

各組頻數(shù)之和=樣本容量，各組頻率之和=1

3、莖葉圖：莖表示高位，葉表示低位。

折線圖：連接頻率分布直方圖中小長方形上端中點，就得到頻率分布折線圖。

4、刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量：平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)。

在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

將一組數(shù)據(jù)根據(jù)從大到小(或從小到大)排列，處在中間位置上的一個數(shù)據(jù)(或中間兩位數(shù)據(jù)的平

均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

5、刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量：極差，極準差，方差。

(1)極差肯定程度上表明數(shù)據(jù)的分散程度，對極端數(shù)據(jù)特別敏感。

(2)方差，標準差越大，離散程度越大。方差，標準差越小，離散程度越小，聚集于平均數(shù)的程度

越高。

(3)計算公式：

222

標準差：5=J-[(X)-X)+(X2-X)++(X?-X)]

Vn

方差：--[(-X|----X)-(X2---+,'?+(X”---X)―1

n

直線回來方程的斜率為A,截距為即回來方程為9=5x+近(此直線必過點(元，

6、頻率分布直方圖：在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應各組的頻率，方長方形的高

與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。

五、隨機事務：在肯定的條件下所出現(xiàn)的某種結果叫做事務。一般用大寫字母A,B,C…表示.

隨機事務的概率：在大量重復進行同一試驗時,事務A發(fā)生的頻率總接近于某個常數(shù)，在它旁邊搖

擺，這時就把這個常數(shù)叫做事務"的概率，記作。(4)。由定義可知OWPT)W1,明顯必定事務的

概率是1,不行能事務的概率是0。

1、事務間的關系：

(1)互斥事務：不能同時發(fā)生的兩個事務叫做互斥事務；

(2)對立事務：不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生的兩個事務叫做互斥事務；

(3)包含：事務A發(fā)生時事務B肯定發(fā)生，稱事務A包含于事務B(或事務B包含事務A)；

(4)對立肯定互斥，互斥不肯定對立。

2、概率的加法公式：

(1)當力和8互斥時，事務小8的概率滿意加法公式：PCA+B)=P(J)+P(B)(/、8互斥)(2)若

事務A與B為對立事務，則AUB為必定事務，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).

3、古典概型：

(1)正確理解古典概型的兩大特點：1)試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領件只有有限個；2)每個基本領

件出現(xiàn)的可能性相等；（2）駕馭古典概型的概率計算公式：P（A）=-------------------—=一

實驗中基本事件的總數(shù)n

4、幾何概型：

（1）幾何概率模型：假如每個事務發(fā)生的概率只與構成該事務區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則

稱這樣的概率模型為兒何概率模型。

（2）幾何概型的特點：1）試驗中全部可能出現(xiàn)的結果（基本領件）有無限多個；2）每個基本領件出

現(xiàn)的可能性相等.

,、皿一"八……、事件A構成的區(qū)域的長度（面積或體積）

（3）幾何概型的概率公式：P（A）=-------------------------------------------------

實驗的全部結果構成的區(qū)域的長度（面積或體積）

n!

5、排列：（1）、排列數(shù)公式：=〃（〃一1）???（〃一a+1）=---------.（〃，mGN*,且〃0!=1

（n-m）l

（2）、全排列：n個不同元素全部取出的一個排列；A/=〃!=〃（九—1）（〃-2）?3?2?1=〃?（〃-1）!；

6、組合：

一、爾八將八t心A：〃（九一1）???（〃-掰+1）nluw口/、1

（1）、組合數(shù)公式：C”=-!J-=-------------------二------------（H,melf,Km<n）；C?=10

A；：1x2x???xmml-（n-m）!

必修四

一、三角函數(shù)

ion

1、弧度制：（1）、180°=力弧度，1弧度=（—）°?57°18'；弧長公式：l=\a\r（/為a所對的弧

長，/?為半徑，正負號的確定：逆時針為正，順時針為負）。

2、三角函數(shù)：

（1）、定義：

.y%yX

sina=—cosa=—tana=—cota二

rrXy

3、特別角白勺三角函數(shù)值：

a的角度0°30°45°60°9()。120P135°150P180°270°360P

71717171345"3兀

a的弧度07T2冗

67T2TT-6"~2

1V2V21

sina0縣1旦0-10

222222

Ji_J2

cosa1也0旦-101

222~222

V3

tana01百—-^3-1查0—0

33

4、同角三角函數(shù)基本關系式：sin2a+cos2a=1tana-sinatanacota=1

cosa

5、誘導公式：（眾變橫不變，符號看象限）正弦上為正；余弦右為正；正切一三為正。

sin(-a)=一sina

cosQa)=cosa

tan(一。)=-tana

cot(-a)=-cota

sin(90°+a)=cosasin(l80°+a)=-sina

cos(90°+a)=-sinacosQ80°+a)=-cosa

tan(90°+a)=-cotatan(180°+a)=tana

cot(90°+a=-tanacot(1800+a)=cota

sin(90°-a)=cosasin(180°-a)=sina

cos(90°-<z)=sinacosQ800-a)=-cosdf

tan(90°-a)=cotatan(l80°一a)=—tana

cot(90°-6Z)=tanacotQ800-a)=-cota

sin(270°+a)=-cosasin(3600+a)=sina

cos(2700+a)=sinacos(360°+a)=cosa

tan(270°+a)=-cotatan(3600+a)=tana

cot(270°+a)=-tanacot(360°+a)=cota

sin(270°-6r)=-cosasin(360°-a)=-sina

cos(270°-a)=-sinsacos(360°一a)=cos<z

tan(270°-a)=cotatan(360°一a)=-tana

cot(270°-cif)=tanacot(360°-a)=-cota

6、兩角和與差的正弦、余弦、正切：

S(a+0：sin(a+1)=sincrcos/?+cos?sin/?

S(a_^：sin(cr-yff)=sintzcos/7-cosasin/?

C(a+m：cos(tz+/?)=cosofcos/?-sin<7sin/3

Cg—夕)：cosQ-/?)=cosacos/?+sinasinB

/c、tana+tanZ?T/C、tana-tanB

T(a+S)-tan(a+尸)=------------九心tan(in尸

1—tanatan(3

tana+tan0=tan(a+4)(1一tan6rtan/?)tana-tan°=tan(a-4)(1+tancrtan/?)

7、協(xié)助角公式：6/sinx+Z?cosx=sinx+cosx

=J.2+Z72(sinx-cos0+cosx?sin0)=J.2+Z?2-sin(x4-^>)

8^二倍角公式：(1)、S2a：sin2a=2sincrcos6r

22

C2a：cos2(7=cosa-sin2a=l-2sina=2cos2a-1

.c2tana

T'a：tan2a=-------；—

l-tan2a

(2)、降次公式：(多用于探討性質)

.1.0.2l-cos2a1_1

sinacosa=—sin2asin-a=------------=——cos"+一

2222

1+cos2a1八1

cos~2a=------------=—cos2a+一

222

9、在y=sina,y=cosa,y=tana,y=cote四個三角函數(shù)中只有y=cosa是偶函數(shù)，其它三個是

寄函數(shù)。（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是非寄非偶函數(shù)）

10、在三角函數(shù)中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求單調性（單調第增區(qū)間、單調第減區(qū)

間）；求對稱軸；求對稱中心點都要將原函數(shù)化成標準型；

ry=Asin（GX+e）+/?

）

如Yy=A,co；s3+0+Z，?再求解。

y=Atan（5+9）+。

j=Acot@c+e）+〃

11、三角函數(shù)的圖象與性質：

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

圖象

.一七產(chǎn)J

z47L

..4-《1P...5rs^<4孔.-1A

2(1

定義RR

域.7t.

{xXWk7T+—,kGZ]

2

值域R

[-1,1][-1,1]

奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

性

周期2萬2%

性

在\2krc-兀,2ki］（keZ）

在[2々/一至，2%乃+二](左eZ)在

上是增函數(shù)

22（k兀一:|?，公r+］）（左eZ）

上是增函數(shù)在［2%肛2k/r+4］（左cZ）

單調

在上是減函數(shù)上是增函數(shù)

性

7T37r

[2k7r+-,2k7r+—](fceZ)

22

上是減函數(shù)

當x=2k7t,keZ時，

當x=—+2k7r,keZ時，

2

Vmax=1

無

Xnax=1

當x=(2Z+l)肛ZwZ時，

最值

當x=-—+2k7r,keZ時,Vmin=T

2

Znin=-1

TT

對稱中心（依r,0）,keZ對稱中心（A乃H--,0），對稱中心（hr,0）,keZ

2

對稱

jrkeZ對稱軸：無

性對稱軸：X=卜冗+—（kGZ）

2

對稱軸：x=k兀（keZ）

12.函數(shù)y=Asin((at+°)的圖象:

（1）用“圖象變換法”作圖

由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin（四+。）的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸

縮”與“先伸縮后平移”。

法一：先平移后伸縮

>=sinx向左（0>0）或向右（W<0）=sin(x+e)

平移陽個單位

縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍>y=Asin(3x+(p)

橫坐標不變

向左”>0）或向右（0<O）

y=smx>y=sin（x+。）橫坐標變?yōu)樵瓉淼墓け?/p>

平移陽個單位.----------------@--->y=sin（〃>x+0）

縱坐標不變

法二：先伸縮后平移

橫坐標變?yōu)樵瓉淼??倍

向左（0>0）或向右（0<0）

y=smx-----，―二@--->y=sin以*y=sincp)

縱坐標不變7(以+

平移晾I個單位

當函數(shù)丁=Asin（5+*）（A>O,3>0,xe［O,+°°））表示一個振動量時，A就表示這個量

2乃

振動時離開平衡位置的最大距離，通常把它叫做這個振動的振幅；往復振動一次所須要的時間T=—,

CD

1）

它叫做振動的周期；單位時間內往復振動的次數(shù)/=±=',7它r叫做振動的頻率；0r+。叫做相位,

TCD

。叫做初相（即當x=0時的相位）。

二、平面對量

1、平面對量的概念：

（1）在平面內，具有大小和方向的量稱為平面對量.

（2）向量可用一條有向線段來表示.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.

（3）向量AB的大小稱為向量的模（或長度），記作|AB].

（4）模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量.

（5）與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作-a.

（6）方向相同且模相等的向量稱為相等向量.

2、實數(shù)與向量的積的運算律：設入、u為實數(shù)，那么

（1）結合律：入（口五）=（人口）5;（2）第一安排律：（x+u）a=Xa+^a-,

（3）其次安排律：入（。+3）=入2+入心

3、向量的數(shù)量積的運算律：（1）a-b=hja（交換律）；

（2）（Aa）,b=ACa,b'）=Aa,b-a?CbA）;（3）（.a+b）?c=a,c+b,c.

4、平面對量基本定理：

假如不、備是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)

Ai、人”使得。+^,e2.

不共線的向量耳、a叫做表示這一平面內全部向量的一組基底.

5、坐標運算：（1）設a=（項，兇）,8=（工2，、2），則a±b=（尤1±工2，,|土治）

數(shù)與向量的積：入a=幾（內，%）=（而[,辦|）,數(shù)量積：。-1=為%2+必必

（2）、設A、B兩點的坐標分別為（xi,y。，（xz,y2）,則A8=（%2—用，為一切）一（終點減起點）

6、平面兩點間的距離公式：（1）dAB=\AB|=dABAB=他-X>

（2）向量a的模|〃|：|a|2=a-a=x2+y2；

-―-—>

（3）、平面對量的數(shù)量積：ab=a-hcos6，留意：0,a=0,0?a=0,a+(—a)=0

（4）、向量a=（X]，M）,。=（工2，%）的夾角。，則，cose=1%.+產(chǎn)

Jx：+靖西+以2

（a=（X],X）,Z?=（x2,y2））

—>—>—>

7、重要結論：（1）、兩個向量平行：a//ba=Ab（4GR）,allb<=>5為一%2%=°

—>—>

（2）、兩個非零向量垂直Q_!_〃=玉々+%丁2=0

（3）、P分有向線段片外的：設P（x,y）,Pl（X1,yi）,P2（x2,y2），且6P=,

X+X

2+AX2fr_I2

x

<x=—1——+4dJ~~2-

M+2%Iy=2L+

[y~~TTT~12

則定比分點坐標公式中點坐標公式

三、空間向量

1、空間向量的概念：（空間向量與平面對量相像）

（1）在空間中，具有大小和方向的量稱為空間向量.

（2）向量可用一條有向線段來表示.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.

（3）向量AB的大小稱為向量的模（或長度），記作|AB].

（4）模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量.

（5）與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作-。.

（6）方向相同且模相等的向量稱為相等向量.

2、實數(shù)X與空間向量。的乘積4a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算.當幾＞0時，而與a方向相同；

當4＜0時，/la與。方向相反；當;1=0時，而為零向量，記為6.Xa的長度是a的長度的岡倍.

3、設;I,〃為實數(shù)，a,b是空間隨意兩個向量，則數(shù)乘運算滿意安排律及結合律.

安排律:A,^a+b\=Xa+Ab；結合律：4（“）=（辦）a.

4、假如表示空間的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)

定零向量與任何向量都共線.

5、向量共線的充要條件：對于空間隨意兩個向量a,工0）,a〃。的充要條件是存在實數(shù)X,使

a=Ab.

6、平行于同一個平面的向量稱為共面對量.

7、向量共面定理：空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數(shù)對x,y,使

AP=xAB+yAC；或對空間任肯定點O,有OP=OA+xAB+yAC；或若四點P,A,B,C

共面，則OP=jtOA+yOB+zOC（x+y+z=l）.

8、己知兩個非零向量a和〃，在空間任取一點0,作0A=a,OB=Z?,則NAOB稱為向量a,b

的夾角，記作〈&/〉.兩個向量夾角的取值范圍是：〈a,b〉e[O,〃].

jr

9、對于兩個非零向量a和〃，若〈。,〃〉=耳，則向量a,〃相互垂直，記作。

10＞已知兩個非零向量。和〃，則同Wcos〈a,〃〉稱為a,6的數(shù)量積，記作。?〃.即

。必=誹際〈/?！?零向量與任何向量的數(shù)量積為0.

11、ad等于。的長度同與b在a的方向上的投影|小05〈。,管的乘積.

12、若a,。為非零向量，e為單位向量，則有（1）e3=a?e=|a|cos〈a,g〉；

同時（a與洞向）___

（2）a_L6oa/=0；（3）ah=<,a-a=\a\',\a\=yja-a；

-同與b反向）

（4）cos（tz,/>>=-^7.

琲|

13、量數(shù)乘積的運算律：⑴Q?〃=Z?.Q；（2）=4（〃,"）=Q?（勸/

⑶（Q+人）?c=a.c+b.d.

14、空間向量基本定理：若三個向量a,b,c不共面，則對空間任一向量p,存在實數(shù)組{x,y,z},

使得p=xa+yb+zc.

15、三個向量a,b,c不共面，則全部空間向量組成的集合是

{p[p=xa+）%+zc,x,y,ze/?}.這個集合可看作是由向量a,b,c生成的，

{a,九可稱為空間的一個基底，a,h,c稱為基向量.空間隨意三個不共面的向量都可以構成空

間的一個基底.

16、設G，403為有公共起點O的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，?，“

03的公共起點O為原點，分別以"，4的方向為無軸，）軸，z軸的正方向建立空間直角坐

標系Oxyz.則對于空間隨意一個向量p,肯定可以把它平移，使它的起點與原點O重合，得到向

量OP=p.存在有序實數(shù)組{x,y,z},使得p=xq+ye2+263.把x，y>z稱作向量p在單位

正交基底q,e2>63下的坐標，記作p=（x,y,z）.此時，向量。的坐標是點P在空間直角坐標系

Oxyz中的坐標（尤,y,z）.

17、設d=(X],y,zJ,b=(x2,y2,z2),則⑴a+b=(玉+%，4+Z2).

(2)a-b=(xi-x2,yi-y2,zi-z2).

（3）Aa=（Axl,/lyl,Azl）.

（4）db-+yxy2+zxz2.

（5）若〃、。為非零向量，則a_L〃OQ-/?=。0%%2+*%+2以2=0.

（6）若〃w0,則?！ㄈ薿a=%o%=2^,y[=4y2,z1=.

（7）\a\=4a*a=+y：+z：.

（〃

o\ccU，h\=叱l?lH=Jx_；+；2+Z；.jM；1+Z；

（9）Aa，y,zJ,B=（W，%,Z2），則九=|AB[=4/——+也—/+5一―